相空间 刘维尔定理热力学
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3
斯特藩-玻耳兹曼定律
x m / kT 2.822
ω m与温度T成正比---维恩位移定律(1893)
知识回顾：§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
光子气体的热力学函数
l
ln l ln(1 e l )
2V 1 ln 45c 3 3
F NkT ln Z1 kT ln N!
知识回顾
8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Chap.8 玻色统计和费米统计 §8.1 热力学量的统计表达式 抛弃粒子轨道的概念 （1）微观粒子的能量和动量是不连续的 （2）微观全同粒子不可分辨 （3）微观粒子的行为要满足不确定关系 （4）费米子受泡利不相容原理的限制
U ln Y 1 1 ln P ln y V
S k (ln ln ln )
k (ln N U )
S k ln
J U TS N kT ln
2k 4 V 4 U ln T 3 3 15c 1 2k 2 4 p ln T 3 3 V 45c
1 p u 3
4 2k 3 V 4 S k ln ln T 3 3 45 c
知识回顾： §8.2 弱简并理想玻色和费米气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Chap.8 玻色统计和费米统计 Chap.7中的经典极限条件（非简并条件）：
e 1
(e
1)
l
al
1
所谓“弱简并条件”即气体的
e 1
n3 1
e
Z1 V 2mkT 3 / 2 ( ) 2 N N h
很大
n3 很小，但不可忽略！
知识回顾： §8.2 弱简并理想玻色和费米气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Bose气体 Fermi气体 Boltzmann气体
弱简并条件下的系统 内能的差异
3 1 3 U NkT 1 n 2 4 2g
（1）第一项是根据Boltzmann分布得到的内能 （2）第二项是量子统计关联所导致的附加内能， 弱简并的情况下附加内能很小； Fermi气体附加内能为正 —等效的排斥作用 Bose 气体附加内能为负 ---等效的吸引作用
e
l
l
Z1 l e l
l
N p ln Z1 V S Nk (ln Z1 ln Z1 )
S k ln
S Nk (ln Z1 ln Z1 ) k ln N!
F NkT ln Z1
满足经典极限条件 的玻色和费米系统
知识回顾：§8.3 Bose –Einstein 凝聚 8.2 弱简并理想 Bose气体和Fermi气体
1.理想Bose气体的化学势 0
2 2 2/3 2.临界温度（凝聚温度）： Tc n 2/3 (2.612) m k
3. T<Tc时：
1/ 2 2 d n0 (T ) 3 (2m)3 / 2 n 0 h e kT 1
4. Bose-Einstein 凝聚
T<Tc时，就有宏观量级的粒子在能级ε=0凝聚， 这一现象称为Bose-Einstein凝聚，简称Bose凝聚。 Bose凝聚体的E=0; P动量=0; S=0; P压强=0
5. Bose-Einstein 凝聚的条件：
n 2.612
3
知识回顾：§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
知识回顾：§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
空窖辐射的内能
V 3d U 2 3 / kT c 0e 1
k 4 U VT 15c 3 3
2 4
u aT 4
V d U ( , T )d 2 3 / kT c e 1
知识回顾
8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Chap.7 玻尔兹曼统计 粒子的配分函数Z1
基本热力学函数、内能、 物态方程、熵、自由能
系统的全部平衡性质
知识回顾
8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
N e
U e
e
l l
l l
l
e Z1
N ln Z1
T 0; S 0
知识回顾：§8.5 金属中的自由电子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
讨百度文库强简并的 Fermi气体的特性
T>0K时自由 电子的性质
e 1
n3 1
低温极限（T＝0K） 时自由电子的性质
Fermi分布
知识回顾： §8.5 金属中的自由电子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
知识回顾：玻色和费米系统的巨配分函数和热力学公式 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Bose 系统
l [1 e
l l l l
Fermi系统
]
l [1 e
l l l l
]
N
ln
V D( )d 2 3 2 d c
3
l
al
1 e
l
1
V d U ( , T )d 2 3 / kT 普朗克公式 c e 1
V 2 U ( , T ) d kTd 低频极限： 2 3 c 瑞利(1900)-金斯(1905)公式 V 3 / kT d 高频极限： U ( , T )d 2 3 e c 维恩(1896)公式
T=0K下自由电子的性质
Fermi能级
2 N (0) 3 2m V U ( 0) 3 ( 0) N 5 2 U ( 0) 2 p ( 0) n ( 0) 3 V 5
斯特藩-玻耳兹曼定律
x m / kT 2.822
ω m与温度T成正比---维恩位移定律(1893)
知识回顾：§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
光子气体的热力学函数
l
ln l ln(1 e l )
2V 1 ln 45c 3 3
F NkT ln Z1 kT ln N!
