相空间 刘维尔定理热力学
第九章 系综理论
第九章 系综理论1.教学内容（1） 相空间 刘维尔定理； （2） 微正则分布（3） 微正则分布的热力学公式 （4） 正则分布（5） 正则分布的热力学公式 （6） 实际气体的物态方程 （7） 固体的热容量（8） 液4He 的性质和朗道超流理论 （9） 伊辛模型的平均场理论 （10） 巨正则分布的热力学公式 （11） 巨正则分布的简单应用 2.本章重难点（1） 本章重点是正则分布、正则分布、巨正则分布的热力学公式； （2） 本章难点是实际气体的物态方程及固体的热容量 1. 例题例题 1 证明在正则分布中熵可表为∑-=ss skS ρρln 其中sE s e Zβρ-=1是系统处在s 态的概率 解证: )ln (ln ββ∂∂-=Z Z k S 多粒子配分函数)1(1ss E s E e Z e Z ββρ--=⇒=∑)2(ln ∑∑---=∂∂k E kE k kkee E Zβββ由(1)知[]s s s s s E Z E Z E Z esρβρβρβln ln 1;ln ln +=-+=-⇒=-代至(2)得[]∑∑+=+=∂∂ss ss s s Z Z Z ρρββρρββln 1ln 1ln ln 1ln ;于是∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=s s s k Z Z k S ρρββln ln ln 例题2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵解证：()222121;iz iy ix Ni s sE p p p mE eZ s++==∑∑=-β 符号∏=i iz iy ixdp dp dpdp符号∏=iiiidzdy dx dq()()2/33)(232332!!!!1222122212222N NNNp p p m N N p p p m NNp p pN m h N V Z dp e h N V dpeh N Vdpdq e hN Z z y x Ni iziy ix Ni iziy ix m⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=∑=⎰⎰⎰∞+∞-++-∞+∞-++-++-==βπβββ利用式（9.5.3）VNTkV Z Z Z P =∂∂=∂∂=⇒βββ1ln 1类似求S U ,例题3 体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为1n 和2n ，温度为T 。
微正则分布的热力学公式热力学
V E 3 h
N
2m E3N / 2 N!3N / 2!
N 3N / 2
3N E E E 2 E
V 2m 3N 3 N / 21 E E 3 E E E h N!3N / 2! 2
H U pV G U pV TS
§9.3 微正则分布的热力学公式
三、应用：利用微正则分布处理单原子分子理想气体 以单原子经典理想气体为例：设气体含有N个单 原子分子
pi2 H i 1 2m
3N
1 E N! h 3 N
1 E H q , p E E
量子表达式
E H (q, p) E E (q, p) constant , H (q, p) E , H (q, p) E E (q, p) 0,
s
1
§9.3 微正则分布的热力学公式
§9.3 微正则分布的热力学公式 一、微观态数与热力学几率 1. 微观态数 考虑一个孤立系统A(0)： 它由微弱相互作用的两个 系统A(1) 和A(2)组成。 A(1)的微观状态数： A(2)的微观状态数： 系统总的微观状态数： Ω1(N1, E1, V1) Ω2(N2, E2, V2) Ω(0)= Ω1(E 1) Ω2 (E2)
S k ln ln m! m ln m m
V 3N 3N 3N 3/ 2 S Nk ln 3 2m E k N ln N N k ln 2 2 h 2
3N E k ln ln 2 E
热力学〃统计物理
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Chap.9 系综理论 §9.1 相空间 刘维尔定理 §9.2微正则分布
liouville定理
liouville定理
liouville定理是刘维尔定理，是复变函数中的基本定理之一，其内容可简单描述为“一个有界的整函数必是常函数"，整函数为在有限复平面上解析的复函数。
刘维尔定理是整数论中的一个著名的结论,应用在物理学中，该定理是经典统计力学和哈密尔顿力学中的一个关键定理，这个定理断言，相空间的分布函数沿系统轨迹是恒定的，即，给定一个系统点，与该点相邻的系统点的密度在相空间运动期间相对于时间是恒定的。
把相点的集合看作流体，并结合哈密顿正则方程和连续性方程推导出刘维尔定理，从这个角度，我们可以直观地看到刘伟定理的意义，相点集的运动是不可压缩流体的运动，它是以法国数学家约瑟夫·刘维尔的名字命名的，这也是辛拓扑和遍历理论的数学结果。
任何自然数的所有因数的因子数目的集合是一个刘维尔正整数集。
.
