第五章 频域分析方法
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线性系统的频域分析
第五章 线性系统的频域分析频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种经典方法。
它以控制系统的频率特性作为数学模型，以伯德图或其他图表作为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能与稳态性能。
频域分析法由于使用方便，对问题的分析明确，便于掌握，因此和时域分析法一样，在自动控制系统的分析与综合中，获得了广泛的应用。
本章研究频率特性的基本概念、典型环节和控制系统的频率特性曲线、奈奎斯特稳定判据以及开环频域性能分析等内容。
§5-1 频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性，对于线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但其幅值和相位都不同与输入量。
下面以RC 电路为例，说明频率特性的基本概念。
图5-1所示的RC 电路，)(t u i 和)(0t u 分别为电路的输入电压和输出电压，电路的微分方程为：)()()(00t u t u dtt du Ti =+ 式中T=RC 为电路的时间常数。
RC 电路的传递函数为11)()(0+=Ts s U s U i （5-1） Rui )t图 5-1 RC 电路当输入电压为正弦函数t U t u i i ωsin )(=，则由式（5-1）可得22011)(11)(ωω+⋅+=+=s U Ts s U Ts s U i i 经拉氏反变换得电容两端的输出电压)sin(11)(122/220T tg t T U e T T U t u iT t i ωωωωω---+++=式中，第一项为输出电压的暂态分量，第二项为稳态分量，当∞→t 时，第一项趋于零，于是)sin(1|)(1220T tg t T U t u i t ωωω-∞→-+=)](sin[)(ωϕωω+=t A U i （5-2）式中：2211)(TA ωω+=，T tgωωϕ1)(--=，分别反映RC 网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，二者皆是输入正弦信号频率ω的函数。
自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
自动控制原理第5章-频域分析
（4）频率特性主要适用于线性定常系统，也可以有条件 地推广应用到非线性系统中。
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
第5章 控制系统的频域分析
§5.1 频 率 特 性
一、频率特性概述
1、 RC网络的频率特性
T
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
其传递函数为：
G(s) U0(s) 1 Ui (s) Ts 1
在复数域内讨论RC网络，并求输出电压
(T)2 1
——RC网络的频率特性
G( j)
1
(T)2 1 —幅频特性
() arctan T —相频特性
第5章 控制系统的频域分析
比较
G( j)
1
jT 1
和
G(s) 1 Ts 1
可见，只要用jω代替该网络的传递函数G(s)中的复变 量S，便可得其频率特性G(jω)。结论具有一般性。
2、线性定常系统的频率特性
设 ui (t) Um sin t
U U e •
j00 复阻抗 Z R 1 jRC 1
i
m
第5章 控制系统的频域分析
jC
jC
•
•
•
U0
1
•
I
jC
1 Ui
jC Z
1
jC
jCUi jCR 1
1
jT
•
U 1
i
于是有：
•
U0
•
Ui
1
jT 1
•
(T RC)
G( j)
U0
•
Ui
1
e j () G( j) e j ()
第5章 控制系统的频域分析
5.2.2 典型环节的频率特性
1、积分环节
传递函数： G(s) 1
第五章 频域分析法dxlp2
（2）系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性具有 明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列 写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。
扫频试验，无需理论建模。 （3）可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不仅适 用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节的 系统和部分非线性系统的分析。
幅相频率特性可以表示成
– 代数形式
– 极坐标形式
– 代数形式 设系统或环节的传递函数为
G( s) bm s m bm1s m1 ..... b1s b0 an s an1s
n
n1
..... a1s a0
(m n)
令s=jω ，可得系统或环节的频率特性
频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工 程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方
法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。
频率法用于分析和设计系统有如下优点： （1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法 就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特
