习题

第1讲 母体(总体)和子样(样本)

1. 若从母体中抽取容量为13的子样：-

2.1,

3.2,0,-0.1,1.2,-4, 2.22,2.01,1.2,-0.1,

3.21,-2.1,0. 试写出这个子样的顺序统计量、子样中位数和极差。 2. 某射手进行20次独立、重复的射击，击中靶子的环数如下所示:

试写出子样的频率分布，再写出经验分布函数并作出其图形。 3*.设1,,n x x 是区间(-1,1)上均匀分布的母体的一个子样,试求子样平均数的均值

和方差.

解: ~(1,1)X U -0,

1/3EX DX ⇒==0,/1/(3)EX EX DX DX n n ⇒====

4*.设总体(1,)X

B p ,其中p 是未知参数.15(,

,)X X 是总体的样本.

1).写出所有可能的样本的集合和样本的联合概率分布; 2).若样本观测值为0,1,0,1,1, 求样本均值和样本方差. 5*.设1(,

,)n X X 是总体X 的样本,2,.EX DX X μσ==和*2S 是样本均值和样本方

差. 计算,EX DX 和*2ES 第2和3讲常用抽样分布 1 .设1,,n x x 是分布为2(,)N μσ的母体的一个子样,试求221

1()n

i i Y X μσ

==-∑的概率分

布. 2. 设1,

,n x x 是分布为2(0,)N σ的正态母体中的一个子样,试求下列统计量的分

布. 22121

11,()n

n

i

i i i Y X Y X n ====∑∑

4. 2

~(),~(1,).X t n X F n 已知求证

5. 22

3(90).χχ0.01利用分布的性质近似计算

6*.设总体(20,3)X N ,从X 中分别抽取容量为10和15的两个独立的样本. 求两

样本均值之差的绝对值大于0.3的概率. 7*.设1(,

,)n X X 是正态总体(,16)N μ的样本, *2S 是样本方差, 样本容量9n =.

试

确定常数c ,使得*2(2)0.95P S c ≤=. 8*. 设1(,

,)n X X 是正态总体2(,)N μσ的样本, *2S 是样本方差, 为使

*| 1.383)0.8P X S μ-<≥

样本容量n 至少应是多少? 9*.设16(,

,)X X 是正态总体(0,1)N 的样本.试确定常数c ,使随机变量

22

123456()()Y c X X X X X X ⎡⎤=+++++⎣⎦

服从2χ分布. 10*. 设12(,,)n X X 是正态总体2(0,)N σ的样本.求下列统计量的分布

222

21

1321

12222

2

2

242,.n n n

X X X X Y Y X X X X --+

++++=

=++++

+. 第4讲点估计

1 .设总体X 具有几何分布, 其分布列为1()(1),1,2,k P X k p p k -==-=. 求p 的

矩估计量和极大似然估计量. 2.设1(,

,)n X X 是取自均匀分布总体(,)U a b 的样本. 求,a b 的矩估计量.

3.设总体X 的密度函数为,

1, 01,

(;)0, x x f x θθθ-⎧<<=⎨⎩其他.

求θ的矩估计量和极大似然估计量. 4. 设总体X 的密度函数为,

1, 0,(;)(1)!0, k

k x x e x f x k βββ--⎧>⎪

=-⎨⎪⎩

其他.

其中k 是已知的正整数, 求β的极大似然估计量. 5. 设总体X 的密度函数为,

(), ,

(;)0, x e x f x μμμ--⎧≥=⎨⎩其他.

求μ的极大似然估计量.

6*.设总体X 的样本观测值为0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7 , X 的密度函数如下:

(1), 01,

(,)0, x x f x ααα⎧+<<=⎨⎩其他.

1)求α的矩估计量和极大似然估计量; 2)求α的矩估计值和极大似然估计值. 7*. 设1(,

,)n X X 是取自均匀分布总体(0,)U θ的样本. 求θ的矩估计量和极大似

然估计量; 现测得样本观测值为 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3, 分别用矩法和极大似然估计法求总体均值和总体方差的估计值. 8*.设总体()X

p λ(泊松分布),其中0λ>是参数. 1(,

,)n X X 为总体的样本. 求

λ的矩估计量和极大似然估计量.

9*. 设1(,

,)n X X 是总体X 的样本, 求下列各总体的密度函数中的未知参数的

矩估计量和极大似然估计量. 1) X 的密度函数如下

,

1, 01,

(;)0, x f x θ≤≤=⎪⎩其他.

2) X 的密度函数如下,

(), ,

(;)0, x e x f x μμμ--⎧≥=⎨

⎩其他. 10*. 设1(,

,)n X X 是正态总体2(,)N μσ的样本, 求()P X t <的极大似然估计量.

二.点估计的优良性 第5讲(估计量的优劣标准) 1. 设总体()X

p λ(泊松分布),其中0λ>是参数. 1(,

,)n X X 为总体的样本. 试

验证: *2S 是λ的无偏估计; 并且对任一值[0,1]α∈, *2(1)X S αα+-也是λ的无偏估计. 2. 设1(,

,)n X X 是总体X 的样本, 确定常数c , 使1

211()n i i i c X X -+=-∑为总体方差

2σ的无偏估计. 3*. 设总体()X p λ(泊松分布), 1(,

,)n X X 为总体的样本. 求2λ的无偏估计.

4*. 设1(,

,)n X X 是总体X 的样本, 确定常数k , 使1

211

1()n i i i X X k -+=-∑为总体方差

2σ的无偏估计. 5*. 设1(,

,)n X X 是总体X 的样本, 确定常数k , 使1

1||n

i i X X k =-∑为总体标准方