1.1.1正弦定理第二课时
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9/15/2019
即 a2＝b2＋c2.∴A＝90°，∴B＋C＝90°. 由 sin A＝2sin Bcos C，得 sin 90°＝2sin Bcos(90° －B)， ∴sin2B＝12. ∵B 是锐角， ∴sin B＝ 22， ∴B＝45°，C＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．
9/15/2019
9/15/2019
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．课本p8-9
Ａ为锐角
Ｃ
b
a
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ｃ
b
a
Ａ
Ａ
Ｂ Ａ Ｂ２ Ｂ１ Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b
a≥b
无解
一解
两解
一解
Ａ为直角或钝角
Ｃ a
b
Ａ
Ｂ
a>b
一解
Ｃ a
b
Ａ
a≤b 无解
9/15/2019
⑴若A为锐角时:
a b sin A 无解
a bsinA 一解(直角) bsinA a b 二解(一锐, 一钝)
a b
一解(锐角)
已知边a,b和A
C b
a
A H
a<CH=bsinA 无解
C
C
b a
A B
b
a
a
A
B1 H B2
a=CH=bsinA 仅有一个解
CH=bsinA<a<b 有两个解
C
b
a
A
H
B
ab
仅有一个解
(1)若 ，则 sin sin ；反之也成立.
(2)在ABC中，若A B，则 sin A sin B； 反之也成立.
9/15/2019
探究问题三 利用正弦定理进行边角互化
3．在△ABC 中，a＝5，b＝3，则 sin A∶sin B 的值是( )
5
3
A.3
B.5
3
5
C.7
解析： ∵b＝acos C， 由正弦定理得：sin B＝sin A·cosC. ∵B＝π－(A＋C)， ∴sin(A＋C)＝sin A·cos C. 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， ∴cos Asin C＝0，
∵A、C∈(0，π)，∴cos A＝0，∴A＝π2，
9/15/2019
（3）已知 ABC中,A=30°, A、有一解 B、有两解
aC=、12 无，解b=2，则D、不能（确定）
解:(３)由正弦定理得:
b sin A 2 sin 30
sin B
21
a
1
2
所以Ｂ无解
即△ABC无解.
9/15/2019
总结：已知两边和其中一边的对 角,求其他边和角时,三角形什么情 况下有一解,二解,无解?
D
C
练习.画图判断满足下列条件的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o 两个
(2)c=54, b=39, C=120o 一个
(3)b=26, c=15, C=30o 两个
(4)a=2,b=6,A=30o
无解
9/15/2019
2.在三角形中，角的大小和正弦值大小的 关系
1.判断正误：
变式练习 若本例中的条件“sin A＝2sin B cos C” 改为“sin2A＝2sin B sin C”，试判断△ABC的形 状． 解：由sin2A＝sin2B＋sin2C， 得a2＝b2＋c2.∴A＝90°. ∵sin2A＝2sin B sin C， ∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc. ∴b＝c， ∴△ABC为等腰直角三角形．
9/15/2019
（2）已知ABC中,A=30°, a= 2 ，b=2，则 B
A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定
解:(２)由正弦定理得:
sin B b sin A 2 sin 30 2
a
2
2
又00＜B＜1800, b＞a, B＞300
∴ B 450或1350
即△ABC有两解.
9/15/2019
探究问题一 三角形解的个数:
（1）已知 ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则 （ ） A
A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定
解:(1)由正弦定理得:
sin B b sin A 2 sin 30 1
a
1
又 B (0, )
,所以 B
2
即△ABC有一解.
9/15/2019
点评 判断三角形的形状，主要看其是否是正三 角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或 锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形” 与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
∴△ABC 为直角三角形．
9/15/2019
6. 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝ sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A ＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断 △ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
代入已知条件，得： sinA sinB sinC
cosA cosB cosC
即 tanA tanB tanC
又A, B,C (0, π), A B C,
9/15/2019
从而ΔABC为正三角 形。
5．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
1.1.1正弦定理
第二课时 主讲老师：张胜波
9/15/2019
正弦定理：
a sin
A
b sin
B
c sin C
2R
变形： a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
a : b : c sin A : sin B : sin C
D.7
解析：在△ABC 中，据正弦定理ssiinn AB＝ab＝53，故选 A.
答案： A
9/15/2019
4.在Δ
ABC中,已知 a cosA
b cosB
c cosC
,
试判断Δ ABC的形状 .