性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特 点。
1 Tj 1 G ( j ) 1 G ( j ) Tj1 1 1 T 3. j ) 惯性环节:G(s)=1/(Ts+1) U jV | G ( j ) | e jG ( j ) G( Tj1 1 j 2 2 1 Tj 1 1 j T T 1 U jV | G ( j ) | e jG ( j ) T 2 2 G ( j ) 2 1 2 2 Tj 1 1 2 j 2T T2 1 U jV | G ( j ) | e jG ( j ) T 1 T T 2 1 1 2 2 2 |T 21 1 2 j T 2 2T 1 U jV | G ( j ) | e jG ( j ) | G ( j ) 2 1 TT 1 1 2 T (1 12T222) 2 1 U 2 jV | G ( j ) | e jG ( j ) T | G ( j| 2 1 22 j2 22 2 ) 2 T 2 T 11 2 2 1 (1 T ) | G ( j ) |T 1 V 22T2 21 1 T 12 2 1 | G ( jj) | tg1 TTtg T )T G ( ) (1 2 2 2 ) 2 ( 1 1 2 2 2 V | Gj( j|) tg 1 2 tg2 1 T )T G ( ) (1 U T 2) ( 1 2 1 V (1 时,|G(j T ) T 2(j )=0 1 所以，在 1 V tg 1 ; G ( j ) tg＝0 UT ) 1 ( )|=1,G G ( j ) tg＝0V tg (j T ) G(j )=0 U 所以，在 11时,|G1( )|=1, 1 ; U tg ( T ) G ( j ) tg 0 时，|G(j )|= ,G(j ; 所以，在 = 时,|G(j )|=1,G(j )=0 )=-45 ＝ U ; 1 1 (j )=0 所以，在＝0T 时，|j )|=1,G ,G(j )=-45 ; = 时,|G( G(j )|= 1 2 ; 1T 所以，在 ＝0时,|G((jG(j )| (j )=0j ) = 时，| )|= 2 0,G(j )=-45-90 ; , ; 1 时，|Gj )|=1, 1 G G( = T 时，|G(j )|= 1 ,G(j )=-45 ; 1 时，| j )| 2 0, G =时，|G(G()|= ,(j(j ) -90 T 2 时，|G(j )| 0,G(j)=-45 j G ) -90 ; T 2 时，|G(j )| 0,G(j ) -90 时，|G(j )| 0,G(j ) -90
第五章线性系统的频域分析法
对 A(ω ) 求导并令等于零，可解得 A(ω ) 的极值对应的频率 ω r 。
ω r = ω n 1 2ζ 2
该频率称为谐振峰值频率。可见，当 ζ = 当ζ
> 1 2
s = jω
G( jω) =| G( jω) | e
j∠G( jω)
= A(ω)e
j (ω)
G( jω) = G(s) |s= jω
G( jω) = G(s)|s= jω =| G( jω)| e j∠G( jω) = A(ω)e j(ω)
A A j (ω ) k1 = G( jω ) e k2 = G( jω ) e j (ω ) 2j 2j
可以作为系统模型
G( jω) = G(s) |s= jω = G( jω) e j(ω)
定义 幅频特性
A(ω ) =| G( jω ) |
(ω ) = ∠G ( jω )
它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 相频特性
它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 G ( jω ), 频率特性。 频率特性 G ( jω ) = A(ω )e j (ω ) ，它也是 ω 的函数。G( jω) 称为频率特性 还可将 G ( jω ) 写成复数形式，即
A(ω ) = 1 1 + T 2ω 2 ,
G (s) =
1 Ts + 1
G ( jω ) =
1 jT ω + 1
(ω ) = tg 1T ω
幅频特性 L(ω) = 20log A(ω) = 20log K 20log 1+ T 2ω2 低频段：当Tω << 1时，ω 高频段：当 Tω >> 1时， ω
自动控制原理第五章频域分析法
L ( ) L a( ) L ( ,)
振荡环节的幅相特性 振荡环节的对数幅频渐进特性
七、二阶微分环节
G(s)sn
2
2sn
1
G (j) j n 22 j n 1 1 n 2 2 j2 n
n0,01
2
G(j) (12)2422
n2
n2
G( j) arctg n 2
1
2 n
G(ju)
1
(1u2)242u2
G(j u)arc2tgu
1u2
若 u1 G (ju) arctg2u 90
1u2
振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）
u0
0.9
0.8
0.6
u 1
0.4
振荡环节的幅频、相频特性曲线
0.05
0.2 0.5 0.7
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
G(
j)
1
j
e2
相频特性是一常值 2
积分环节的幅频/相频、幅相特性曲线
对数频率特性
三、微分环节
传递函数 G(s) s
j
幅相特性 G( j) e 2
相频特性是一常值 2
微分环节的幅频/相频、幅相、对数特性曲线
四、惯性环节（一阶系统）
传递函数 幅相特性
G(s) 1 Ts1
G(j) 1 1 ejta1nT Tj1 (T)21
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
