结构力学 静定结构的受力分析

Fy 0
MB 0
FQ Fy
M M 0
故：集中力或集中力偶作 用点处内力发生突变。
2020年4月25日
8
§3-1单跨静定梁的内力计算
⑸荷载与内力之间的积分关系（M、Q、N、与qx、qy的关系）
B
FNB FNA A qxdx
B
FQB FQA A q y dx
B
M B
MA
Qdx
MC Aθ
ql/2 x
s
qx
C FNC
qxcosθ
FQC
qxsinθ
r
Fr 0
F qx cos ql cos 0
QC
2
F q( l x) cos (0 x l)
QC
2
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FS 0
FNC
1 2
ql sin
qx sin
0
FNC
q( l 2
x) sin
(0 x l)
解：
q
1) 求A、B截面剪力和轴力
MA 0
FQBA
ql 2 2
cos
l
qlcosθ r
1 ql cos
2
FNAB
θ
A
s
FQAB
ql θ
l/cosθ
l
B FQBA
Fr 0 Fs 0
FQAB
1 2
ql
cos
ql
cos
0
FNAB ql sin 0
FQAB
1 2
ql
cos
FNAB ql sin
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Fy 0
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FyF (8 4 4 17) 7kN()
15
§3-1单跨静定梁的内力计算
2）选控制截面A、C、D、F并求弯矩值。
已知 MA＝0， MF＝0 取。右图AC段为隔离体：
MC 0
MC 8117 2 0 MC 34 8 26kN.m(下拉)
取右图DF段为隔离体：
2020年4月25日
13
§3-1单跨静定梁的内力计算
步骤：
1）以集中力、集中力偶作用点，分布荷载的起点和终点 或刚结点，以及梁的左、右端支座截面作为控制分段点， 将梁划分为若干区段，分别判断各段M图形状。
2）求控制分段点弯矩按比例画在受拉侧，若区段上无 外荷载，则分段点弯矩以直线相连，若有横向荷载， 则先连虚线作为基线，再叠加横向力在相应简支梁的 弯矩图。
利用合力相等将载 荷集度等效。
qlsinθ
θ A (qlcosθ)/2
2020年4月25日
B (qlcosθ)/2
27
§3-1单跨静定梁的内力计算
例3-1-3 作图示斜梁的内力图。
q
x FxA A θ
FyA
l /cosθ
ql
C
θ
qlcosθ
qlsinθ l
B
90°
FQBA
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28
§3-1单跨静定梁的内力计算
段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M
图即可。
160
A BC
D
130
210 340 280
EБайду номын сангаас
F
140 M图（kN·m）
130 ABC
D 30
120
40
E
F
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FQ 图（kN）
190
21
§3-1单跨静定梁的内力计算 小结： 1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加， 而非图形的简单拼合；
(c)内力符号的规定及内力图的绘制规定
M
M FQ
FQ FN
FN
M
M FQ
FQ FN
FN
在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉边，不注正负号,剪力图 和轴力图要注明正负号。上图中弯矩正负号的规定通常用于梁。
横梁：正的N、Q图画上标正号，反之画下标负号。
竖杆：正的N、Q图画外标正号，反之画内标负号。（自行规定）
B
MA
MB
MA
MB
+q
A
B= A
B
MA
MB
②区段叠加法作弯矩图
分段叠加法是依据叠加原理得到的作 M 图的简便作图法。
叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于每一种荷 载单独作用所产生的效果的总和。
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11
§3-1单跨静定梁的内力计算
现在讨论区段叠加法的做法，见下图。
A FP
2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图；
3）先画M 图后画FQ图，注意荷载与内力之间 的微分关系。