【扩展：关于刘维尔】
刘维尔是法国数学家，1809年生于法国加来海峡省圣奥梅尔。
1831年被综合
工科学校教育委员会选为马蒂厄的分析与力学课助教，由此开始了自己近50年
的科学研究生涯。
为使自己的教学工作保持在大学水平上，他在1836年攻取了博士学位，论文题为“关于函数或其一部分的正弦与余弦级数展开式”探讨了傅里叶级数及其在各种力学、物理学问题中的应用。
热力学与统计物理教学大纲
《热力学与统计物理》教学大纲课程名称：《热力学与统计物理》英文名称：Thermodynamics and statistic p hysics课程性质：学科教育必修课课程编号：E121015所属院部：光电工程学院周学时:3学时总学时:45学时学分:3学分教学对象(本课程适合的专业和年级） :物理学专业(本科）2012级学生预备知识:高等数学、概率统计、普物课程在教学计划中的地位作用：《热力学·统计物理》课是物理专业学生的专业基础课,与理论力学、量子力学、电动力学共同构成物理专业重要的四门必修课，通常称为物理专业的四大力学课。
热力学和统计物理的任务是研究热运动的规律，研究与热运动有关的物性及宏观物质系统的演化.本课程的作用是使学生掌握热力学与统计物理的基本原理和处理具体问题的一些重要方法，并初步具有用这些方法解决较简单问题的能力。
教学方法:以板书手段为主要形式的课堂教学。
在课堂教学中，教师应精心组织教学内容,注重发挥学生在教学活动中的主体作用和教师的主导作用，注重采用多种教学形式提高课程教学质量。
注意在学习中调动学生积极性和创造性，注重各种教学方法的灵活应用。
教学目标与要求：要求学生初步掌握与热现象有关的物质宏观物理性质的唯象理论和统计理论，并对二者的特点与联系有一个较全面的认识同时注重对学生逻辑思维能力的培养，强调学生物理素养的生成和提高.课程教材:汪志诚主编. 热力学统计物理（第四版).北京：高等教育出版社，2010年参考书目：[1] 苏汝铿主编. 统计物理学。
上海:复旦大学出版社，2004年[2] 王竹溪主编。
热力学简程. 北京：高等教育出版社，1964[3] 王竹溪主编。
统计物理学导论. 北京：高等教育出版社，1956考核形式：考核方式为考试。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩不超过30%，期末成绩不少于70％。
编写日期：2012年5月制定课程内容及学时分配(含教学重点、难点):本课程内容主要包括：热力学的基本规律麦克斯韦关系及其应用,气体的节流膨胀与绝热膨胀,基本热力学函数，特性函数，平衡辐射热力学，磁介质热力学等。
刘维尔 经典力学
刘维尔经典力学？
答：刘维尔（Joseph Liouville）是一位19世纪的法国数学家，他在数学、力学和天文学等多个领域都有显著的贡献。
尽管他的工作主要集中在数学方面，尤其是数论和微分方程等领域，但他的一些研究也与经典力学有关。
在经典力学中，刘维尔的一个重要贡献是刘维尔定理（Liouville's theorem）。
这个定理是关于相空间（phase space）中流体体积的守恒定律。
相空间是一个抽象空间，用于描述物理系统的状态。
刘维尔定理指出，在哈密顿力学系统中，一团相空间流体的体积不会随时间变化。
这是因为在哈密顿系统中，相空间的演化是保辛的（symplectic），即保持相空间体积不变。
此外，刘维尔还在微分方程边值问题和数论中的超越数问题等方面有深入研究。
他的工作对后来的数学家和物理学家产生了深远的影响，为经典力学和数学的发展做出了重要贡献。
热力学统计物理教学大纲
《热力学·统计物理》课程教学大纲课程名称：热力学·统计物理课程编码：学时：72 学分：4开课学期：第四学期课程类别：学科平台课程课程性质：必修课适用专业：应用物理学先修课程：力学、热学、原子物理，高等数学一、课程的性质、目的与任务热力学与统计物理是研究物质热现象和热运动规律理论的物理课程。
它是微观理论研究和宏观应用之间的一座桥梁，前者采用宏观的研究方法，后者采用微观的研究方法。
两种方法相辅相成，取长补短。
本门课程的学习内容主要有：热力学的基本规律；均匀物质的热力学性质；单元系的相变；多元系的复相平衡和化学平衡；；近独立粒子的最概然分布；玻耳兹曼统计；玻色统计和费米统计；系综理论；。
通过本门课程的学习，使学生能够掌握这两种研究方法，为今后的进一步学习与研究打下必要的基础。
二、教学内容及基本要求第一章热力学的基本规律教学目的和要求：了解热力学系统的平衡态及其描述、热平衡定律和温度、理想气体的内能和绝热过程、理想气体的卡诺循环、自由能和吉布斯函数理解物态方程、功、热力学第二定律、热容量和焓、热力学温标掌握热力学第一定律、卡诺定律、克劳修斯等式和不等式、熵和热力学基本方程、理想气体的熵、热力学第二定律的普遍表述、熵增加原理的的简单应用教学重点和难点：热力学第一定律和物态方程，克劳修斯等式与不等式，热力学基本方程。