rn12 2 ( 1/ 20 .7)0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
振荡环节的幅相特性 振荡环节的对数幅频渐进特性
七、二阶微分环节
G(s)sn
2
2sn
1
G (j) j n 22 j n 1 1 n 2 2 j2 n
n0,01
2
G(j) (12)2422
n2
n2
G( j) arctg n 2
1
2 n
G(ju)
1
(1u2)242u2
G(j u)arc2tgu
1u2
若 u1 G (ju) arctg2u 90
1u2
振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）
u0
0.9
0.8
0.6
u 1
0.4
振荡环节的幅频、相频特性曲线
0.05
0.2 0.5 0.7
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
G(
j)
1
j
e2
相频特性是一常值 2
积分环节的幅频/相频、幅相特性曲线
对数频率特性
三、微分环节
传递函数 G(s) s
j
幅相特性 G( j) e 2
相频特性是一常值 2
微分环节的幅频/相频、幅相、对数特性曲线
四、惯性环节（一阶系统）
传递函数 幅相特性
G(s) 1 Ts1
G(j) 1 1 ejta1nT Tj1 (T)21
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
rn12 2 ( 1/ 20 .7)0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
频域分析法
111 第五章 频域分析法用时域分析法分析和研究系统的动态特性和稳态误差最为直观和准确，但是，用解析方法求解高阶系统的时域响应往往十分困难。
此外，由于高阶系统的结构和参数与系统动态性能之间没有明确的函数关系，因此不易看出系统参数变化对系统动态性能的影响。
当系统的动态性能不能满足生产上要求的性能指标时，很难提出改善系统性能的途径。
本章介绍的频域分析法是研究控制系统的一种经典方法，是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法。
频率特性可以由微分方程或传递函数求得，还可以用实验方法测定。
频域分析法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地揭示系统的时域性能，它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响，并可以进一步指明如何设计校正。
第一节 频率特性对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号t U t u ωsin )(= (5—1)则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即) t Y t y ϕω+=sin()( (5—2)u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。
这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。
不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式)()()()()())(()()()()(121s A s B ps s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n =+=+++==∏= (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量；A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)；n p p p ---,,,21 —传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。
由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表)))(()(22ωωωωωj s j s U s U s U -+=+= （5—4） 输出信号y(t)的拉氏变换为Y(s)＝U(s)G(s)将式(5—3)、式（5—4)代人上式得∏=+⨯-+=n j j ps s B j s j s U s Y 1)()())(()(ωωω 上式可改写成(利用部分分式法)nn p s b p s b p s b j s a j s a s Y +++++++-++= 221121)(ωω (5-5)112上式中 n b b b a a ,,,,,2121 —待定系数，它们均可用留数定理求出。
第五章频域分析法
惯性环节的幅相特性曲线
j
M()
()
0 1 0
1
0 -90
O
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
3.对数坐标图—伯德图(H.W.Bode) 对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数 幅频和对数相频两条曲线。 对数频率特性曲线的横坐标表示频率 ， 并按对数分度，单位是1/s。 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性 的函数值，线性均匀分度，单位是分贝， 记作dB。 对数幅频特性定义为 L( ) 20lg M ( )
G( j) A()e j ( )
