振动和波

振动和波习题课

Ⅰ教学基本要求

振动和波动

1.掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。

2.理解旋转矢量法。

3.掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。

4.理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。

5.理解机械波产生的条件。掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法及波函数的物理意义。理解波形图线。了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。

6.了解惠更斯原理和波的叠加原理。理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。

7.理解驻波及其形成条件。了解驻波和行波的区别。

8.了解机械波的多普勒效应及其产生原因。在波源或观察者单独相对介质运动，且运动方向沿二者连线的情况下，能用多普勒频移公式进行计算。

9.了解电磁波的性质。

Ⅱ内容提要

一、振动

1.简谐振动的定义：

恢复力F=-kx

微分方程d2x/d t2+ω2x=0

运动方程x=A cos(ωt+ϕ0)

弹簧振子ω=(k/m)1/2，单摆ω=(g/l)1/2，复摆ω=(mgh/J)1/2；

2.描述谐振动的物理量：

(1)固有量：固有频率ω，周期T，频率ν

其关系为ω=2π/T=2πνν=1/T

(2)非固有量，

振幅A: A=(x02+v02/ω2)1/2 位相ϕ: ϕ=ωt+ϕ0 初位相ϕ0: tanϕ0=-v0/(ω x0)

(再结合另一三角函数定出ϕ0)；

3.旋转矢量法(略)；

4.谐振动能量：E k=E sin2(ωt+ϕ0) E p=E cos2(ωt+ϕ0) E=E k+ E p

5.谐振动的合成：

(1)同方向同频率两谐振动的合成A=[A12+A22+2A1A2cos(ϕ20-ϕ10)]1/2

tgϕ0=(A1sinϕ10+A2sinϕ20)/(A1cosϕ10+A2cosϕ20) (再结合另一三角函数定出ϕ0)

拍∆ω<<ω1拍频∆ν=|ν2-ν1|

(2)相互垂直振动的合成

ω1=ω2时为椭圆方程：x2/A12+y2/A22- 2(x/A1)(y/A2)cos(ϕ20-ϕ10)=sin2(ϕ20-ϕ10)

ω1与ω2成简单整数比时成李萨如图形

二、波动

1.机械波的产生的条件:(1)波源,(2)媒质.

机械波的传播实质是相位(或振动状态)的传播,质量并不迁移；

2.描述波的物理量：波长λ，频率ν，周期T，波速.u

其关系为T=1/ν=λ/u u=λ/T=λν

3.平面简谐波的波动方程y=A cos[ω(t-x/u)+ϕ0]=A cos[2π(t/T-x/λ)+ϕ0]=A cos[2π(νt-x/λ)+ϕ0]

4.平均能量密度w=ρA2ω2/2，能流密度(波的强度) I=w u=ρA2ω2u/2

5.惠更斯原理(略)；

6.波的叠加原理：独立性，叠加性；

7.波的干涉

(1)相干条件：频率相同，振动方向相同，位相差恒定。

(2)相干加强与减弱的条件：加强∆ϕ=2kπ减弱∆ϕ=(2k+1)π其中∆ϕ=ϕ20-ϕ10-2π(r2-r1)/λ

(3)驻波：波腹处振幅最大，波节处振幅最小，相邻波节(或波幅)之间的距离为λ/2；

8.半波损失：波从波疏媒质(ρu较小)向波密媒质(ρu较大)传播，在界面上反射时，反射波中产生半波损失，其实质是位相突变π；

9.多普勒效应：只考虑波源和观察者在同一直线上运动时的频率变化公式

波源运动(v S)等效波长改变ν'=ν0u /(u-v S)

观察者运动(v B)相当于波速变化ν''=ν0(u+v B)/u (相互接近v R v S取正)

波源运动(v S), 观察者也运动(v B) ν''=ν0(u+v B)/ (u-v S)

课堂例题 一.选择题

1. 一物体作简谐振动，振动方程为 x =A cos(ωt +π/4 )， 在t=T/4(T 为周期)时刻，物体的加速度为

(A)

222ωA -. (B) 222ωA . (C) 232ωA -. (D) 232ωA .

2. 以下说法不正确的是

(A) 从运动学角度看,振动是单个质点(在平衡位置的往复)运动,波是振动状态的传播,质 点并不随波前进；

(B) 从动力学角度看振动是单个质点受到弹性回复力的作用而产生的,波是各质元受到邻近质元的作用而产生的；

(C) 从能量角度看,振动是单个质点的总能量不变,只是动能与势能的相互转化；波是能量的传递,各质元的总能量随时间作周期变化,而且动能与势能的变化同步；

(D) 从总体上看,振动质点的集合是波动. 3. 以下说法错误的是

(A) 波速与质点振动的速度是一回事,至少它们之间相互有联系；

(B) 波速只与介质有关,介质一定,波速一定,不随频率波长而变,介质确定后,波速为常数； (C) 质元的振动速度随时间作周期变化；

(D) 虽有关系式v = λν,但不能说频率增大,波速增大.

4. 两根轻弹簧和一质量为m 的物体组成一振动系统,弹簧的倔强系数为k 1和k 2,并联后与物体相接.则此系统的固有频率为

ν等于 (A)

π2//)(21m k k +. (B)

π2/)/(2121m k k k k +.

(C)

π

2)/(21k k m +. (D)

π

2)/()(2121m k k k k +.

5. 一辆汽车以25ms -1的速度远离一静止的正在呜笛的

机车，机车汽笛的频率为600Hz ，汽车中的乘客听到机车呜

笛声音的频率是(已知空气中的声速为330 ms -1) (A) 555Hz . (B) 646 Hz .

(C) 558 Hz . (D) 649 Hz . 二.填空题

1. 如图3.1所示，波源s 1和s 2发出的波在P 点相遇，P

点距波源s 1和s 2的距离分别为3λ和10λ/3，λ为两列波在介

质中的波长，若P 点的合振幅总是极大值，则两波源振动方

向 (填相同或不同),振动频率 (填相同或不

同) ，波源s 2 的位相比s 1 的位相领先 .

2. 一简谐振动的旋转矢量图如图

3.2所示，振幅矢量长

2cm , 则该简谐振动的初位相为 ,振动方程为 .

3. 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能的 ； 当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长∆ l ,这一振动系统的周期为 . 三.计算题

1. 一定滑轮的半径为R , 转动惯量为I ,

的物体，另一端

与一固定的轻弹簧相连，如图3.3所示，擦力及空气阻力，现将物体m 角频率.

2. 一弦线,左端系于音叉的一臂的A 点上,,音叉在垂直于弦线长度的方向上作每秒50

波,并形成了驻波,弦的线密度η=2.0g/m, 4cm,在t = 0时,O 点处的质点经过其平衡位置向下运动.O 、B ,向右为x 轴正方向,试写出: (1) 入射波和反射波的表达式； (2) 驻波的表达式.

图3.4

s 1s 2 图3.1 t 图3.2