最佳一致逼近

构造C[0，1]上W=&(1，x，…，x9)到f(x)=e x

上的最佳逼近

学院：数学与计算机科学学院

班级：2011级数学与应用数学

姓名：

学号：

指导教师：

日期：2012.06.20

构造C[0，1]上W=&(1，x ，…，x 9)到f(x)=e x

上的最佳逼近

（西北民族大学数学与应用数学专业，兰州 730124）

指导教师

摘要： 本文通过对最佳逼近的研究，着重分析其构造方法，从而使得对知识的掌握更加连贯及牢固。通过对它的研究，我们对其有了更深的了解。

关键词：最佳逼近，正射影，傅里叶系数

最佳平方逼近

一般而言，在[a , b ]上对给定的函数求它的一致逼近函数比较困难，下面我们介绍在[a , b ]上较易计算的另一种逼近方法――最佳平方逼近。

一、预备知识

1．函数系的线性关系

定义1 若函数)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ ，在区间[a , b ]上连续，如果关系式

0)()()()(221100=++++x a x a x a x a n n ϕϕϕϕ 当且仅当0210=====n a a a a 时才成立，则称函数)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 在[a , b ]上是线性无关的，否则称线性相关。 如果函数系{ϕk (x )}(k = 0, 1, 2, …)中的任何有限个函数线性无关，则称函数系{ϕk (x )}为线性无关函数系，例如{1, x , …, x n , …}

就是在区间[a , b ]上的线性无关函数系。

设)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 是[a , b ]上线性无关的连续函数a 0, a 1, …, a n 是任意实数，则

)()()()(1100x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++=

的全体是C [a , b ]的一个子集，记为

},,,{Span 10n ϕϕϕ =Φ

并称)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 是生成集合的一个基底。

例如 P n = Span {1, x , x 2, …, x n }表示由基底1, x , …, x n , 生成的多项式集合。

下面给出判断函数系{ϕk (x )}(k = 0, 1, 2, …n )线性无关的一个充要条件。

定理 1 连续函数)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 在[a , b ]上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式G n ≠ 0，其中

),(),(),(),(),(),()

,(),(),()

,,,(10111010100010n n n n n n n n n G G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

==

(7.25)

证明 设a 0, a 1, …, a n 是一组实数，使

0)()()(1100=+++x a x a x a n n ϕϕϕ

现分别用)()(,),()(),()(10x x x x x x n ϕρϕρϕρ 乘上式，然后在[a , b ]上积分，于是得方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++0

),(),(),(0),(),(),(0),(),(),(110011110010110000n n n n n n n n n a a a a a a a a a ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 显然，上述齐次线性代数方程组只有零解的充要条件是它的系数行列式

0),,,(10≠n n G ϕϕϕ 。证毕。

根据本定理即可断定：在区间[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系是线性无关的函数系。

2．广义多项式

我们已知，n 次代数多项式是函数1, x , x 2, …, x n 的线性组合。现在我们推广多项式的概念。

设函数系{)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ ，…}线性无关，则其有限项的线性组合

)()(0x a x S j u j j ϕ∑== (7.26)

称为广义多项式。例如三角多项式

nx b nx a x b x a x b x a a n n sin cos 2sin 2cos sin cos 22110+++++++ 就是一个广义多项式。

二、最佳一致逼近的概念

定义 设函数f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，对于任意给定的ε >0，如果存在多项式p (x )，使不等式

ε<-<<)()(max x p x f b

x a

成立，则称多项式p (x )在区间[a , b ]上一致逼近(或均匀逼近)于函数f (x )。

那么，对于在区间[a , b ]上的连续函数f (x )，是否存在多项式p (x )一致逼近于f (x )呢？这个问题有许多人研究过。德国数学家维尔斯特拉斯(Weierstrass)在1885年曾给出下述著名定理。

维尔斯特拉斯定理 若f (x )是区间[a , b ]上的连续函数，则对于任意ε >0，总存在多项式p (x )，使对一切a ≤x ≤b 有

ε<-)()(x p x f

证明从略。

维尔斯特拉斯定理表明，连续函数f (x )可以用多项式p (x )逼近到任意精确程度，但维尔斯特拉斯定理只在理论上肯定了闭区间上的连续函数可以用多项式以任意精确度来逼近，并没有给出确定逼近得最快的多项式的方法。事实上，如果精确度要求较高，则用来逼近的多项式的次数一般也很高，这就增加了计算工作量。因而，在实际计算时，我们总量希望在一定的精确度要求下，逼近多项式的次数越低越好。

切比雪夫从这样的观点去研究一致逼近问题，他不让逼近多项式的次数n 趋于无穷大，而是先把n 加以固定。对于给定的[a , b ]上的连续函数f (x )，他提出在次数不超过n 的多项式的集合p n 中去寻找一个多项式)(*

x p n ，使它在[a , b ]上“最佳地逼近”f (x )。这里最佳逼近的意思是指)(*x p n 对f (x )的偏差。

)()(max *x p x f n b x a -<<