幅频特性A( ) 系统对不同频率输入信号在稳态情况下的衰减 （或放大）特性； 相频特性 ( ) 系统稳态输出对不同频率输入信号的相位滞后 （或超前）特性。 理论上可将频率特性的概念推广到不稳定系统，但是不稳定系 统的瞬态分量不会消失，瞬态分量和稳态分量始终同时存在， 不稳定系统的频率特性观察不到。 频率特性也是描述系统的动态数学模型，频率响应法 从频率特性出发研究系统。
频率特性反映了系统的内在性质,与外界因素无关!!
频率特性的定义: 稳定的线性定常系统，正弦信号的作用下 三种数学模型的关系如图 输出的稳态分量也是正弦信号，和输入频率相同; 振幅与输入信号振幅之比为幅频特性 A( )； 相位与输入信号相位差为相频特性 ( ) 。 输出稳态分量与输入正弦信号的复数比得频率特性。
-26.6 -45 -63.5 -71.5 -76
0
-78.7 -90
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅频和相频特性曲线
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
1 1 2T 2 1
自动控制原理--第5章 频域分析法
例如，惯性环节对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
第五章 线性系统的频域分析法-5-2——【南航 自动控制原理】
)2
A(0) 1 (0) 0
G(jn )
A() 0 () 180
j
G(j0)
●
0
G(jn )
共振点
G( jn ) (n ) 0 G( jn ) (n ) 180
变化趋势 0 n () 0 , A() :1
n () 180 , A() : 0
零阻尼振荡环节在自然振荡频率处，相角突变180°。
A()
谐振现象是振荡系统的 特性，谐振频率 r 与系 统固有频率 n 和阻尼比
有关。当谐振频率等于
频率响应峰值
Mr 1/ (2 1 2 )
阶跃响应超调
p exp( / 1 2 )
固有频率时，则发生共振。
共振的危害巨大。
当阻尼比较小，且系统谐振频率处于输入信号的
频率范围时，系统输出会出现很大的振荡，影响系
5.2 典型环节与开环系统的频率特性
环节是系统的基本组成单元。將环节进行分类形成 典型环节。典型环节的频率特性是开环系统频率特性 的分解，而开环系统频率特性是闭环系统分析与设计 的基础。
一、典型环节的频率特性
1.典型环节的分类
环节：系统增益、零点或极点对应的因式
分类：按照增益的正负性、零点或极点的位置（实数 或复数、位于左半平面或右半平面）进行划分，共分 为最小相位、非最小相位两大类、12种典型环节。
设互为倒数的典型环节频率特性为
G1(j)=A1()e j1() G2 (j) =A2 ()e j2 ()
则由 G1(s) 1/ G2 (s) 得
A1()e j1 ( ) =A21()e j2 ( )
L1() L2 ()
互为倒数典型环节的对数相频曲线关于0°线对称， 对数幅频曲线关于0dB线对称。
自动控制原理第五章频域分析法
一 由传递函数求系统的频率响应
第19页/共187页
频率特性
对应的幅值和相角：
同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。
若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
第20页/共187页
每当ω增加十倍， L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程 －20dB/ dec
第34页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
第35页/共187页
积分环节L(ω)
[-20]
[-20]
[-20]
第36页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
三、微分环节
幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°
第12页/共187页
5-2频率特性
以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。
取拉氏变换，求网络的传递函数
如果输入为正弦量：
由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。
在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。
第13页/共187页
5-2频率特性
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。
交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。
第41页/共187页
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89
第19页/共187页
频率特性
对应的幅值和相角：
同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。
若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
第20页/共187页
每当ω增加十倍， L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程 －20dB/ dec
第34页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
第35页/共187页
积分环节L(ω)
[-20]
[-20]
[-20]
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5－3典型环节和开环系统频率特性