知识回顾
8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Chap.8 玻色统计和费米统计 §8.1 热力学量的统计表达式 抛弃粒子轨道的概念 （1）微观粒子的能量和动量是不连续的 （2）微观全同粒子不可分辨 （3）微观粒子的行为要满足不确定关系 （4）费米子受泡利不相容原理的限制
U ln Y 1 1 ln P ln y V
S k (ln ln ln )
k (ln N U )
S k ln
J U TS N kT ln
2k 4 V 4 U ln T 3 3 15c 1 2k 2 4 p ln T 3 3 V 45c
1 p u 3
4 2k 3 V 4 S k ln ln T 3 3 45 c
知识回顾： §8.2 弱简并理想玻色和费米气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Chap.8 玻色统计和费米统计 Chap.7中的经典极限条件（非简并条件）：
e 1
(e
1)
l
al
1
所谓“弱简并条件”即气体的
e 1
n3 1
e
Z1 V 2mkT 3 / 2 ( ) 2 N N h
很大
n3 很小，但不可忽略！
知识回顾： §8.2 弱简并理想玻色和费米气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Bose气体 Fermi气体 Boltzmann气体
弱简并条件下的系统 内能的差异
3 1 3 U NkT 1 n 2 4 2g
（1）第一项是根据Boltzmann分布得到的内能 （2）第二项是量子统计关联所导致的附加内能， 弱简并的情况下附加内能很小； Fermi气体附加内能为正 —等效的排斥作用 Bose 气体附加内能为负 ---等效的吸引作用
e
l
l
Z1 l e l
l
N p ln Z1 V S Nk (ln Z1 ln Z1 )
S k ln
S Nk (ln Z1 ln Z1 ) k ln N!
F NkT ln Z1
满足经典极限条件 的玻色和费米系统
知识回顾：§8.3 Bose –Einstein 凝聚 8.2 弱简并理想 Bose气体和Fermi气体
1.理想Bose气体的化学势 0
2 2 2/3 2.临界温度（凝聚温度）： Tc n 2/3 (2.612) m k
3. T<Tc时：
1/ 2 2 d n0 (T ) 3 (2m)3 / 2 n 0 h e kT 1
4. Bose-Einstein 凝聚
T<Tc时，就有宏观量级的粒子在能级ε=0凝聚， 这一现象称为Bose-Einstein凝聚，简称Bose凝聚。 Bose凝聚体的E=0; P动量=0; S=0; P压强=0
5. Bose-Einstein 凝聚的条件：
n 2.612
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知识回顾：§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
知识回顾：§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
空窖辐射的内能
V 3d U 2 3 / kT c 0e 1
k 4 U VT 15c 3 3
2 4
u aT 4
V d U ( , T )d 2 3 / kT c e 1
知识回顾
8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Chap.7 玻尔兹曼统计 粒子的配分函数Z1
基本热力学函数、内能、 物态方程、熵、自由能
系统的全部平衡性质
知识回顾
8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
N e
U e
e
l l
l l
l
e Z1
N ln Z1
T 0; S 0
知识回顾：§8.5 金属中的自由电子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
讨百度文库强简并的 Fermi气体的特性
T>0K时自由 电子的性质
e 1
n3 1
低温极限（T＝0K） 时自由电子的性质
Fermi分布
知识回顾： §8.5 金属中的自由电子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
知识回顾：玻色和费米系统的巨配分函数和热力学公式 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Bose 系统
l [1 e
l l l l
Fermi系统
]
l [1 e
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]
N
ln
V D( )d 2 3 2 d c
3
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al
1 e
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V d U ( , T )d 2 3 / kT 普朗克公式 c e 1
V 2 U ( , T ) d kTd 低频极限： 2 3 c 瑞利(1900)-金斯(1905)公式 V 3 / kT d 高频极限： U ( , T )d 2 3 e c 维恩(1896)公式
T=0K下自由电子的性质
Fermi能级
2 N (0) 3 2m V U ( 0) 3 ( 0) N 5 2 U ( 0) 2 p ( 0) n ( 0) 3 V 5