对数的运算性质

(1) (2) (3)
logaM＋logaN loga (M· N)＝________________； M logaM－logaN loga ＝______________； N n nlogaM loga M ＝____________ (n∈R).
2.换底公式
logcN logca 一般地，称logaN＝_______ (a>0且a≠1，
b
法二：∵18 ＝5，∴log18 5＝b， 又 log18 9＝a， log189×5 log18 9＋log18 5 于是 log36 45＝ 2 ＝ 18 2log18 18－log18 9 log18 9 a＋b ＝ . 2－a b 法三：∵log18 9＝a,18 ＝5，∴lg9＝alg18， lg5＝blg18，
log3645. 【思路点拨】 由题目知对数和指数的底数 都是18，需求值的对数底数为36，因此既可 以将需求的对数化为与已知对数同底后再求 解，也可以将已知与需求值的对数都换为同 一底数后再求解．
【解】 法一：∵18 ＝5，∴log185＝b， 又 log189＝a， log1845 log189×5 于是 log3645＝ ＝ log1836 log1818×2 log189＋log18 5 a＋b a＋b ＝ ＝ ＝ . 1＋log18 2 18 2－a 1＋log18 9
【思路点拨】 观察上式，联想对数运算性质， 产生两种解题思路：一种思路是“正用”性质， 先正用性 质③把式子中的每一 个对数都化成 nlg3 的形式，再化简．另一种思路是“逆用” 2 3 性质，先逆用性质③把 lg9， lg 27，－lg 3分 5 5 别化为 再逆用性质①②把 分子、分母分别合并成一个对数，再化简．
2． 求解对数方程关键在于将方程化为不含对 数符号的方程，在求解的过程中要准确灵活 地应用对数的积、商等运算法则及对数的基 本性质， 还必须保证对数的真数与底数为正， 同时底数不得等于 1. 3．(1)换底公式的两个推论： 1 m n n ①loga b ＝ loga b；②loga b＝ . m logb a
c>0且c≠1，N>0)为对数的换底公式．
问题探究 1．若M、N同号，则式子loga(M· N)＝logaM＋ logaN成立吗？ 提示：不一定成立．若M＜0且N＜0时， logaM、logaN没意义． 2．log23log34＝2是否正确？ 提示：正确．利用换底公式可解得．
课堂互动讲练
考点突破
(3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，
对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于 问题的实际情况，一般本着便于真数化简的 原则进行．
自我挑战 1 计算： 7 1 (1)log2 ＋log2 12－ log2 42； 48 2 (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2) 2 .
1 7 解：(1)法一：原式＝ log2 ＋log2(3×22 )－ 4 2 3×2 1 log2 (7×2×3) 2 1 1 ＝ log2 7－ log2 3－2log2 2＋log23＋2log22－ 2 2 1 1 1 1 1 log2 7－ log2 2－ log2 3＝－ log22＝－ . 2 2 2 2 2
对数的运算性质及应用
(1)利用对数的运算性质时，要注意公式成立的 前提条件：a>0，a≠1，M >0，N>0，n∈R. (2)要把握住运算性质的本质特征，防止应用时 出现错误． (3)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方 运算转化为加、减、乘的运算．运用此性质， 可加快计算速度．
2 3 lg3＋ lg9＋ lg 27－lg 3 例1 5 5 化简： . lg81－lg27
(4)关于换底公式：①换底公式的主要用途在 于将一般对数化为常用对数或自然对数，然 后查表求值，解决一般对数求值的问题． ②换底公式的本质是化同底，这是解决对数 问题的基本方法． 互动探究2 本例中将条件改为“已知10a ＝ 2,10b＝3”，又如何用a、b表示log3645?