教学方法与手段：传统教学与学生自学相结合第一节热力学系统的平衡状态及其描述第二节热平衡定律和温度第三节物态方程第四节功第五节热力学第一定律第六节热容量和焓第七节理想气体的内能第八节理想气体的绝热过程第九节理想气体的卡诺循环第十节热力学第二定律第十一节卡诺定理第十二节热力学温标第十三节克劳修斯等式与不等式第十四节熵和热力学基本方程第十五节理想气体的熵第十六节热力学第二定律的表述第十七节熵增加原理的简单应用第十八节自由能和吉布斯函数复习与作业要求：完成课后相关习题。
考核知识点：熵增加原理的应用，理想气体的熵。
《热力学与统计物理》考试大纲
武汉工程大学《热力学与统计物理》考研考试大纲一、考试的基本要求要求考生系统掌握《热力学与统计物理》的基本概念、基本理论、基本方法；掌握由大量粒子所构成的系统的统计规律性，并掌握分析这类系统的有效方法。
要求考生掌握系统微观运动状态的描述方法，要求考生具有一定的抽象思维能力和逻辑思维能力。
能给出具体问题的微观描述与宏观描述的关系。
二考试方法、考试时间考试方法为闭卷笔试（卷面分数150分）；考试时间为180分钟三、考试内容、考试方法考试主要内容为：热力学基本定律，热力学函数及其应用，不可逆过程热力学，玻耳兹曼统计分布，系综理论，量子统计分布。
1.热力学基本定律考试内容：温度及物态方程；准静态功；热力学第一定律、第二定律；卡诺定理热力学温标；克劳修斯等式和不等式熵与热力学、热力学基本方程熵差的计算熵增加原理的简单应用、不可逆过程的判断。
考试要求:（1）掌握热力学方法的特点、基本概念（2）掌握功与循环的相关计算、物态方程的确定（3）掌握系统熵函数的计算、系统状态变化的方向。
2.均匀物质的热力学性质考试内容：内能、焓、自由能和吉布斯函数Maxwell关系及简单应用基本热力学函数的确定特性函数平衡辐射的热力学磁介质系统热力学电介质系统热力学开放系统的热力学基本方程考试要求：（1）掌握如何确定系统的特性函数（2）掌握如何确定系统的基本热力学函数（3）掌握磁致伸缩和压磁效应的本质（4）了解开放系统的热力学基本不等式。
3. 相变理论基础考试内容：单元二相系统的平衡，两相的转变临界现象复相系的平衡性质、相律、相图朗道连续相变理论理想气体的化学反应、平衡条件热力学第零三定律考试要求：（1）掌握热动平衡判据的理论和方法（2）掌握单元和多元系的热力学基本方程（3）掌握复相系的平衡性质和朗道连续相变理论（4）了解理想气体的化学反应、平衡条件（5）掌握热力学第三定律4. 不可逆过程热力学简介考试内容：局域熵产生率昂萨格关系温差电现象考试要求：掌握不可逆过程热力学的基本思想和基本方法。
刘维尔定理内容(一)
刘维尔定理内容(一)
刘维尔定理及其应用
1. 什么是刘维尔定理？
刘维尔定理是伟大的数学家刘维尔在19世纪提出的一条重要定理，它描述了随机过程中熵的增加。
熵可以理解为系统的不确定度或混乱
度的度量，刘维尔定理揭示了熵在自然世界中的普遍增加趋势。
2. 刘维尔定理的主要内容
•刘维尔定理表明，在一个孤立系统中，经过一段时间后，系统的熵将不断增加，系统将趋向于更高的混乱度或不确定度。
•刘维尔定理还指出，即使在微观层面上的过程是可逆的，也无法阻止熵的增加。
尽管在短时间内，系统的熵可能会减少，但长期
趋势却是熵增加。
•这一定理在热力学、信息论、统计力学等领域中有广泛应用，被视为自然界中一种普遍现象的数学表达。
3. 刘维尔定理的应用
刘维尔定理在许多领域都有重要应用，以下列举其中几个例子：•热力学：刘维尔定理揭示了热力学中的熵增加趋势，帮助解释了热平衡和热力学过程中的能量转化。
•信息论：刘维尔定理与信息熵密切相关，说明信息传输中的信息丢失以及数据压缩的限制。
•统计力学：刘维尔定理为统计力学提供了基本框架，解释了粒子运动和宏观现象之间的关系，如布朗运动、分子扩散等。
•生态学：刘维尔定理应用于生态系统分析中，帮助解释生物多样性和能量流动等生态现象。
•社会学：刘维尔定理的思想被应用于社会系统的研究，如群体行为、市场力学等。
4. 总结
刘维尔定理是一条描述系统熵增加的重要定理，揭示了自然界中系统混乱度或不确定度增加的普遍趋势。
它在热力学、信息论、统计力学、生态学和社会学等多个领域都有重要应用。
该定理的理解和应用为我们解释和探索自然界中各种现象提供了有力的工具。
热力学与统计物理期末复习题
热力学统计物理1、请给出熵、焓、自由能和吉布斯函数的定义和物理意义解：熵的定义：S B−S A=∫dQT ⟹B A dS=dQT沿可逆过程的热温比的积分,只取决于始、末状态,而与过程无关，与保守力作功类似。
因而可认为存在一个态函数，定义为熵。
焓的定义：H=U+pV焓的变化是系统在等压可逆过程中所吸收的热量的度量。
自由能的定义：F=U−TS自由能的减小是在等温过程中从系统所获得的最大功.吉布斯函数的定义：G =F+pV= U – TS + pV在等温等压过程中,系统的吉布斯函数永不增加。
也就是说,在等温等压条件下,系统中发生的不可逆过程总是朝着吉布斯函数减少的方向进行的。