2020年4月25日
22
§3-1单跨静定梁的内力计算
二、斜梁内力计算
⑴斜梁：杆轴倾斜的梁。Ex 楼梯梁、刚架中的斜杆。
⑵承载方式；（承受竖向均布荷载时有两种不同形式）
（a）沿水平方向分布的均布荷载。Ex人群、雪等。
（b）qx=c的区段：（均布荷载区段）轴力图为一斜直线。 qy=c的区段：（均布荷载区段）剪力图为一斜平直线， 弯矩图为一二次抛物线。
2020年4月25日
7
§3-1单跨静定梁的内力计算
⑷荷载与内力之间的增量关系 M
FN
FQ
Fx 0
N Fx
Fy
M0 o Fx dx y
M+ΔM
x
FN+ΔFN
FQ +ΔFQ
MD 0
MD 16 7 2 0 MD 16 14 30kN.m(下拉)
8kN
A 17kN 1m
MC C
1m FQCA
MD D FQDF
16kN.m
F 2m
7kN
2020年4月25日
16
§3-1单跨静定梁的内力计算
3) 作M图
将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）； 对AC、CD、DF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的 M 图即可。
(b)截面法求x截面内力
F1 a
Ax
L
yA
F2
B
b yB
轴力：数值上等于截面任意一侧分离体上所有外力在杆件轴线方向投影代数和。 剪力：数值上等于截面任意一侧分离体上所有外力在垂直杆件轴线方向投影代数和。 弯矩：数值上等于截面任意一侧分离体上所有外力对截面形心力矩的代数和。
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3
§3-1单跨静定梁的内力计算
⑵由于本章研究的结构均属静定结构，故受力分析时只 考虑静力平衡条件即可。
⑶静定结构不仅在建筑结构中广泛应用，而且为超静 定结构的计算奠定基础。
⑷结构的受力性能的分析与结构的几何组成分析是相反 相成的即“拆”与“搭”的过程。
2020年4月25日
2
§3-1单跨静定梁的内力计算
一、单跨静定梁的内力计算 ⑴单跨静定梁的分类
3）弯距图上任意一点处的曲率数值上等于该点的横向分布荷载的集度，但正 负号相反。
4）轴力图上任意一点切线的斜率数值上等于该点轴向分布荷载集度 qx 的负
值。
2020年4月25日
6
§3-1单跨静定梁的内力计算
进一步讨论：
（a）qx=0的区段：轴力图为一水平直线。 qy=0的区段：剪力图为一水平直线， 弯矩图为一斜直线。
已知 MA＝0 ， MF＝0。
取右图AC段为隔离体：
MC 0
MC 130 2 80 340kN.m(下拉)
80kN·m Mc
A
C
130kN 1m 1m FQCA
取右图AD段为隔离体：
MD 0
M D 130 4 80 160 2 600 320 280kN.m(下拉)
2020年4月25日
dM dx FQ
d 2M dx2 qy
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§3-1单跨静定梁的内力计算
Fx 0 qxdx dFN 0
dFN dx
qx
结论：
dFQ dx
qy
dM dx
FQ
d 2M dx2
qy
dN dx
qx
1）剪力图上任意一点切线的斜率数值上等于该点横向分布荷载集度的负值。
2）弯距图上任意一点切线的斜率数值上等于该点处剪力的大小。
A BC
DE F
17 26
4) 作FQ图
17 9
7 23 30 M图（kN·m）
DE F
AB C
7
2020年4月25日
FQ图（kN） 7
17
例3-1-2 作图示单跨梁的M、FQ图。
80kN·m 160kN
40kN/m
40kN
A BC
D
E
F
1m 1m 2m
4m
2m
解：130kN 1）求支座反力
310kN
A
MA
FNA
A
FQA
qy
MB
qx
B
FNB
FQB
⑴ B端轴力等于A端轴力减去该段荷载 q x 图的面积。
⑵ B端剪力等于A端剪力减去该段荷载 q y 图的面积。
⑶ B端弯矩等于A端弯矩加上该段剪力图的面积。
2020年4月25日
9
§3-1单跨静定梁的内力计算
⑹区段叠加法作弯矩图
①区段法作M、Q图；直接叠加法作弯矩图
160kN
80kN·m
MD
A
D
C
1m 1m 2m
130kN
FQD1C9
对悬臂段EF：
ME 0
ME
40 2
1 2
40 22
80 80
160kN.m(上拉)
2020年4月25日
20
3) 作M、FQ图
将MA、MC、MD、ME 、MF的值按比例画在图
上，并连以直线（称为基线）；对AC、DE、EF
P
q
l /2 l /2
m
l /2 l /2
ma/L
a
b
L
mb/L
1）集中力作用点左右截面的剪力产生突变，突变梯度等于P，且弯