三、微分环节
幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°
第12页/共187页
5-2频率特性
以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。
取拉氏变换，求网络的传递函数
如果输入为正弦量：
由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。
在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。
第13页/共187页
5-2频率特性
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。
交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。
第41页/共187页
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89
第五章(1,2) 线性系统的频域分析法解析
用频率特性求取正弦输入稳态误差的方法：
正弦输入稳态误差求法总结： 1.定义法，求拉式反变换（不能 用终值定理） 2.动态误差系数法 3.频率响应法
2.频率特性的几何表示法（图示法）（重点）
仅从G( j)的表达式中看出的信息不直观，在工程分析和 设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲线，观察其在不 同频率段上的变换，再运用图解法进行研究（包括稳态性能、 暂态性能等）。常用的频率特性曲线有三种：
第五章 线性系统的频域分析法
时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直 观、精确。但往往需要求解复杂的微分方程。
复域分析法(根轨迹法)是一种在S平面上由开环零 极点绘制闭环系统特征根的图形分析法。
频域分析法也是一种图解分析法。依据系统的频 率特性，间接地揭示系统正弦输入信号下的暂态特 性和稳态特性。也是一种工程上常用的方法。
1
Re[G(jω)]
0
不足：计算繁琐。不直观，无法看出每个零极 点的影响。增添新的零极点时，只能重新计算。 看不出ω的变化速度。
单位：弧度/秒
半对数坐标系的优点：
对数频率特性采用 的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频
率范围内反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用 20lg A()则将幅值的乘 法运算转化为加减运算，可以简化曲线的绘制过程。
对数幅相图实质上将伯德图的两张图合成一张图。
5-2 典型环节与开环系统的频率特性
设典型的线性系统结构如图所示，闭环系统的很多 性能可通过研究开环系统的频率特性来得到。
该线性系统的开环传递函数为 G(s，)H (为s) 了研究开 环系统频率特性曲线，本节先研究开环系统典型环节 的频率特性，进一步研究开环系统的频率特性。
1.频域特性的基本概念 （这种数学模型是怎样的？）
自动控制原理第五章 线性系统的频域分析法-5-1
如同声音、图像一样，任一信号都可以表示为不同频率正弦信号的合成
如同收音机、电视机一样，任一系统的频率响应反映系统的频率特性，体现系统的控制性能。
系统频率特性物理意义明确。应用频率特性分析研究系统性能的方法称为频域分析法。
控制系统的频域分析法兼顾动态响应和噪声抑制的要求，可以拓展应用于非线性系统。
频率特性定义
分别称为系统的幅频特性和相频特性。
系统数学模型间的关系
控 制 系 统
傅氏变换
拉氏变换
g(t)
数学建模
例5.1-1
图示系统，设输入为r(t)=sin(5t)，计算系统的频率响应和稳态误差。
当
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.301
0.477
0.602
0.699
0.788
0.845
0.903
0.954
1
十倍频程
两倍频程
0.1
0.2
200
十倍频程
十倍频程
对数坐标的单位长度
⑶ 对数频率特性曲线
对数幅频特性曲线 纵坐标： ，线性刻度，单位为分贝(dB) 横坐标：ω ，对数刻度，单位为弧度/秒(rad/s)
绘制一阶系统幅相频率特性曲线
解：系统频率特性为
且有
即
复平面上位于第Ⅳ象限圆心为(1/2,j0)，半径为1的半圆。
箭头表示随ω增加,曲线的运动方向
2. 对数频率特性曲线（对数坐标图、伯德(Bode)图）
⑴ 频率特性的常用对数函数
如同收音机、电视机一样，任一系统的频率响应反映系统的频率特性，体现系统的控制性能。
系统频率特性物理意义明确。应用频率特性分析研究系统性能的方法称为频域分析法。
控制系统的频域分析法兼顾动态响应和噪声抑制的要求，可以拓展应用于非线性系统。
频率特性定义
分别称为系统的幅频特性和相频特性。
系统数学模型间的关系
控 制 系 统
傅氏变换
拉氏变换
g(t)
数学建模
例5.1-1
图示系统，设输入为r(t)=sin(5t)，计算系统的频率响应和稳态误差。
当
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.301
0.477
0.602
0.699
0.788
0.845
0.903
0.954
1
十倍频程
两倍频程
0.1
0.2
200
十倍频程
十倍频程
对数坐标的单位长度
⑶ 对数频率特性曲线
对数幅频特性曲线 纵坐标： ，线性刻度，单位为分贝(dB) 横坐标：ω ，对数刻度，单位为弧度/秒(rad/s)
绘制一阶系统幅相频率特性曲线
解：系统频率特性为
且有
即
复平面上位于第Ⅳ象限圆心为(1/2,j0)，半径为1的半圆。
箭头表示随ω增加,曲线的运动方向