2、请给出热力学第零、第一、第二、第三定律的完整表述解：热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡(温度相同）,则它们彼此也必定处于热平衡.热力学第一定律：自然界一切物体都具有能量，能量有各种不同形式，它能从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递给另一个物体，在转化和传递过程中能量的总和不变。
热力学第二定律:克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化;开氏表述:不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其他变化。
热力学第三定律：能氏定理：凝聚系的熵在等温过程中的改变随热力学温度趋于零，即limT→0(∆S)T=0绝对零度不能达到原理：不肯能通过有限的步骤使一个物体冷却到热力学温度的零度。
通常认为，能氏定理和绝对零度不能达到原理是热力学第三定律的两种表述。
3、请给出定压热容与定容热容的定义,并推导出理想气体的定压热容与定容热容关系式：C p−C V=nR解：定容热容: C V=(ðUðT )V表示在体积不变的条件下内能随温度的变化率;定压热容:C p=(ðUðT )p−p(ðVðT)P=(ðHðT)P表示在压强不变的情况下的熵增；对于理想气体，定容热容C V的偏导数可以写为导数，即C V=dUdT（1）定压热容C p的偏导数可以写为导数，即C P=dHdT(2）理想气体的熵为 H=U+pV=U+nRT (3）由（1)（2）（3）式可得理想气体的定压热容与定容热容关系式：C p−C V=nR4、分别给出体涨系数α，压强系数β和等温压缩系数κT的定义,并证明三者之间的关系：α=κTβp解:体涨系数:α=1V (ðVðT)P，α 给出在压强不变的条件下，温度升高1 K所引起的物体的体积的相对变化;压强系数：β=1p (ðp ðT )v ，β 给出在体积不变的条件下，温度升高1 K 所引起的物体的体积的相对变化；等温压缩系数：κT =−1V (ðV ðp )T ,κT 给出在温度不变的条件下，增加单位压强所引起的物体的体积的相对变化；由于p 、V 、T 三个变量之间存在函数关系f （p ,T ，V ）=0，其偏导数存在以下关系：(ðV ðp )T (ðp ðT )v (ðT ðV )P =−1 因此α， β, κT 满足α=κT βp5、分别给出内能，焓，自由能，吉布斯函数四个热力学基本方程及其对应的麦克斯韦关系式解:内能的热力学基本方程：dU =TdS −pdV对应的麦克斯韦关系式：(ðT ðV )S =−(ðp ðS )V 焓的热力学基本方程:dH =TdS +Vdp对应的麦克斯韦关系式:(ðT ðp )s =(ðV ðS )p 自由能的热力学基本方程:dF =−SdT +Vdp对应的麦克斯韦关系式：(ðS ðV )T =(ðp ðT )V 吉布斯函数的热力学基本方程：dG =−SdT −pdV对应的麦克斯韦关系式： (ðS ðp )T =−(ðV ðT )p 6、选择T ，V 为独立变量，证明：C V =T (ðS ðT )V ,(ðU ðV )T = T (ðp ðT )V −p 证明:选择T ，V 为独立变量，内能U 的全微分为dU =(ðU ðT )V dT +(ðU ðV )T dV （1） 又已知内能的热力学基本方程 dU =TdS −pdV （2）以T ，V 为自变量时，熵S 的全微分为dS =(ðS ðT )V dT +(ðS ðV )T dV （3） 将（3）式代入（2)式可得dU =T (ðS ðT )V dT +[T (ðS ðV )T −P]dV （4） 将（4)式与（1）式比较可得C V =(ðU ðT )V =T (ðS ðT )V （5) (ðU ðV )T = T (ðp ðT )V −p （6） 7、简述节流过程制冷，气体绝热膨胀制冷，磁致冷却法的原理和优缺点解：节流过程制冷:原理:让被压缩的气体通过一绝热管,管子的中间放置一多孔塞或颈缩管。
热力学统计物理各章重点总结
第一章概念1.系统：孤立系统、闭系、开系与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系；与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系；与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系；2.平衡态平衡态的特点:1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2。
热力学的平衡状态是一种动的平衡,常称为热动平衡;3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态.3.准静态过程和非准静态过程准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。
