经济学中数学模型

Ct atC0
t=30，C30 = 3.24 × 2 = 6.48。30年后存款累计金额。
人口模型 ：马尔萨斯（Malthus，1766－1834）
Nt (1 r)t N0
其中 Nt 为 t 年人口数，r 为年人口增长率。中国平均增长率 r=6‰， 2003年人口 12.92 亿，2013年人口13.54亿，计算 N10 = 13.44亿。
W KM
p
其中 K 为总资产，M 为货币总量，p为价格水平。凯恩斯第一个方程为
Y CI

Y C W
t
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一、凯恩斯宏观经济模型
萨谬尔森（Samuelson，1915-2009，1970年 诺贝尔经济学奖） 用数理经济学的方法重写了经济学。 在凯恩斯模型中加入了时间因素，萨谬尔森乘数-加速模型：
用 Ct 表示 t 年后还款ຫໍສະໝຸດ Baidu额，可以得到：
Ct Ct 1 7.2
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二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型
银行储蓄：计算复利，a≠1。比如，存款方法，本金 2 万元，年利息4%。 如果用 Ct 表示第 t 年的银行存款累计金额，那么：
Ct (1 4%)Ct 1
t = 1，…；C0 = 2。这时 a=1+4%＞1，数量递增。得到一般项：
哲学 研究范畴、范畴与范畴的关系、范畴与终极之间的关系 伦理学：人的行为；逻辑学：人的思维
政治学：社会组织；美学：形态与感官，是艺术的哲学
形而上学：存在的本体论，精神与物质，经验与认识 宗教：是一种情怀，是一种信仰
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学科的分类
思维分类 形象思维 基于观察、观察后的联想、跨越联想的想象 逻辑思维 基于推理：对命题的判断、若干命题判断之间的思维过程 命题：可供判断的陈述句 有逻辑的推理：命题的内涵之间具有传递性 凡人都有死。苏格拉底是人。苏格拉底有死。 无逻辑的推理：命题的内涵之间不具有传递性 苹果是酸的。酸是一种味道。苹果是一种味道。 辩证思维 强调事物的两个方面：中国的阴阳 矛盾是对立的、是可以转化的、因而也是统一的 西方（黑格尔）重视：合二而一 东方（易经、老子）：一分为二、合二而一
固定投资、变化乘数。如果固定系数：a0 = 10、投资：I = 10。 当乘数a = 3/5时，收入Y = 50； 当乘数a = 4/5时，收入Y = 100。 乘数增加1/5，收入增加100 – 50 = 50，是投资的5倍。 通过消费刺激经济，促进收入。
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一、凯恩斯宏观经济模型
弗里德曼（Friedman，1912-2006，1979年诺贝尔经济学奖） 研究持久收入消费理论，在持久收入下 消费倾向 a =1； 并且有 a青年 ＞ a老年。 托宾（Tobin，1918-2002，1981年诺贝尔经济学奖） 在凯恩斯模型的基础上研究了货币的作用、以及货币价值的变化，引入 了“实在财富”的概念，表示为 W，定义为
经济学中的数学模型
东北师范大学
史宁中
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学科的分类
形态分类 科学 研究概念、概念与概念的关系、概念与现实之间的关系 判断正确与否的准则是事实 命题判断，无论是谁、无论何时、无论何地 艺术 研究作品、作品与作品的关系、作品与感觉之间的关系 判断正确与否的准则是价值观
作品判断，因人而变、因时而变、因地而变
Yt Ct I t Ct a0 aYt 1
I t I 0 b(Ct Ct 1 )
Yt，Ct 和 It 分别表示 t 时间收入、消费和投资；I0 表示政府支出。 强化了消费对投资的影响、进而对收入的影响。求解过程得到一个 二阶非齐次差分方程，无实根时有阻尼震荡解，解释了经济周期。
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学科的分类
学科分类 自然学科 科学 逻辑思维 + 形象思维 数学、物理、化学、地质、天文、生物、医学、信息 概念之间的关系是必然的 人文学科 艺术
形象思维 + 逻辑思维
语言、文学、历史、音乐、美术、舞蹈、影视、传媒 社会学科 科学 + 艺术
辩证思维 + 逻辑思维 + 形象思维
政治、社会、伦理、经济、商学、管理、心理、教育 概念之间的关系是或然的
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二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型
动力系统
Ct aCt 1 b
称使得 C = aC + b 成立的常值 C 为动力系统的平衡点。得到
C b (1 a)
投资额度。一个项目花费100万，在这个花费下回报120%，为 稳定这个关系，起始投入应当多少？资金运转方程为： 再生产资金 = 收入 – 支出 Ct 1.2Ct 1 100 平衡点为：a = -100/(1-1.2) = 500，起始投入500万元。容易 验证，对于每一个年份 t，资金运转方程的解都是500万元。
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一、凯恩斯宏观经济模型 二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型
三、时间序列：经济增长与因果分析模型
四、限制优化：组合投资模型
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一、凯恩斯宏观经济模型
凯恩斯（Keynes，1883－1946）强调政府对于市场的干预。 凯恩斯静态模型两个方程。第一个方程：收入 = 消费 + 投资 第二个方程：消费 = 基本 + 收入比例
在凯恩斯模型的基础上，学者们又考虑了时间、货币、持久收入， 但没有考虑长期消费：房子，汽车；提前消费：信用卡。
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二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型
与时间有关的基本模型：现在 = F(过去) 。最简单形式：
Ct aCt 1 b
当 b 为常数：动力系统；当 b 为随机变量：时间序列。 住房贷款：不计算复利，a=1。比如，考虑贷款规则：贷款本金80万元、年息 为本金的 4%。每年还利息、以及本金的5%。20年还清。 每年还款：利息 80×4% = 3.2，本金 80×5% = 4，合计 3.2+4 = 7.2。 一共还款： 7.2×20 = 144（万元）。
Y CI
C a0 aY
其中 Y：国民收入；C：国民消费；I：国民投资；a0 为基本消费；a 为消 费倾向：a ≦1。通过计算可以得到
Y
a0 I 1 a
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a 越接近 1，消费倾向越强，国民收入越高。
一、凯恩斯宏观经济模型
固定乘数、变化投资。如果固定系数：a0 = 10、乘数：a = 4/5。 当投资 I = 5时，收入Y = 75； 当投资 I = 10时，收入Y = 100。 投资增加5，收入增加 100 – 75 = 25。收入增长是投资增加的5倍。