2. 对数频率特性曲线（对数坐标图、伯德(Bode)图）
⑴ 频率特性的常用对数函数
控制系统的频域分析法
(5-
53)
(554)
图5－9不稳定惯性环节的频率特性
图5-4 惯性环节的频率响应
不稳定环节的频率特性如图5-9。比较图5-4可知，它与惯性 环节的频率特性相比，是以平面的虚轴为对称的。
26
（八）滞后环节的传递函数
滞后环节的传递函数为: 其对应的频率特性是:
幅频特性和相频特性分别为:
如图5-10所示，滞后环节的 频率特性在平面上是一个顺 时针旋转的单位圆。
频率ω无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。
当有n个放大环节串联时，即:
(5-62)
幅值的总分贝数为:
(5-63)
放大环节的相频特性是:
(5-64)
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无 关且与ω轴重合的直线。
34
（二）积分环节 积分环节的频率特性是: 其幅频特性为:
对数幅频特性是:
(5-65) (5-66)
(547) (548)
(549) (550)
24
二阶微分环节频率特性曲线如图5-8所示， 它是一个相位超前环节，最大超前相角为 。
图5-8 二阶微分环节频率特性
（七）不稳定图环节
不稳定环节的传递函数为:
不稳定环节有一个正实极点 ， 对应的频率特性是:
(551)
(5-
52)
25
幅频特性和相频特性分别为:
(5-67)
35
设
，则有:
可见，其对数幅频特性是一条
在ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝 线（ω轴），且以每增加十倍频率
降低20分贝的速度（-20dB/dec） 变化的直线。
积分环节的相频特性是:
(5-69)
是一条与ω无关，值为-900 且平行于ω轴的直线。积分环
自动控制原理 第五章 控制系统的频域分析法
则
uos (t) = A ⋅ A(ω)sin[ω t + ϕ(ω)]
(5.2)
结论：
(1) 稳态解与输入信号为同一频率的正弦量；
(2) 当ω 从 0 向∞变化时，其幅值之比 A(ω) 和相位差ϕ(ω) 也将随之变化，其变化规
律由系统的固有参数 RC 决定； (3) 系统稳态解的幅值之比 A(ω) 是ω 的函数，其比值为
三角函数形式： G( jω) = A(ω)[cosϕ(ω) + jsinϕ(ω)] 。
式中 A(ω) = G( jω) 是幅值比，为ω 的函数，称为幅频特性；
ϕ(ω) = ∠G( jω) 是相位差，为ω 的函数，称为相频特性； U (ω) 是 G( jω) 的实部，为ω 的函数，称为实频特性； V (ω) 是 G( jω) 的虚部，为ω 的函数，称为虚频特性。
s + p1 s + p2
s + pn s + jω s − jω
∑n
=
Ci
+
B
+
D
i=1 s + pi s + jω s − jω
(5.4)
式中 Ci , B , D 均为待定系数。
将(5.4)式进行拉氏反变换，得系统的输出响应为
n
∑ c(t) = Cie− pi t + (Be− jω t + Dejω t ) = ct (t) + cs (t) i =1
C( jω) = G( jω)R( jω)
因而，得
G( jω) = C( jω) R( jω)
(5.11)
事实上，当ω 从 0 向∞变化时， G( jω) 将对不同的ω 作出反映，这种反映是由系统自
控制工程基础(第五章,频域分析法)
延迟环节频率特性频率特性幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性对数幅频特性和相频特性对数幅频特性和相频特性nyquistnyquist图是一个以坐标原点为中心半径为图是一个以坐标原点为中心半径为11的圆如果用线性坐标则迟后环节的相频特性为一条直线如果用线性坐标则迟后环节的相频特性为一条直线33四开环控制系统的频率特性曲线的绘制把开环传递函数写成为若干个典型环节相串联把开环传递函数写成为若干个典型环节相串联gsgsgsgs其频率特性其频率特性gjgjgjgjaeaeaeae则系统的开环幅频和相频分别为则系统的开环幅频和相频分别为系统的开环对数频率特性为系统的开环对数频率特性为34一开环对数频率特性曲线的绘制bode图由前面分析可知可见开环对数幅频特性等于各环节对数幅频特性之和这也是对数运算的优点乘除运算对数化后变为加减
jY ( )
0
0 1
X ( )
一阶惯性环节与一阶微分环节的频率特性互为倒数关系： 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称； 相频特性曲线关于零度线对称。
对于一阶微分环节，也有渐进折线代替曲线的误差曲线，与 惯性环节的相似。
4、二阶因子 [1 2 T j ( jT )2 ]1
1
0X ( )
1 对数幅相频特性为 L( ) 20lg 20lg 1 2T 2 1 2T 2 ( ) arctgT 低频段： L( ) 0dB T 1 L() 20lg(T )dB T 1 高频段： ω＝1/T是两条渐近线的交点，称为交接频率，或叫转折频率、 转角频率(这是一个很重要的概念)。
具有低通滤波特性！
对于惯性环节，以渐进折线代替曲线，对应有误差曲线见下 图，其中最大误差点出现在转折频率处，误差值为-3dB。
jY ( )
0
0 1
X ( )
一阶惯性环节与一阶微分环节的频率特性互为倒数关系： 对数幅频特性曲线关于零分贝线对称； 相频特性曲线关于零度线对称。
对于一阶微分环节，也有渐进折线代替曲线的误差曲线，与 惯性环节的相似。
4、二阶因子 [1 2 T j ( jT )2 ]1
1
0X ( )