矩图出现尖点，发生折变。
2）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变，突变梯度等于m，
且左右截面剪力不变。
2020年4月25日
10
§3-1单跨静定梁的内力计算
直接叠加法作M图
A
q
qlcosθ/2
ql2/8 M图
FQ 图
qlcosθ/2
qlsinθ
2020年4月25日
FN图
31
注意下图示梁C、D截面弯矩图的画法。 q
(qlcosθ)/2
ql/2
MC Aθ
ql/2 x
MC 0
s
C FNC
qx
FQC qxcosθ
r
qxsinθ
M
C
1 2
qx2
1 2
qlx
0
2020年4月25日
MC
1 2
qx ( l
x )(下拉 )
(0 x l)
24
§3-1单跨静定梁的内力计算
q
(qlsinθ )/2 (qlcosθ)/2
ql/2
2020年4月25日
4
§3-1单跨静定梁的内力计算
⑶荷载与内力之间的微分关系（M、Q、N、与qx、qy的关系）
qy
M FN
FQ
qx o
dx y
M＋dM
x FN+dFN
FQ dFQ
Fy 0
FQ dFQ qydx FQ 0
dFQ dx
qy
MO 0
dx
dx
M - (M dM ) FQ 2 (FQ dFQ ) 2 0
简支梁(simply supported beam)
⑵截面法
悬臂梁(cantilever beam)
(a)求支座反力
∑X=0
xA=F2cosα
外伸梁(overhanging beam)
∑MB=0 ∑MA=0
yA=[F1(L-a)+F2bsinα]/L yB=[F1a+F2(L-b)sinα]/L xA
第三章 静定结构的受力分析
§3-1单跨静定梁的内力计算 §3-2 静定多跨梁受力分析 §3-3 静定平面刚架受力分析 §3-4 静定平面桁架受力分析 §3-5 组合结构受力分析 §3-6 三铰拱受力分析 §3-7 静定结构总论
2020年4月25日
1
§3-1单跨静定梁的内力计算
说明：
⑴本章结合几种典型的静定结构，讨论静定结构的受力 分析问题。其中包括：约束反力和内力的计算，内力图 的绘制，受力性能的分析等。
ME 0
FyA
1 8
(160 6
40 4 2
80
40
2
40 21) 1040 / 8 130kN()
Fy 0 FyE (160 40 6 40) 130
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440 130 310kN ( ) 18
§3-1单跨静定梁的内力计算
2）选控制截面A、C、D、E、F，并求弯矩值 。
29
§3-1单跨静定梁的内力计算
2) 求跨中截面MC
取图示CB段为隔离体：
MC 0
q
B
MC
FNCB
C
（qlcosθ）/2
FQCB
l/2
MC
1 q( l )2 22
1 ql cos 1 l
2
2 cos
0
MC
1 ql2 1 ql2 48
1 ql2 ( 下拉 8
)
2020年4月25日
30
3) 作内力图。
q
m B
C
D
FP
q
m
A
CC
DD
B
MC
MC MD
MD
FP A
q CC
DD
mB
MC
MC MD
MD
2020年4月25日
12
§3-1单跨静定梁的内力计算
FP
q
A
C
m B
D
A
C
D
B
基线
MC
基线
基线
MD
在求出各控制截面A、C、D、B在全部荷载作用下的弯矩后，任意
直杆段的 M 图就转化为作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用 下的M 图的问题。
25
§3-1单跨静定梁的内力计算
⑶作内力图。
(qlcosθ)/2
(qlsinθ)/2
2020年4月25日
ql2/8 M图 FQ 图
FN 图
(qlcosθ)/2 (qlsinθ)/2
26
§3-1单跨静定梁的内力计算
斜杆上的竖向分布荷载也可以分解为垂直杆轴和沿杆轴方向的均布荷载，
如下图示。
ql
θ qlcosθ
2020年4月25日
14
§3-1单跨静定梁的内力计算
例3-1-1 作图示单跨梁的M、FQ图。
8kN
4kN/m
16kN.m
A BC
F DE
FyA=17kN 1m 1m
4m
1m 1m FyF=7kN
解： 1）求支座反力
MF 0
1
1
FyA 8 (8 7 4 4 4 16) 8 136 17kN()
（b）沿杆轴方向分布的均布荷载。Ex 自重 。
⑶内力计算 Ex：
q B
FxA=0 A 20F20年yA4=月2q5l日/2
x ql FyB=ql/2 l tgθ
θC
θ
qlcosθ
l
qlsinθ
23
§3-1单跨静定梁的内力计算
⑴求支反力
⑵求任意截面的内力
q
取右图AC段为隔离体：
(qlsinθ )/2