一元函数微分学总结

(n) f (0) 存在的最高 求使 例1. 设 f ( x) 3x x x , 2
3 2
分析:
4 x3 , f ( x) 2 x3 ,
x0 x0
2 x3 0 (0) lim f 2 0 12 x , x x 0 f ( x) 3 2 4x 0 6 x , f (0) lim 0 x x 0 6 x2 0 (0) lim 又 f 24 x , 0 x x 0 f ( x) 12 x , 12 x 2 0 (0) lim f 0 x x 0 (0) 24 , f (0) 不存在 . 但是 f (0) 12 , f
f ( x0 )为 f (x) 在该邻域的极大(小)值. 极大值与极小值
统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 方程 f ' ( x) = 0 的根称为函数 f (x) 的驻点. 定理2. (函数取得极值的必要条件) 设函数 f (x)在点 x0 处可导,且在该点处取得极值,则有
f ' ( x0 ) = 0. (可导函数的极值点必为驻点)
f (x)在(a , b)内为凹(凸)弧.曲线上凹弧与凸弧的分界 点称为曲线的拐点. y y y
o
x1
x1 x2 2
x2 x
o x1 x x x2 x 2
1 2
o
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x
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定理1.(曲线凹凸性的判定定理) 若在(a , b)上 (a , b) 上为凹(凸)弧. 定理2.(曲线拐点的判定定理) 若在 处 时 变号, 则 当x 自左至右经过
则有 y'
( x 1)3 4 2 x
5
( x 3)
2
3 1 2 [ ] x 1 4(2 x) 5( x 3)
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(二) 中值定理
1.罗尔定理 若函数 f (x) 满足条件: (1)在闭区间[a , b]上连续; (2)在开区间(a , b)内可导; (3) 且 f (a) = f (b) ; 则在开区间(a , b)内至少存在一点 使 f ' ( ) 0. 2.拉格朗日中值定理 若函数 f (x) 满足条件: (1)在闭区间[a , b]上连续; (2)在开区间(a , b)内可导; 则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式 f (b) f (a) f ' ( )(b a ) (a b) 成立.
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例5. 设 y
( x 1)3 4 2 x
5
( x 3)
2
求y' .
1 2 解 取对数 ln y 3ln x 1 ln(2 x) ln x 3 4 5
1 3 1 2 等式两边对 x 求导数: y' y x 1 4(2 x ) 5(x 3)
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3. 柯西中值定理 若函数 f (x) ,F (x) 满足条件: (1)在闭区间[a , b]上连续; (2)在开区间(a , b)内可导且 F'(x) 0; 则在开区间(a , b)内至少存在一点 使等式 f (b) f (a) f ' ( ) (a b) 成立. F (b) F (a) F ' ( )
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4.函数曲线的凹凸性和拐点
2 2 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) (或 f (弧在弦的上方)) 则称曲线 2 2
设函数 f (x)在(a , b)内连续, 若对于(a , b)内任意两点 x1 ,x2 恒有 f x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) (弧在弦的下方)
x 1
f (1 ) f (1) f2 (1 ) a b e , (1) . x e e x2 f (1) lim lim 2 xe 2e, x 1 x 1 x1 ax b e ax b a b f (1) lim lim a. x 1 x 1 x 1 x 1 由 f (1) f (1) a 2e (2). 再代入(1)得 a e .
sinx ). 则有: y' x (cosxlnx x 解法2: 作指数对数恒等变形:
y x e = esinxlnx , y = (esinxlnx ) = esinxlnx (sinx lnx)
sinx
ln( xsinx )
=x
sin x
1 (cosx lnx sinx ). x
第二、三章 一元函数微分学总结
一、知识点与考点 二、典型例题分析与解答
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一、知识点与考点 (一)导数与微分
1.导数定义:
若令 则 ③
①
②
2.左右导数:
左导数:
右导数:
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3.导函数的定义: 导函数简称导数,且有
4.导数的几何意义: 函数 y = f (x) 在点 处的导数 表示曲线y = f (x)在点 即有 曲线的切线方程为 曲线的法线方程为 处的切线斜率.
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定理3. (函数取得极值的第一充分条件) 设函数 f (x)在 U ( x0 )内可导, 且f ' ( x0 ) = 0,(或 f (x)在点 x0 处连续但不可导). 则 f ( x0 ) (1) 若当x 由左至右经过 x0 时 f ' ( x) 由“+”变“–”, 为函数的极大值. (2)若当x由左至右经过 时 f ' ( x)由“-”变 “+”, 为函数的极小值. 则 f ( x0 )
则曲线 y = f (x) 在
是曲线y = f (x) 的拐点.