非准静态过程，系统的平衡态受到破坏4.内能、焓和熵内能是状态函数.当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关;表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。
这是态函数焓的重要特性克劳修斯引进态函数熵.定义:5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值定容热容量：定压热容量:6.循环过程和卡诺循环循环过程（简称循环）:如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。
系统经历一个循环后,其内能不变。
理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。
7.可逆过程和不可逆过程不可逆过程：如果一个过程发生后，不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。
可逆过程:如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状.8.自由能：F和G定义态函数：自由能F，F＝U－TS定义态函数:吉布斯函数G,G=U-TS+PV，可得GA－GB－W1定律及推论1.热力学第零定律－温标如果物体A和物体B各自与外在同一状态的物体C达到热平衡,若令A与B进行热接触，它们也将处在热平衡.三要素：（1）选择测温质；(2）选取固定点；（3)测温质的性质与温度的关系。
中山大学热力学统计思考题答案汇总
中⼭⼤学热⼒学统计思考题答案汇总热⼒学思考题答案汇总第⼀章热⼒学的基本规律什么是热⼒学平衡态(弛豫时间、热动平衡)热⼒学平衡态：孤⽴系经过⾜够长的时间后，各种宏观性质在长时间内不发⽣变化弛豫时间：系统由初始状态达到热⼒学平衡态的时间，决定于趋向平衡的过程的性质。
热动平衡：虽然平衡态下的宏观性质不随时间变化，但系统的微观粒⼦仍在不断运动涨落：平衡态下的宏观物理量在平均值附近的变化⾮孤⽴系的平衡态：将系统与外界看作复合的孤⽴系什么是热⼒学第零、⼀、⼆定律(及其表达式)热⼒学第零定律：如果两个系统A和B各⾃与第三个系统达到热平衡，那么A和B之间也处于热平衡热⼒学第⼀定律：系统在终态B 和初态 A 的内能之差U B- U A等于过程中外界对系统所作的功与系统从外界吸收的热量之和热⼒学第⼀定律就是能量守恒定律：⾃然界的⼀切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，可以从⼀种形式转化为另⼀种形式，从⼀个物体传递到另⼀个物体，在传递与转化的过程中能量的数量不变热⼒学第⼀定律的另外⼀种表述：第⼀类永动机是不可能造成的Q +W S= U B- U A热⼒学第⼀定律的数学表达式热⼒学第⼆定律的两种表述克⽒表述：不可能把热量从低温物体传到⾼温物体⽽不引起其它变化开⽒表述：不可能从单⼀热源吸热使之完全变成有⽤的功⽽不引起其它变化热⼒学第⼆定律开⽒表述的另外⼀种说法：第⼆类永动机是不可能造成的什么是物质的物态⽅程(理想⽓体、范⽒⽅程)物态⽅程的⼀般形式和相关物理量物态⽅程的⼀般形式由热平衡定律，平衡态下的热⼒学系统存在状态函数(温度)，物态⽅程就是温度与状态参量之间的函数关系f(p,V,T )=0相关物理量体胀系数α：压强不变，温度升⾼1K的体积相对变化压强系数β：体积不变，温度升⾼1K的压强相对变化等温压缩系数k T：温度不变,增加压强的体积相对变化体胀系数α、压强系数β和等温压缩系数的关系加热固体或液体时很难实现体积不变，即压强系数β很难直接测量，通常是通过α和间接测量β物态⽅程和三个系数的关系由物态⽅程，可以求得α、β和由α和，可以得到物态⽅程的信息理想⽓体(⽓体的压强趋于零)玻意⽿定律：对于固定质量的⽓体，当温度不变时，压强p 和体积V 的乘积是⼀个常数pV=C阿⽒定律：相同的温度和压强下，相等体积的各种⽓体的质量与各⾃的分⼦量成正⽐，即物质的量相等物态⽅程：PV=nRT R=8.3145J.MOL-1.K-1焦⽿定律→上式中的T是理想⽓体温标=热⼒学温标理想⽓体：严格遵从玻意⽿定律、阿⽒定律和焦⽿定律的⽓体微观⾓度的理想⽓体：⽓体分⼦之间的相互作⽤可忽略不计(范式⽅程) 范⽒⽅程：基于理想⽓体物态⽅程，考虑分⼦间的相互作⽤(nb是斥⼒项，an 2/V 2是引⼒项)什么是功的⼀般表⽰式什么是摩尔热容量、等容/等压热容量、内能什么是理想⽓体的卡诺循环(及其效率)热⼒学把严格遵守玻意尔定律，焦⽿定律，阿⽒定律规律的⽓体称为理想⽓体组成的循环。
热力学统计物理-统计热力学课件第九章-49页PPT文档资料
N,V
22
系统热平衡条件 ： 1 2
热力学中类似的两个系统达到热平衡的条件：
US11
N1,V1
US22
N2,V2
比较可得：
1 kT
Skln
S U
