初中数学尺规作图
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尺规作图
1作一条线段等于已知线段
已知:线段a,求作:线段AB,使AB=a。
2作一全角等于已知角
已知:∠MPN
求作:∠ABC,使∠ABC=∠MPN。
3作角的平分线
已知:∠MPN
求作:∠MPN的角平分线PO
4作线段的垂直平分线
已知:线段AB
求作:线段AB的垂直平分线MN。
5过定点作已知直线的垂线:
(1)点在直线上;(2)点在直线外6过定点作已知直线的平行线
7已知三边作三角形
已知:线段a、b、c
求作:△ABC,使AB=a、BC=b、AC=c。
8已知两边及其夹角作三角形
已知:线段a、b、∠α
求作:△ABC,使AB=a、BC=b、∠B=∠α。
9已知两角及其夹边作三角形c b a
已知:线段a、∠α、∠β求作:△ABC,使∠A=∠α、∠B=∠β、AB=a。
10已知底边及底边上的高作等腰三角形
已知:线段a、h
求作:△ABC,使AB=AC,BC=a、BC边上的高AD=h。
11已知底边上的高和顶角作等腰三角形
已知:线段h、∠α
求作:△ABC,使AB=AC,∠A=∠α,高AD=h。
12已知底边及腰长作等腰三角形
已知:线段a、b
求作:△ABC,使AB=AC=a,BC=b。
13已知一直角边及斜边作直角三角形
已知:线段a、c
求作:Rt△ABC,使∠C=90°、AB=c、BC=a
14作三角形的外接圆
已知:△ABC
求作:△ABC的外接圆⊙O
15作三角形的内切圆
已知:△ABC
求作:△ABC的内切圆⊙O
16如图,直线AB⊥CD,垂足为P,∠ACP=45°, A A
B C
B C
利用尺规在图中作一段劣弧,使得它在A 、C 两
点分别与直线AB 和CD 相切。
17已知,矩形ABCD
(1)作图:作出点C 关于BD 所在直线的对称点E
18已知,如图,在Rt △ABC 中,∠C=90º,
∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ,以AB 边上一点O 为圆心,过A ,D 两点作⊙O
20、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90º,请
在△ABC 内部裁出一个半圆,圆心在AC
边上,且与AB 、BC 都相切。
(角B 的角平分线) 1如图,AD 为⊙O 的直径,作⊙O 的内切正三角形ABC ,甲、乙两人地作法分别如下:
2如图,是数轴的一部分,其单位长度为a ,已知△ABC 中,AB=3a ,BC=4a ,AC=5a .
(1)用直尺和圆规作出△ABC (要求:使点A ,C 在数轴上,保留作图痕迹,不必写出作法); 3某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M 到广场的两个入口A 、B 的距离相等,且到广场管理处C 的距离等于A 和B 之间距离的一半,A 、B 、C 的位置如图所示,请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M 的位置,(要求:不写已知、求作、作法和结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图)
4 在△ABC 中,AB=AC ,∠ABC=72°,
(1)用直尺和圆规作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D (保留作图痕迹,不要求写作法); 5如图,已知正五边形ABCDE ,请用无刻度...
的直尺,准确作出:它的一条对称轴. (保留作图痕迹)
6如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,点D 在BC 的延长线上,且BD=AB,过点B 作BE ⊥AC ,与BD 的垂线DE 交于点E.
(2) △BDE 可由△ABC 旋转得到,利用尺规作出旋转中心O (保留作图痕迹,不写作法). 7如图(1),矩形纸片ABCD ,把它沿对角线BD 向上折叠.
(1)在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法.) A B D
C 甲:1.作O
D 的中垂线,交⊙O 于B ,C 两点. 2.连结AB ,AC . △ABC 即为所求作的三角形. 乙:1.以D 为圆心,OD 长为半径作圆
弧,交⊙O 于B ,C 两点.
2.连结AB ,BC ,AC . △ABC 即为所求作的三角形.
方法1:作BDG BDC ∠=∠,在射线DG 上截取DE DC =,连接BE ;
方法2:作BH DBC D =∠∠,在射线BH 上截取BE BC =,连接DE
方法3:作BDC BDG =∠∠,过B 点作BH DG ⊥,垂足为E ;
方法4:作DBC DBH =∠∠,过D 点作DG BH ⊥,垂足为E ;
方法5:分别以D 、B 为圆心,DC 、BC 的长为半径画弧,两弧交于点E ,连接DE 、BE .