1 对数幅相频特性为 L( ) 20lg 20lg 1 2T 2 1 2T 2 ( ) arctgT 低频段： L( ) 0dB T 1 L() 20lg(T )dB T 1 高频段： ω＝1/T是两条渐近线的交点，称为交接频率，或叫转折频率、 转角频率(这是一个很重要的概念)。
具有低通滤波特性！
对于惯性环节，以渐进折线代替曲线，对应有误差曲线见下 图，其中最大误差点出现在转折频率处，误差值为-3dB。
第五章 频域分析方法
( )
1
10
40 60 80
L(dB) 20lg G( j) 。
对数相频特性曲线的纵 坐标也是均匀分度， 单位 是度（ ） 。
0.1
1
10
§5-2 典型环节的频率特性 1、比例环节： G ( s ) k ， G ( j ) k ， A( ) k ， ( ) 0 。幅频特性曲 线、相频特性曲线、幅相频率特性曲线（极坐标图） 、对数幅频特性曲线和对数相 频特性曲线分别如下图中（a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）左、 （d）右所示。
§5-1 频率特性的概念 对稳定的线性定常系统来说，在正弦输入下，它的稳态响应也是正弦的， 只是幅值和相位与输入不同。
ur A sin t
R
C
uc
以上图所示的简单 RC 网络为例，设初始状态为零，有
U c ( s ) G ( s )U r ( s )
拉氏反变换得到
1 1 A U r ( s) 2 RCs 1 Ts 1 s 2
d ( s j )G ( s ) d ( s j )G ( s )
故
um s 2
2
s j
umG ( j ) 2j
um s 2
2
s j
umG ( j ) 2j
css (t Leabharlann umG ( j ) jt umG ( j ) jt e e 2j 2j e
处。对数相频特性曲线
L( ) 20lg A( ) 20lg
1
() tg 1T
如下图中（d）下所示，对数相频特性曲线关于 (1 T , 4) 是奇对称的。 对数幅频特性用渐近线替代替精确曲线时，最大误差出现在 1 T 处，最 大误差为 3dB ，如（e）给出的误差曲线所示， （f）是一阶惯性环节的极点矢量 图。
1
10
40 60 80
L(dB) 20lg G( j) 。
对数相频特性曲线的纵 坐标也是均匀分度， 单位 是度（ ） 。
0.1
1
10
§5-2 典型环节的频率特性 1、比例环节： G ( s ) k ， G ( j ) k ， A( ) k ， ( ) 0 。幅频特性曲 线、相频特性曲线、幅相频率特性曲线（极坐标图） 、对数幅频特性曲线和对数相 频特性曲线分别如下图中（a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）左、 （d）右所示。
§5-1 频率特性的概念 对稳定的线性定常系统来说，在正弦输入下，它的稳态响应也是正弦的， 只是幅值和相位与输入不同。
ur A sin t
R
C
uc
以上图所示的简单 RC 网络为例，设初始状态为零，有
U c ( s ) G ( s )U r ( s )
拉氏反变换得到
1 1 A U r ( s) 2 RCs 1 Ts 1 s 2
d ( s j )G ( s ) d ( s j )G ( s )
故
um s 2
2
s j
umG ( j ) 2j
um s 2
2
s j
umG ( j ) 2j
css (t Leabharlann umG ( j ) jt umG ( j ) jt e e 2j 2j e
处。对数相频特性曲线
L( ) 20lg A( ) 20lg
1
() tg 1T
如下图中（d）下所示，对数相频特性曲线关于 (1 T , 4) 是奇对称的。 对数幅频特性用渐近线替代替精确曲线时，最大误差出现在 1 T 处，最 大误差为 3dB ，如（e）给出的误差曲线所示， （f）是一阶惯性环节的极点矢量 图。
第5章线性系统的频域分析方法
最小相位环节：
特点:某个参数的符号相反
除积分微分外，最小相位环 节有对应的非最小相位环节
非最小相位环节:
非最小相位环节和与之相对 应的最小相位环节的区别在 于其零极点在s平面的位置。
不稳定环节
设有两个系统
1 Ts G1 ( s ) 1 10Ts
和
1 Ts G2 ( s) 1 10Ts
1 典型环节 根据零极点，将开环传递函数的分子和分母多项式分解 成因式，再将因式分类，得到典型环节。 开环系统可表示为若干典型环节的串联形式
设典型环节的频率特性为
幅值相乘， 相角相加
则系统开环频率特性
系统的开环幅频特性和相频特性
系统开环频率特性为组成系统的各典型环节频率特性的合成 系统开环对数幅频特性
A 1 U o (s) [U i ( s ) Tuo 0 ] 代入 U i ( s ) L[ A sin t ] 2 s 2 Ts 1
U o ( s) Tu 1 A A [ 2 Tuo 0 ] o 0 再由拉氏逆变换 Ts 1 s 2 (Ts 1)(s 2 2 ) Ts 1
(1) 幅相频率特性曲线 (Nyquist图，极坐标图)
将频率特性表示为复平面上的向量，其长度为A(ω) ， 向量与正实轴夹角为 (ω)，则ω变化时，相应向量的矢端 曲线即为幅相曲线。
G( jω)=A(ω)e j(ω) ，G(-jω)=A(ω)e -j(ω)
A(ω)偶, (ω)奇
ω：0→+∞和ω：0→ -∞的幅相曲线关于实轴对称 只绘制ω从零变化至+∞的幅相曲线。 用箭头表示ω增大时幅相曲线变化方向 对于RC网络 G ( j )
j
cos j sin
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A()
( )
j
[G(j )]
线、相频特性曲线、幅相频率特性曲线（极坐标图）、对数幅频特性曲线和对数相 频特性曲线分别如下图中（a）、（b）、（c）、（d）左、（d）右所示。
( ) A()
j
[G( j)]
k
0
0
k
0
（a）
L(dB) 20 lg k
（b）
( )
（c）
