变化率与导数及导数的计算

第十一节

变化率与导数、导数的计算

一、导数的概念

1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：

称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

＝lim Δx →0 Δy

Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0

Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

. (2)几何意义：

函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．

2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0

f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

为f (x )的导函数．

二、基本初等函数的导数公式

原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －

1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1

x ln a

f (x )＝ln x

f ′(x )＝1

x

三、导数的运算法则

1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

3.⎣⎡

⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )

[g (x )]2

(g (x )≠0)．

1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2e

D ．e 2

解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.

2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12

D ．－12

解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1

a ×2＝－1，a ＝2.

3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－1

2gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它

的加速度是( )

A ．14 m/s 2

B ．4 m/s 2

C ．10 m/s 2

D ．－4 m/s 2

解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．

4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0

5．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则

对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导

法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与

联系

(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，

是唯一的一条切线．

(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

典题导入

[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x

2.

[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

＝(x ＋Δx )2－x 2

Δx

＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，

所以y ′＝lim Δx →0 Δy

Δx

＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝

4(x ＋Δx )2

－4

x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2

， Δy

Δx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以lim

Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣

⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8

x 3. 由题悟法

根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx ；

(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0

Δy

Δx

. 以题试法

1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.

(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；

(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，

∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，