8有公路l 1同侧、l 2异侧的两个城镇A ,B ,如下图.电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A ,B 的距离必须相等,到两条公路l 1,l 2的距离也必须相等,发射塔C 应修建在什么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点C 的位置.(保留作图痕迹,不要求写出画法)
9①如图5,在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB ,请将△OAB 绕点O
顺时针旋转90°,画出旋转后的△OA B ''.
②折纸:有一张矩形纸片ABCD 如图6,要将点D 沿某条直线翻折180°,恰好落在BC 边上的D ' 处,请在图中作出该直线.
【答案】
1如图(1),已知直线AB 及直线AB 外一点C ,过点C 作CD ∥AB (写出作法,画出图形).
分析 根据两直线平行的性质,同位角相等或内错角相等,故作一个角∠ECD =∠EFB 即可.
作法 如图(2).
图(1) 图(2)
(1)过点C 作直线EF ,交AB 于点F ; H A
B D
C E
F G
第23题答案图 第23题图
(2)以点F 为圆心,以任意长为半径作弧,交FB 于点P ,交EF 于点Q ;
(3)以点C 为圆心,以FP 为半径作弧,交CE 于M 点;
(4)以点M 为圆心,以PQ 为半径作弧,交前弧于点D ;
(5)过点D 作直线CD ,CD 就是所求的直线.
2正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化.拟从点A 出发,将△ABC 分成面积相等的三个三角形,以便种上三种不同的花草,请你帮助规划出图案(保留作图痕迹,不写作法).
(2003年,桂林)
分析 这是尺规作图在生活中的具体应用.要把△ABC 分成面积相等的三个三角形,且都是从A 点出发,说明这三个三角形的高是相等的,因而只需这三个三角形的底边也相等,所以只要作出BC 边的三等分点即可.
作法 如下图,
找三等分点的依据是平行线等分线段定理.
3 如图(1)所示,已知线段a 、b 、h (h <b ).
求作△ABC ,使BC =a ,AB =b , BC 边上的高AD =h .
图(2) 图(3)
如图(3).
(1)作直线PQ ,在直线PQ 上任取一点D ,作DM ⊥PQ ;
(2)在DM 上截取线段DA =h ;
(3)以A 为圆心,以b 为半径画弧交射线DP 于B ;
(4)以B 为圆心,以a 为半径画弧,分别交射线BP 和射线BQ 于1C 和2C ;
(5)连结1AC 、2AC ,则△1ABC (或△2ABC )都是所求作的三角形.
4如下图,已知线段a ,b ,求作Rt △ABC ,使∠ACB =90°,BC =a ,AC =b (用直尺和圆规作图,保留作图痕迹).
作法 如下图
(1)作直线MN :
(2)在MN 上任取一点C ,过点C 作CE ⊥MN ;
(3)在CE 上截取CA =b ,在CM 上截取CB =a ;
(4)连结AB ,△ABC 就是所求作的直角三角形.
.
5 如下图,已知钝角△ABC ,∠B 是钝角.
求作:(1)BC 边上的高;(2)BC 边上的中线(写出作法,画出图形).
作法 如下图
(1)①在直线CB 外取一点P ,使A 、P 在直线CB 的两旁;
②以点A 为圆心,AP 为半径画弧,交直线CB 于G 、H 两点;
③分别以G 、H 为圆心,以大于2
1GH 的长为半径画弧,两弧交于E 点; ④作射线AE ,交直线CB 于D 点,则线段AD 就是所要求作的△ABC 中BC 边上的高.
(2)①分别以B 、C 为圆心,以大于2
1BC 的长为半径画弧,两弧分别交于M 、N 两点; ②作直线MN ,交BC 于点F ;
③连结AF ,则线段AF 就是所要求作的△ABC 中边BC 上的中线.
6 如图(1)所示,在图中作出点C ,使得C 是∠MON 平分线上的点,且AC =OC .
图(1)图(2)
7 如图(1),已知有公共端点的线段AB、BC.求作⊙O,使它经过点A、B、C(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2002年,大连)
图(1)图(2)
8如图,是一块直角三角形余料,︒
C.工人师傅要把它加工成一个正方形零件,
=
∠90
使C为正方形的一个顶点,其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上.试协助工人师傅用尺规画出裁割线.
①作ACB
∠的角平分线CD,交AB于点G;
②过G点分别作AC、BC的垂线,垂足为E、F.则四边形ECFG就是所要求作的正方形.。