1.5复变函数的极限和连续性

化而变化, 所以 lim u( x, y) 不存在, ( x, y)(0,0) 根据定理一可知, lim f (z) 不存在. z0
1. 连续的定义
如果
lim
z z0
f (z)
f (z0 ),
我们称
f (z) 在 z0
处连续. 如果 f (z) 在区域 D 内处处连续, 则
称 f (z) 在 D 内连续 (continuous).
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定理四 (1) 在 z0 连续的两个函数 f (z) 和 g(z)的和、差、 积、商(分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续. (2) 如果函数 h g(z)在 z0 连续,函数 w f (h)在 h0 g(z0 ) 连续, 那末复合函数w f [g(z)]在 z0 处 连续.
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特殊的: (1) 有理整函数(多项式)
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2. 极限计算的定理
z z0 x0 iy0 ( x, y) ( x0 , y0 )
定理一 设 f (z) u(x, y) iv(x, y), A u0 iv0,
z0
x0
iy0 , 那么
lim
z z0
f
(z)
A
的充要条件是
(x,
lim
y )( x0
, y0
)
源自文库
u ( x,
y)
u0
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定理三 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在z0 x0 iy0
连续的充要条件是: u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处连续.
例如, f (z) ln( x2 y2 ) i( x2 y2 )的连续性如何？ u( x, y) ln( x2 y2 ) 在复平面内除原点外处处连续, v( x, y) x2 y2 在复平面内处处连续, 故函数 f (z) 在复平面内除原点外处处连续.
Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
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,
lim
( x, y )( x0 , y0
)
v( x,
y)
v0.
说明 该定理将求复变函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)
的极限问题, 转化为求两个二元实变函数u( x, y)和
v( x, y) 的极限问题.
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定理二
设 lim f (z) A, lim g(z) B, 那末
证：令 z x iy, f (z) u iv,
则
u( x,
y)
x2 x2
y2 y2
,
v( x,
y)
2 xy x2 y2
,
当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim
x0
x0
x2 y2 x2 y2
1 k2 1 k2 ,
随 k 值的变化
( ykx )
( ykx )
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
(2) lim[ f (z)g(z)] AB; zz0
(3) lim f (z) A (B 0). zz0 g(z) B
与实变函数的极限运算法则类似.
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例1 证明函数 f (z) z 当 z 0 时的极限不存在. z
任意给定的 0, 相应地必有一正数 , 使得当 0 z z0 ( ) 时, 有 f (z) A , 那么称 A 为 f (z) 当 z 趋向于 z0 时的极限(limit), 记作
lim f (z) A.
z z0
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一元实函数： x 趋于 x0 的方式仅仅只有两种 复变函数： z 趋向于 z0 的方式有无数多种 注意: 定义中 z z0 的方式是任意的. 也就是 说, 无论 z 从什么方向, 按什么方式趋向于 z0 , 函数 f (z) 都要趋向于同一个常数。 复变函数的极限和一元实变函数的极限定义虽然 形式上一致，但实际上的要求要苛刻的多。
第一章 复数与复变函数
一、函数的极限 二、函数的连续性
1. 函数极限的定义 当 z z0时，f (z) A：在点 z 无限接近 z0 的过程中， 对应的函数值 f(z)无限接近于一个确定的常数 A。
定义：设函数 w f (z) 定义在 z0 的去心邻域 0 z z0 内, 如果有一确定的数 A 存在, 对于
(rational integral function)(polynomial) w P(z) a0 a1z a2z2 anzn , 对复平面内的所有点z 都是连续的; (2) 有理分式函数 (rational fractional function) w P(z) , 其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式,