第五章 频域分析方法

作 A() ；相频特性定义为系统稳态输出正弦量的相角和输入正弦量的相角 差，记作() 。根据上面的讨论，幅频特性和相频特性分别等于 G( j) 的
幅值和相角，即
A() G( j)
() G( j)
它们都是频率的函数。 幅频特性和相频特性放在一起称为幅相频率特性，记作
G( j) G( j) e jG( j) A()e j()
§5-1 频率特性的概念 对稳定的线性定常系统来说，在正弦输入下，它的稳态响应也是正弦的，
只是幅值和相位与输入不同。
ur Asin t
R
C
uc
以上图所示的简单 RC 网络为例，设初始状态为零，有
1
1 A
Uc (s)
G(s)Ur (s)
RCs
U 1
r
(
s)
Ts
1
s2
2
拉氏反变换得到
uc (t)
AT 1 T 2 2
第五章 频域分析方法
时域分析方法依赖于参数化的数学模型，即传递函数，一般需通过机 理建模。
由奈奎斯特（Nyquist）、伯德（Bode）和尼柯尔斯（Nichols）等人建立 起来的频率特性方法，也称为频域法是控制系统分析与综合有效的方法之 一，频域法在实际中得到广泛应用的原因，是因为它有以下一些特点：
对于一般的线性定常系统 G(s) ，它稳定或者不稳定，频率特性的定义
为上述三式。
频率特性常用有三种图示方法：
A()
1、幅频特性曲线，相频特性曲线。 1
它们是在直角坐标系中表示的一组曲 0.707
线。横轴坐标是频率 ，均匀分度，纵
坐标分别是幅频特性 A() 和相频特性 0 1 T () 。
2、幅相频率特性曲线（极坐标图），
B(s) A(s)
um s2 2
将上式展开成部分分式得到
C(s)
B(s) A(s)
um s2 2
E(s) A(s)
d s j
ຫໍສະໝຸດ Baidu
d s j
上式右边第一项的分子 E(s) 是 s 的多项式，右边第一项的极点就是 A(s)
的特征根，因为系统稳定，所以与右边第一项对应的系统响应的瞬态分量
lim
t
ctt
lim
t
eT
A sin(t arc tgT) 1 T 2 2
AT 1144T 2242
t
eT 43
1 Asin(t 1 ) 114 jT44 4 4 2 4 4 414 jT43
系统响应的瞬态部分
系统响应的稳态部分，微分方程的特解
上述关系对一般线性定常系统都成立，即设系统传递函数为 G(s) ，它是稳定的，
( )
1 T
0
45
90
[G(j)] G( j0) 1
( ) A()
3、对数频率特性曲
线（bode 图）。对数频率
特性曲线包括对数幅频
5
特性曲线和对数相频特
0
性曲线，是应用最广的一
5
L(dB)
组曲线。对数频率特性曲
10
15
线的横轴坐标是频率 20
，并按对数分度，单
0.1
1
10
0
位是 rad / s 。对数幅频 20
A()
( )
j
[G(j )]
线、相频特性曲线、幅相频率特性曲线（极坐标图）、对数幅频特性曲线和对数相 频特性曲线分别如下图中（a）、（b）、（c）、（d）左、（d）右所示。
( ) A()
j
[G( j)]
k
0
0
k
0
（a）
L(dB) 20 lg k
（b）
( )
（c）
0
0.01 0.1
1
10
0
0.01 0.1
1
10
（d）
2 、 积 分 环 节 ： G( s) 1 s， G( j) 1 j j e j 2 ， A() 1 ，
在正弦输入 Asint 作用下系统的稳态输出为 G( j) Asin(t G( j)) 。
设系统的传递函数为
G(s) B(s) A(s)
它是稳定的，即特征方程 A(s) 0 的根全部位于左半开复平面，输入为
um sin t ，初始条件为零，则系统输出的拉氏变换为
C(s)
G(s)
um s2 2
特性曲线的纵坐标是均
40
匀分度，单位是幅频特性
( ) 60
的 分 贝 值 （ dB ）， 即 80
L(dB) 20lg G( j) 。
0.1
1
10
对数相频特性曲线的纵
坐标也是均匀分度，单位
是度（ o ）。
§5-2 典型环节的频率特性
1、比例环节：G(s) k ，G( j) k ， A() k ，() 0 。幅频特性曲
() 2 ， L() 20lg A() 20lg 。、相频特性曲线、幅相频率特性曲线（极
坐标图）、对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线分别如下图中（a）、（b）、（c）、（d）左、
（d）右所示。其中，幅相频率特性曲线上的箭头表示的是频率增大的方向。对数幅频特性
曲线是一条过 1斜率为每十倍频程衰减 20dB 的斜线，（e）是积分环节的极点矢量图。
t
L1
E(s) A(s)
0
与右边后两项对应的是系统的稳态输出，即有
css
(t)
L1
s
d j
s
d j
故 结论得证。
d (s j)G(s) um
umG( j)
s2 2 s j
2j
d
(s
j)G(s)
um s2 2
s j
umG( j) 2j
css (t)
umG( 2j
j)
e
jt
umG( j) 2j
e
jt
G( j)
um
e e jtG( j ) jtG( j ) 2j
G( j) um sin t G( j)
下面给出频率特性的定义：
对于稳定的线性定常系统，设它的传递函数为 G(s) ，幅频特性定义为
在正弦输入下，系统稳态输出正弦量的幅值和输入正弦量的幅值之比，记
它是常用的一种幅相频率特性的图示方
法，特点是将频率 作为参变量，对每 个给定的频率 ，G( j) 在[G( j)] 复
j A() 0 () 90
平面上表示一个点，当频率 从零开始
0
连续变化时，这些点便在[G( j)] 复平
面上画出一条连续的曲线，即幅相频率
特性曲线，幅相频率特性曲线上的每一
点都有一个确定的频率值 与之对应。
可以直接利用对系统测量得到的数据，而不必推导出系统的数学模型， 没有参数化的数学模型，也可以进行系统的分析与综合。
频率特性有明确的物理意义，系统或元器件的频率特性容易用实验方 法确定，这对于难以从机理分析入手获得传递函数的系统或元器件，有很 大的实际意义。
便于研究系统结构或参数变化对系统性能的影响，便于使用图解法。 时域分析方法和频域分析方法是控制系统分析和设计中互补的两种重 要方法，是控制工程师必须熟悉和掌握的。