解：令 a
sinA
2R,由正弦定理，得
Baidu Nhomakorabea
a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC
9/15/2019
⑵若A为直角或钝角时:
a b 无解 a b 一解(锐角)
C a
b
A
9/15/2019
C ba
A
探究问题二 利用正弦定理证明两个结论
1.关于角平分线
4.在ABC中，AD是BAC的平分线，
用正弦定理证明：AB BD . A AC DC
B
9/15/2019
即 a2＝b2＋c2.∴A＝90°，∴B＋C＝90°. 由 sin A＝2sin Bcos C，得 sin 90°＝2sin Bcos(90° －B)， ∴sin2B＝12. ∵B 是锐角， ∴sin B＝ 22， ∴B＝45°，C＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．
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9/15/2019
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．课本p8-9
Ａ为锐角
Ｃ
b
a
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ｃ
b
a
Ａ
Ａ
Ｂ Ａ Ｂ２ Ｂ１ Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b
a≥b
无解
一解
两解
一解
Ａ为直角或钝角
Ｃ a
b
Ａ
Ｂ
a>b
一解
Ｃ a
b
Ａ
a≤b 无解
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⑴若A为锐角时:
a b sin A 无解
a bsinA 一解(直角) bsinA a b 二解(一锐, 一钝)
a b
一解(锐角)
已知边a,b和A
C b
a
A H
a<CH=bsinA 无解
C
C
b a
A B
b
a
a
A
B1 H B2
a=CH=bsinA 仅有一个解
CH=bsinA<a<b 有两个解
C
b
a
A
H
B
ab
仅有一个解
(1)若 ，则 sin sin ；反之也成立.
(2)在ABC中，若A B，则 sin A sin B； 反之也成立.
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探究问题三 利用正弦定理进行边角互化
3．在△ABC 中，a＝5，b＝3，则 sin A∶sin B 的值是( )
5
3
A.3
B.5
3
5
C.7
解析： ∵b＝acos C， 由正弦定理得：sin B＝sin A·cosC. ∵B＝π－(A＋C)， ∴sin(A＋C)＝sin A·cos C. 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， ∴cos Asin C＝0，
∵A、C∈(0，π)，∴cos A＝0，∴A＝π2，
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（3）已知 ABC中,A=30°, A、有一解 B、有两解
aC=、12 无，解b=2，则D、不能（确定）
解:(３)由正弦定理得:
b sin A 2 sin 30
sin B
21
a
1
2
所以Ｂ无解
即△ABC无解.
9/15/2019
总结：已知两边和其中一边的对 角,求其他边和角时,三角形什么情 况下有一解,二解,无解?
D
C
练习.画图判断满足下列条件的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o 两个
(2)c=54, b=39, C=120o 一个
(3)b=26, c=15, C=30o 两个
(4)a=2,b=6,A=30o
无解
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2.在三角形中，角的大小和正弦值大小的 关系
1.判断正误：
变式练习 若本例中的条件“sin A＝2sin B cos C” 改为“sin2A＝2sin B sin C”，试判断△ABC的形 状． 解：由sin2A＝sin2B＋sin2C， 得a2＝b2＋c2.∴A＝90°. ∵sin2A＝2sin B sin C， ∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc. ∴b＝c， ∴△ABC为等腰直角三角形．
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（2）已知ABC中,A=30°, a= 2 ，b=2，则 B
A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定
解:(２)由正弦定理得:
sin B b sin A 2 sin 30 2
a
2
2
又00＜B＜1800, b＞a, B＞300
∴ B 450或1350
即△ABC有两解.
9/15/2019
探究问题一 三角形解的个数:
（1）已知 ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则 （ ） A
A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定
解:(1)由正弦定理得:
sin B b sin A 2 sin 30 1
a
1
又 B (0, )
,所以 B
2
即△ABC有一解.
9/15/2019
点评 判断三角形的形状，主要看其是否是正三 角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或 锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形” 与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
∴△ABC 为直角三角形．
9/15/2019
6. 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝ sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A ＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断 △ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
代入已知条件，得： sinA sinB sinC
cosA cosB cosC
即 tanA tanB tanC
又A, B,C (0, π), A B C,
9/15/2019
从而ΔABC为正三角 形。
5．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
1.1.1正弦定理
第二课时 主讲老师：张胜波
9/15/2019
正弦定理：
a sin
A
b sin
B
c sin C
2R
变形： a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
a : b : c sin A : sin B : sin C
D.7
解析：在△ABC 中，据正弦定理ssiinn AB＝ab＝53，故选 A.
答案： A
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4.在Δ
ABC中,已知 a cosA
b cosB
c cosC
,
试判断Δ ABC的形状 .
解：令 a
sinA
2R,由正弦定理，得
Baidu Nhomakorabea
a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC
9/15/2019
⑵若A为直角或钝角时:
a b 无解 a b 一解(锐角)
C a
b
A
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C ba
A
探究问题二 利用正弦定理证明两个结论
1.关于角平分线
4.在ABC中，AD是BAC的平分线，
用正弦定理证明：AB BD . A AC DC
B
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