N ,V
1 T
——熵与微观状态数的关系—玻耳兹曼关系。
•不仅适用于近独立粒子系统，也适用于粒子间存在相
01.12.2019
1 E (E 11) 2(E 2) 1(E 1) 2 E (E 22) E E 1 20
ln E 11(E1)N1,V1 ln E 22 (E2)N2,V2 ——系统热平衡条件
lnE(E)
ln V
N
,E
lnN 11E1,V1 lnN 22E2,V2
ln N
E,V
1 1
1 2 1 2
01.12.2019
24
•参量的物理意义
全微分： d ln d E d V d N
开系的热力学基本方程：
dSdUpdVdN
TT T 比较可得：
01.12.2019
1 kT
p kT
kT
1 1
1 2 1 2
T1 T2 p1 p2
1 2
25
经典理想气体——确定常量k
(N,E,V)VN
在经典理想气体中，粒子的位置是互不相关的。一个 粒子出现在空间某一区域的概率与其它粒子的位置无关。 一个粒子处在体积为V的容器中，可能的微观状态数与V 成正比，N个粒子处在体积为V的容器中，可能的微观状 态数将与VN成正比。
热力学与统计物理--第七章-系综理论
Sr
k
ln r
)。因为
Es E0
1
，我们将ln r展开，只取
ln r
E0 Es
ln r
E0
ln r Er
Er E0
Es
ln r E0 Es
根据(7.2.9)式
ln r Er
Er E0
1 kT
T是热源的温度。既然系统与热源达到热平衡，T也就是系统
的温度。(7.3.3)式右方第一项对系统来说是一个常数,所以可以将
(7.2.9)式的积分给出空间中能壳 E H q, p E E 的体积．
N个全同粒子 每一粒于的自由度为r 则整个系统的自由度为Nr.
空间体积元 hNr
E E E 的体积除以 hNr
并考虑到全同粒子的不可分辨性，粒子的交换不引起新的微 观状态，再除以粒子的交换数N!
如果系统含有多种不同的粒子
比较(7.2.18)和(7.2.21)式,得
1 kT
S k ln
给出熵与微观状态数的关系 玻耳兹曼关系
A1 A2 不仅可以交换能量 而且可以交换粒子和改变体积
可以得到平衡条件为:
V1 V2 V0 , N1 N2 N0
ln 1 E1
N1 ,V1 ,E1 E1
ln 2 E2
N2 ,V2 ,E2 E2
⒉系综的分类
• 根据给定的宏观条件来分类：微正则系综：大
量的孤立系统即大量具有相同的N,V , E 系统的
集合。
• 正则系综：大量的封闭系统，即大量的具有相
同的 N,V ,T 系统的集合。
• 巨正则系综：大量的开放系统，即大量的具有
相同的化学势 ，体积V和温度的系统的集
合。以上三种系综的概率分布分别叫微正则分 布，正则分布和巨正则分布。
相空间 刘维尔定理
代表点密度：
Ν ( q , q ; p
1 f
1
,
p f ;t)
f
相空间体积元： d dq dq dp dp 1 f 1 满足：
N
( q1 , , q f ; p1 , , p f ; t ) d N
N : 所设想的系统的总数
刘维尔定理（
d dt
0
）
现在先考虑代表点密度 随时间 t 的变化。当时间 由 t 变到 t dt 时，在 q i 、 p i 处的代表点将运动到
在 dt 时间内通过 dA 进入d 的代表点必须位于
t 代表点需要通过这 2 f
dtd
(3)
以 dA 为底、以 q 和 p 为轴线，以 q i dt 为高的柱 体 内。柱体内的代表点数是 q i dtdA
同样，在 dt 时间内通过平面 q i dq i 走出 d 的代表点数为
同时显示坐标和动量（速度）
这就是 相图
相空间的研究及其应用
利用相空间压缩实现混沌与超混沌控制
图1 小角单摆的相图
图1 分别以 和d / dt 为横坐标和纵坐标，则相 图为一椭圆（无阻尼）。
单摆运动对应的相图
图2、一般单摆运动的相图
图3、有阻尼小角单摆相图
与图1相比可见，在小角度低能情况下，相轨迹 呈椭圆形。随着能量逐渐提高，椭圆轨迹变成左右 两端呈尖角枣核状，当振幅（摆角）±π时，轨线 上出现鞍点G、G’，实际上都对应于倒立摆的状态 ，是不稳定的双曲点。当能量再高时，相轨迹不再 闭合，摆将顺时针或逆时针转起来，不再往复摆动 。
q i q i dt , p i p i dt 处。在后一处的密度是
《热力学·统计物理学》教学大纲
《热力学·统计物理学》教学大纲课程性质：专业基础课课程编码：适用专业：物理学教育本科编制时间：2007年2月修改时间：2008年8月一、预备知识：普通物理课程《力学》、《热学》、《光学》、《电磁学》和《原子物理》，以及《高等数学》，还有《理论力学》的学习，《热学》是其前期课程。
二、教学目的：热力学与统计物理学课程是高等学校物理学科主干课程体系中四大力学之一，其主要内容都是后续课程中不可或缺的基础，是有承上启下的知识连接作用。