lg5×9 解：∵log36 45＝ lg4×9 lg5＋2lg3 1－lg2＋2lg3 ＝ ＝ 2lg2＋2lg3 2lg2＋2lg3 1－a＋2b ＝ ， 2a＋2b 1－a＋2b ∴log36 45＝ . 2a＋2b
课前自主学案
温故夯基
1．幂的有关运算性质 am＋n (1)am·n＝_______. a m n am－n (2)a ÷ ＝_________. a amn (3)(am)n＝_________. n a nb n (4)(ab) ＝_______. an an (5)( ) ＝_________. n b b
b
lg45 lg9×5 lg9＋lg5 ∴log3645＝ ＝ 2 ＝ lg36 18 2lg18－lg9 lg 9 alg18＋blg18 a＋b ＝ ＝ . 2lg18－alg18 2－a a 法四：log189＝a，∴18 ＝9. b b a a＋ b 又∵18 ＝5，∴45＝5×9＝18 · ＝18 . 18
对数的综合应用 条件求值问题要观察清楚条件式与要求的式子
间的联系，进而寻找出变化的方向，一步步化
出所需结果．
2 例3 (本题满分 14 分)已知 3 ＝4 ＝36，求 a 1 ＋ 的值． b 2 1 a b 【思路点拨】 欲求 ＋ ，需想办法由 3 ＝4 a b 1 1 ＝36 求出 与 .有两种办法：一种是直接由对数 a b 定义将 3a＝4b＝36 化成对数式，另一种是对 3a ＝4b＝36 中的各等号两边取对数，可以取以 6 为底，也可以取常用对数．
法二：原式＝log2
7×12
48× 42 (2)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg5－lg2＋2lg2＝lg5＋lg2＝1.
＝log2
1
1 ＝－ . 2 2
换底公式的应用 对数换底是常见的运算形式，选取合适的底 数进行换底可以简化运算，对数换底常以10 或e为底数．
例2 已知log189＝a,18b＝5，试用a和b表示
(2)换底公式的主要用途在于将一般对数化为 常用对数或自然对数，然后查表求值，解决 一般对数求值的问题． (3)换底公式的本质是化同底，这是解决对数 问题的基本方法． (4)分式中分子分母同底时借助于换底公式化 简，计算真数时遇到“ ± ”的式 子常用方法是先平方后求和数、取倒数或分 子分母有理化处理．
令 log36 45＝x，则 36x＝45＝18a＋ b， 18 18 x x 即 36 ＝( · ) ＝18a＋ b. 3 3 2 2 18 x 18 a＋ b ∴( ) ＝18 ，∴xlog18 ＝a＋b， 9 9 a＋b a＋b ∴x＝ ＝ . 2 log1818 －log189 2－a
【名师点评】 (1)具有换底功能的另两个结论： ①logac· ca＝1，②loganbn＝logab.(a＞0且a≠1，b log ＞0，c＞0且c≠1)． (2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中 分化出要求的对数式，进行求值；也可以从结论 入手，转化成能使用条件的形式；还可同时化简 条件和结论，直至找到它们之间的联系． (3)本题主要考查已知一些指数值或对数值，利用 这些条件来表示所要求的式子，解决该类问题要 能熟练掌握所学性质和法则，有时会用到整体思 想．
2．对数的性质 等于0 loga1＝0 (1)1的对数______，即___________. 等于1 logaa＝1 (2)底数的对数______，即__________. N>0 0和负数 (3)________ 没有对数，即_________.
1．对数的运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
【解】 法一：(正用公式)： 4 9 1 lg3＋ lg3＋ lg3－ lg3 5 10 2 原式＝ 4lg3－3lg3 4 9 1 1＋ ＋ － lg3 5 10 2 11 ＝ ＝ . 4－3lg3 5
【名师点评】 (1)在应用对数运算性质时应注 意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－ 5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性 质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中， lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2的运用． (2)对于底数相同的对数式的化简，常用的方法 是： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商) 的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
a b
【规范解答】 法一：∵3a＝4b＝36，由对数定 义，得 a＝log3 36，b＝log4 36.6 分 1 1 由换底公式，得 ＝log36 3， ＝log36 4，10 分 a b 2 1 ∴ ＋ ＝ 2log36 3 ＋ log36 4 ＝ log36 9 ＋ log36 4 ＝ a b log36 36＝1.14 分 法二：对 3a＝4b ＝36 等号两边取以 6 为底的对 数， 得 alog6 3＝blog6 4＝log6 36，
2 1 2lg3 lg4 lg3 ×4 ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1.14 分 a b lg36 lg36 lg36
2
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方法感悟 1．(1)利用对数的运算法则，可以把乘、 除、乘方的运算转化为对数的加、减、 乘运算，反之亦然．这种运算的互化可 简化计算过程，加快计算速度． (2)要熟练掌握公式的正用和逆用． (3)在使用公式的过程中，要注意公式成 立的条件．
即 alog6 3＝2blog6 2＝2，6 分 2 1 ∴ ＝log6 3， ＝log6 2.10 分 a b 2 1 ∴ ＋ ＝log6 3＋log6 2＝log6 6＝1.14 分 a b a b 法三：对 3 ＝4 ＝36 等号两边取常用对数，得 alg3＝blg4＝lg36，6 分 1 lg3 1 lg4 ∴ ＝ ， ＝ .10 分 a lg36 b lg36