0
0.01 0.1
1
10
0
0.01 0.1
1
10
（d）
2 、 积 分 环 节 ： G( s) 1 s， G( j) 1 j j e j 2 ， A() 1 ，
作 A() ；相频特性定义为系统稳态输出正弦量的相角和输入正弦量的相角 差，记作() 。根据上面的讨论，幅频特性和相频特性分别等于 G( j) 的
幅值和相角，即
A() G( j)
() G( j)
它们都是频率的函数。 幅频特性和相频特性放在一起称为幅相频率特性，记作
G( j) G( j) e jG( j) A()e j()
() 2 ， L() 20lg A() 20lg 。、相频特性曲线、幅相频率特性曲线（极
坐标图）、对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线分别如下图中（a）、（b）、（c）、（d）左、
（d）右所示。其中，幅相频率特性曲线上的箭头表示的是频率增大的方向。对数幅频特性
曲线是一条过 1斜率为每十倍频程衰减 20dB 的斜线，（e）是积分环节的极点矢量图。
第五章 频域分析方法
时域分析方法依赖于参数化的数学模型，即传递函数，一般需通过机 理建模。
由奈奎斯特（Nyquist）、伯德（Bode）和尼柯尔斯（Nichols）等人建立 起来的频率特性方法，也称为频域法是控制系统分析与综合有效的方法之 一，频域法在实际中得到广泛应用的原因，是因为它有以下一些特点：
特性曲线的纵坐标是均
40
匀分度，单位是幅频特性
( ) 60
的 分 贝 值 （ dB ）， 即 80
L(dB) 20lg G( j) 。
0.1
1
10
对数相频特性曲线的纵
坐标也是均匀分度，单位
是度（ o ）。
§5-2 典型环节的频率特性
1、比例环节：G(s) k ，G( j) k ， A() k ，() 0 。幅频特性曲
( )
1 T
0
45
90
[G(j)] G( j0) 1
( ) A()
3、对数频率特性曲
线（bode 图）。对数频率
特性曲线包括对数幅频
5
特性曲线和对数相频特
0
性曲线，是应用最广的一
5
L(dB)
组曲线。对数频率特性曲
10
15
线的横轴坐标是频率 20
，并按对数分度，单
0.1
1
10
0
位是 rad / s 。对数幅频 20
可以直接利用对系统测量得到的数据，而不必推导出系统的数学模型， 没有参数化的数学模型，也可以进行系统的分析与综合。
频率特性有明确的物理意义，系统或元器件的频率特性容易用实验方 法确定，这对于难以从机理分析入手获得传递函数的系统或元器件，有很 大的实际意义。
便于研究系统结构或参数变化对系统性能的影响，便于使用图解法。 时域分析方法和频域分析方法是控制系统分析和设计中互补的两种重 要方法，是控制工程师必须熟悉和掌握的。
它是常用的一种幅相频率特性的图示方
法，特点是将频率 作为参变量，对每 个给定的频率 ，G( j) 在[G( j)] 复
j A() 0 () 90
平面上表示一个点，当频率 从零开始
0
连续变化时，这些点便在[G( j)] 复平
面上画出一条连续的曲线，即幅相频率
特性曲线，幅相频率特性曲线上的每一
点都有一个确定的频率值 与之对应。
t
L1
E(s) A(s)
0
与右边后两项对应的是系统的稳态输出，即有
css
(t)
L1
s
d j
s
d j
故 结论得证。
d (s j)G(s) um
umG( j)
s2 2 s j
2j
d
(s
j)G(s)
um s2 2
s j
umG( j) 2j
css (t)
umG( 2j
j)
对于一般的线性定常系统 G(s) ，它稳定或者不稳定，频率特性的定义
为上述三式。
频率特性常用有三种图示方法：
A()
1、幅频特性曲线，相频特性曲线。 1
它们是在直角坐标系中表示的一组曲 0.707
线。横轴坐标是频率 ，均匀分度，纵
坐标分别是幅频特性 A() 和相频特性 0 1 T () 。
2、幅相频率特性曲线（极坐标图），
e
jt
umG( j) 2j
e
jt
G( j)
um
e e jtG( j ) jtG( j ) 2j
G( j) um sin t G( j)
下面给出频率特性的定义：
对于稳定的线性定常系统，设它的传递函数为 G(s) ，幅频特性定义为
在正弦输入下，系统稳态输出正弦量的幅值和输入正弦量的幅值之比，记
t
eT
A sin(t arc tgT) 1 T 2 2
AT 1144T 2242
t
eT 43
1 Asin(t 1 ) 114 jT44 4 4 2 4 4 414 jT43
系统响应的瞬态部分
系统响应的稳态部分，微分方程的特解
上述关系对一般线性定常系统都成立，即设系统传递函数为 G(s) ，它是稳定的，
B(s) A(s)
um s2 2
将上式展开成部分分式得到
C(s)
B(s) A(s)
um s2 2
E(s) A(s)
d s j
d s j
上式右边第一项的分子 E(s) 是 s 的多项式，右边第一项的极点就是 A(s)
的特征根，因为系统稳定，所以与右边第一项对应的系统响应的瞬态分量
lim
t
ctt
lim
§5-1 频率特性的概念 对稳定的线性定常系统来说，在正弦输入下，它的稳态响应也是正弦的，
只是幅值和相位与输入不同。
ur Asin t
R
C
uc
以上图所示的简单 RC 网络为例，设初始状态为零，有
1
1 A
Uc (s)
G(s)Ur (s)
RCs
U 1
r
(
Hale Waihona Puke s)Ts1s2
2
拉氏反变换得到
uc (t)
AT 1 T 2 2
在正弦输入 Asint 作用下系统的稳态输出为 G( j) Asin(t G( j)) 。
设系统的传递函数为
G(s) B(s) A(s)
它是稳定的，即特征方程 A(s) 0 的根全部位于左半开复平面，输入为
um sin t ，初始条件为零，则系统输出的拉氏变换为
C(s)
G(s)
um s2 2