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二﹑典型例题分析与解答
例6. 已知 解: 应填−1. 注释: 本题考查导数的定义. 则
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e , x 1 例7. 设 f ( x) 在 x 1处可导,求 a, b. ax b, x 1 解: x 1 处连续且可导,即 f ( x) 在
e
x y
(dx dy) sin( xy )( ydx xdy ) 0,
dy ysin( xy ) e x y x y . dx e xsin( xy )
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[e x y xsin( xy)]dy [ ysin( xy) e x+y ]dx,
x2
f (1 ) f (1 ) f (1), f (1) f (1). x2 f (1) lim f ( x) lim e e,

f (1 ) lim f ( x) lim( ax b) a b,
x 1 x 1
x 1
13.对数求导法: 求“幂指函数”及多个因子相乘除函 数 的导数时用对数求导法 .
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例4. 设
yx
sinx
( x 0), 求y' .
sinx
解法1: 取对数 lny lnx 等式两边对 x 求导数:
sinx
1 sinx y' cosxlnx y x
sinxlnx
解得:
12.参数方程确定的函数的导数
x 1 t2 d2y 例3. 设 y cost 求 2 . dx dy sintdt 1 sint 解: dx 2tdt , dy sintdt , . dx 2tdt 2 t d 2 y d dy d 1 sint d 1 sint dt ( ) ( ) ( ) 2 dx dx dx dx 2 t dt 2 t dx 1 tcost sint 1 sint tcost 2 2 t 2t 4t 3
当y是曲线y = f (x) 上点的纵坐标
的增量时, dy表示曲线的切线纵坐标的增量.
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7.基本定理 定理1(导数存在的判定定理) 定理2(函数可导与连续的关系) 可导函数必连续,但连续函数未必可导. 定理3.(函数一阶可导与可微的关系) 可导 可微 定理4.(函数与其反函数的导数的关系) 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
(3) 若当x由左至右经过 时 f ' ( x)不变号,则 f ( x0 )不是 函数的极值.
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定理4 (函数取得极值的第二充分条件) 设函数 f (x)在 处 f '' ( x0 ) 0,且f ' ( x0 ) = 0, (1) 若 f '' ( x0 ) 0, 则 f ( x0 )为函数 f (x)的极大值. (2) 若 f '' ( x0 ) 0, 则 f ( x0 )为函数 f (x)的极小值. 3.函数的最值 求连续函数 f (x)在[a , b]上的最值的步骤: (1).求 f (x)在(a , b) 内的驻点及导数不存在的点; (2).求出这些点的函数值及区间端点的函数值; (3).比较上述函数值, 其中最大者为最大值, 最小者为 最大值.
(10) (11) (12) (13) (14)
(15) (16) (17)
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d2y f ' ( x x) f ' ( x ) 10.高阶导数 y" 2 lim x 0 dx x n ( n 1 ) ( n 1 ) d y f ( x x ) f ( x) (n) ( n 1 ) y n y lim x 0 dx x
(三)导数的应用
1. 函数的单调性
定理1 设函数 f (x)在(a , b)内可导, 若对 x (a,b) 都有 f ' ( x) 0(或 f ' ( x) 0),则称 f (x)在(a , b)内单调增(减) .
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2.函数的极值 设函数 f (x) 在 U ( x0 )内有定义, x 为该邻域内异于 x0 的任意一点,若恒有 f ( x) f ( x0 )(或 f ( x) f ( x0 ))则称
由
例8. 设f (x)可导, F ( x) f ( x)(1 | sinx |) 则 f (0) 0 是F (x)在x=0可导的( A ). (A) 充分必要条件 ; (B) 充分条件但非必要条件; (C) 必要条件但非充分条件; (D) 既非充分条件又非必要条件. 解: 直接计算解此题. 由于F ( x) f ( x)(1 | sinx |)= f ( x) + f ( x) | sinx |, 而f (x)可导, 所以F (x)的可导性与 f ( x) | sinx | 的可导性相同.
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8.运算法则 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 设 及 可导,且 均为可导函数, 则复合函数
或
(微分形式不变性)
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9.基本初等函数的导数与微分公式 (1)
(2)
(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
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5.微分的定义:若函数的增量可表示为y=Ax+ , 其中A是与x 无关的量, 是 x→0时比x 高阶的无 穷小量,则称 y = f (x) 在点 x 处可微 , 并称Ax为f (x)在 点 x 处的微分, 记为dy , 即dy=Ax . 由于x=dx , 6.微分的几何意义: 所以
x0 x0 x0 x0
11.方程确定的隐函数的导数 例2.设函数 y= y (x) 由方程 e 解法1: 方程两边对x 求导数得: 解法2: 方程两边微分得:
x y
dy Βιβλιοθήκη Baiducos( xy) 0确定, 求 . dx
x y dy y sin( xy ) e x y . e x+y (1 y' ) sin( xy)( y xy' ) 0,解得 dx e xsin( xy )