通过本课程的学习，通过本课程的学习，应使学生在《热学》的基础上，较深入地掌握热力学与统计物理学的基本概念，系统地理解研究热现象的宏观与微观理论，基本掌握运用有关理论处理具体问题的方法，在逻辑思维和演义推理方面得到进一步训练，提高分析问题和解决问题的能力。
结合一些物理学史的介绍，使学生了解如何由分析物理实验结果出发、建立物理模型，进而建立物理理论体系的过程，了解微观物理学对现代科学技术重大影响和各种应用，了解并适当涉及正在发展的学科前沿，扩大视野，引导学生勇于思考、乐于探索发现，培养其良好的科学素质。
三、教学要求：本课程是后续多门专业课程，特别是固体物理学与半导体物理学的基础。
课程的学习有别于中学课程的学习，要求学生掌握科学的学习方法，培养学生独立的思考能力。
该课程重物理概念和基本原理，轻数学计算（热力学方面要求熟练运用雅可比行列式，统计物理学方面会运用玻耳兹曼分布和配分函数）。
在热力学方面要求学生掌握热力学的系统描述参量及其性质；热力学中的基本实验规律与三大定律；状态函数的本质及其在其他学科的应用；了解相变的基本规律和描述方法。
在统计物理学方面要求学生能够用物理学微观的统计方法把物理系统的宏观性质与微观粒子的统计规律联系起来。
掌握统计物理的基本理论，学会用来解决一些基本的和与专业有关的一些热运动方面的问题。
掌握热力学的基本规律和统计物理的基本理论，重点为三种分布函数及其关系；学会由配分函数导出系统的热力学函数和其他的物理量。
谈谈对刘维尔公式的理解
谈谈对刘维尔公式的理解
刘维尔公式是一种经典物理公式，被广泛应用于热力学、统计物理等领域。
它描述了物质内能与温度、熵的关系，具体公式为 U = TS - PV，其中U表示内能，T表示温度，S表示熵，P表示压力，V表示体积。
从这个公式中我们可以看出，内能与温度、熵的关系是密切相关的。
随着温度的升高，物质的内能也会增加，这是因为温度升高会增加分子的动能，从而增加物质的内能。
而熵则是描述物质的无序程度，也可以用来衡量物质的“混乱程度”。
因此，当物质的熵增加时，内能也会增加，这是因为熵的增加意味着物质分子的运动更加混乱，从而增加了物质的内能。
另外，刘维尔公式还包含了压力和体积这两个变量。
当物质受到外力的压缩时，体积会减小，从而使内能减少。
而当物质被膨胀时，体积会增大，从而使内能增加。
因此，刘维尔公式也可以用来描述物质在压缩或膨胀过程中内能的变化。
总之，刘维尔公式是描述物质内能与温度、熵、压力和体积之间关系的重要公式。
熟练掌握该公式可以帮助我们更好地理解物质的热力学性质，从而在实际应用中更加准确地计算和预测相关物理现象。
- 1 -。
9.1 相空间 刘维尔定理
§9.1 相空间 刘维尔定理
[证明] 现在考虑代表点密度ρ 随时间t 的变化． 当时间由t 变到t + dt 时，
在 (qi , pi ) 处的代表点将运动到 (qi q i dt, pi p i dt)
(q1 q1dt , , q f q f dt; p1 p1dt , , p f p f dt , t dt )
当时间由t变到tdtdt全微分91相空间刘维尔定理考虑相空间中一个固定的体积元边界是2f对平面dpdpdpdqdqdq时刻td内的代表点数时刻tdtd内的代表点数经dt时间后d内代表点数的增加91相空间刘维尔定理代表点需要通过2f对边界平面才能进入或走出体积元d进入d的代表点数d在平面q上的边界面积在dt时间内通过da进入d的代表点必须位于以da为为高的柱体内
S k (ln ln ln )
k (ln N U )
S k ln
J U TS N kT ln
§9.1 相空间 刘维尔定理
Chap.9 系综理论
回顾：近独立粒子
平衡态统计物理的普遍理论—系综理论 应用系综理论可以研究互作用粒子组成的系统． §9.1 相空间 刘维尔定理 如何描述系统的微观（力学）运动状态 ？
i ) ( q i ) qi dqi dtdA ( q i ) qi ( q dqi dtdA 走出 qi
( qi ) ( qi ) dqi dtdA dtd qi qi
类似的讨论可得，在dt 时间内通过一对平面 pi和pi +d pi净进入dΩ的代表点数为
它是 q1, q2 ,q f ; p1, p2 , p f 的函数,存在外场时 还是外场参量的函数, 不是时间t 的显函数。
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知识回顾：§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
空窖辐射的内能
V 3d U 2 3 / kT c 0e 1
k 4 U VT 15c 3 3
2 4
u aT 4
V d U ( , T )d 2 3 / kT c e 1
知识回顾：玻色和费米系统的巨配分函数和热力学公式 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Bose 系统
l [1 e
l l l l
Fermi系统
]
l [1 e
l l l l
]
N
ln
3
斯特藩-玻耳兹曼定律
x m / kT 2.822
ω m与温度T成正比---维恩位移定律(1893)
知识回顾：§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
光子气体的热力学函数
l
ln l ln(1 e l )
2V 1 ln 45c 3 3
V D( )d 2 3 2 d c
3
l
al
1 e
l
1
V d U ( , T )d 2 3 / kT 普朗克公式 c e 1
V 2 U ( , T ) d kTd 低频极限： 2 3 c 瑞利(1900)-金斯(1905)公式 V 3 / kT d 高频极限： U ( , T )d 2 3 e c 维恩(1896)公式
U ln Y 1 1 ln P ln y V
S k (ln ln ln )
k (ln N U )
S k ln
J U TS N kT ln
2k 4 V 4 U ln T 3 3 15c 1 2k 2 4 p ln T 3 3 V 45c
1 p u 3
4 2k 3 V 4 S k ln ln T 3 3 45 c
知识回顾： §8.2 弱简并理想玻色和费米气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Chap.8 玻色统计和费米统计 Chap.7中的经典极限条件（非简并条件）：
e 1
(e
1)
l
al
1
所谓“弱简并条件”即气体的
e 1
n3 1
e
Z1 V 2mkT 3 / 2 ( ) 2 N N h
知识回顾：§8.3 Bose –Einstein 凝聚 8.2 弱简并理想 Bose气体和Fermi气体
1.理想Bose气体的化学势 0
2 2 2/3 2.临界温度（凝聚温度）： Tc n 2/3 (2.612) m k
3. T<Tc时：
1/ 2 2 d n0 (T ) 3 (2m)3 / 2 n 0 h e kT 1
4. Bose-Einstein 凝聚
T<Tc时，就有宏观量级的粒子在能级ε=0凝聚， 这一现象称为Bose-Einstein凝聚，简称Bose凝聚。 Bose凝聚体的E=0; P动量=0; S=0; P压强=0
5. Bose-Einstein 凝聚的条件：
n 2.612
3
知识回顾：§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
知识回顾
8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Chap.7 玻尔兹曼统计 粒子的配分函数Z1
基本热力学函数、内能、 物态方程、熵、自由能
系统的全部平衡性质
知识回顾
8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
N e
U e
e
l l
l l
l
e Z1
N ln Z1
T 0; S 0
知识回顾：§8.5 金属中的自由电子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
讨论强简并的 Fermi气体的特性
T>0K时自由 电子的性质
e 1
n3 1
低温极限（T＝0K） 时自由电子的性质
Fermi分布
知识回顾： §8.5 金属中的自由电子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
e
l
l
Z1 l e l
l
N p Z1 V S Nk (ln Z1 ln Z1 )
S k ln
S Nk (ln Z1 ln Z1 ) k ln N!
F NkT ln Z1
满足经典极限条件 的玻色和费米系统
F NkT ln Z1 kT ln N!
知识回顾
8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Chap.8 玻色统计和费米统计 §8.1 热力学量的统计表达式 抛弃粒子轨道的概念 （1）微观粒子的能量和动量是不连续的 （2）微观全同粒子不可分辨 （3）微观粒子的行为要满足不确定关系 （4）费米子受泡利不相容原理的限制
T=0K下自由电子的性质
Fermi能级
2 N (0) 3 2m V U ( 0) 3 ( 0) N 5 2 U ( 0) 2 p ( 0) n ( 0) 3 V 5
很大
n3 很小，但不可忽略！
知识回顾： §8.2 弱简并理想玻色和费米气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
Bose气体 Fermi气体 Boltzmann气体
弱简并条件下的系统 内能的差异
3 1 3 U NkT 1 n 2 4 2g
（1）第一项是根据Boltzmann分布得到的内能 （2）第二项是量子统计关联所导致的附加内能， 弱简并的情况下附加内能很小； Fermi气体附加内能为正 —等效的排斥作用 Bose 气体附加内能为负 ---等效的吸引作用