初中数学尺规作图

尺规作图
1作一条线段等于已知线段
已知：线段a，求作：线段AB，使AB=a。

2作一全角等于已知角
已知：∠MPN
求作：∠ABC，使∠ABC=∠MPN。

3作角的平分线
已知：∠MPN
求作：∠MPN的角平分线PO
4作线段的垂直平分线
已知：线段AB
求作：线段AB的垂直平分线MN。

5过定点作已知直线的垂线：
（1）点在直线上；（2）点在直线外6过定点作已知直线的平行线
7已知三边作三角形
已知：线段a、b、c
求作：△ABC，使AB=a、BC=b、AC=c。

8已知两边及其夹角作三角形
已知：线段a、b、∠α
求作：△ABC，使AB=a、BC=b、∠B=∠α。

9已知两角及其夹边作三角形c b a
已知：线段a、∠α、∠β求作：△ABC，使∠A=∠α、∠B=∠β、AB=a。

10已知底边及底边上的高作等腰三角形
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a、BC边上的高AD=h。

11已知底边上的高和顶角作等腰三角形
已知：线段h、∠α
求作：△ABC，使AB=AC，∠A=∠α，高AD=h。

12已知底边及腰长作等腰三角形
已知：线段a、b
求作：△ABC，使AB=AC=a，BC=b。

13已知一直角边及斜边作直角三角形
已知：线段a、c
求作：Rt△ABC，使∠C=90°、AB=c、BC=a
14作三角形的外接圆
已知：△ABC
求作：△ABC的外接圆⊙O
15作三角形的内切圆
已知：△ABC
求作：△ABC的内切圆⊙O
16如图，直线AB⊥CD，垂足为P，∠ACP=45°, A A
B C
B C
利用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A 、C 两
点分别与直线AB 和CD 相切。

17已知，矩形ABCD
（1）作图：作出点C 关于BD 所在直线的对称点E
18已知，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，
∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ，以AB 边上一点O 为圆心，过A ，D 两点作⊙O
20、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，请
在△ABC 内部裁出一个半圆，圆心在AC
边上，且与AB 、BC 都相切。

（角B 的角平分线） 1如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内切正三角形ABC ，甲、乙两人地作法分别如下：
2如图，是数轴的一部分，其单位长度为a ，已知△ABC 中，AB=3a ，BC=4a ，AC=5a ．
（1）用直尺和圆规作出△ABC （要求：使点A ，C 在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）； 3某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M 到广场的两个入口A 、B 的距离相等，且到广场管理处C 的距离等于A 和B 之间距离的一半，A 、B 、C 的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M 的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
4 在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=72°，
(1)用直尺和圆规作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D (保留作图痕迹，不要求写作法)； 5如图，已知正五边形ABCDE ，请用无刻度．．．
的直尺，准确作出：它的一条对称轴． （保留作图痕迹）
6如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 在BC 的延长线上，且BD=AB,过点B 作BE ⊥AC ，与BD 的垂线DE 交于点E.
(2) △BDE 可由△ABC 旋转得到，利用尺规作出旋转中心O （保留作图痕迹，不写作法）. 7如图（1），矩形纸片ABCD ，把它沿对角线BD 向上折叠．
（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） A B D
C 甲：1．作O
D 的中垂线，交⊙O 于B ，C 两点． 2．连结AB ，AC ． △ABC 即为所求作的三角形． 乙：1．以D 为圆心，OD 长为半径作圆
弧，交⊙O 于B ，C 两点．
2．连结AB ，BC ，AC ． △ABC 即为所求作的三角形．
方法1:作BDG BDC ∠=∠,在射线DG 上截取DE DC =,连接BE ；
方法2：作BH DBC D =∠∠,在射线BH 上截取BE BC =,连接DE
方法3：作BDC BDG =∠∠,过B 点作BH DG ⊥,垂足为E ；
方法4：作DBC DBH =∠∠,过D 点作DG BH ⊥,垂足为E ；
方法5：分别以D 、B 为圆心，DC 、BC 的长为半径画弧，两弧交于点E ,连接DE 、BE .
8有公路l 1同侧、l 2异侧的两个城镇A ，B ，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A ，B 的距离必须相等，到两条公路l 1，l 2的距离也必须相等，发射塔C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C 的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）
9①如图5，在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB ，请将△OAB 绕点O
顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA B ''.
②折纸：有一张矩形纸片ABCD 如图6，要将点D 沿某条直线翻折180°，恰好落在BC 边上的D ' 处，请在图中作出该直线.
【答案】
1如图（1），已知直线AB 及直线AB 外一点C ，过点C 作CD ∥AB （写出作法，画出图形）．
分析 根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD =∠EFB 即可．
作法 如图（2）．
图（1） 图（2）
（1）过点C 作直线EF ，交AB 于点F ； H A
B D
C E
F G
第23题答案图 第23题图
（2）以点F 为圆心，以任意长为半径作弧，交FB 于点P ，交EF 于点Q ；
（3）以点C 为圆心，以FP 为半径作弧，交CE 于M 点；
（4）以点M 为圆心，以PQ 为半径作弧，交前弧于点D ；
（5）过点D 作直线CD ，CD 就是所求的直线．
2正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A 出发，将△ABC 分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．
（2003年，桂林）
分析 这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC 分成面积相等的三个三角形，且都是从A 点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC 边的三等分点即可．
作法 如下图，
找三等分点的依据是平行线等分线段定理．
3 如图（1）所示，已知线段a 、b 、h （h ＜b ）．
求作△ABC ，使BC =a ，AB =b ， BC 边上的高AD =h ．
图（2） 图（3）
如图（3）．
（1）作直线PQ ，在直线PQ 上任取一点D ，作DM ⊥PQ ；
（2）在DM 上截取线段DA =h ；
（3）以A 为圆心，以b 为半径画弧交射线DP 于B ；
（4）以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BP 和射线BQ 于1C 和2C ；
（5）连结1AC 、2AC ，则△1ABC （或△2ABC ）都是所求作的三角形．
4如下图，已知线段a ，b ，求作Rt △ABC ，使∠ACB =90°，BC =a ，AC =b （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．
作法 如下图
（1）作直线MN ：
（2）在MN 上任取一点C ，过点C 作CE ⊥MN ；
（3）在CE 上截取CA =b ，在CM 上截取CB =a ；
（4）连结AB ，△ABC 就是所求作的直角三角形．
．
5 如下图，已知钝角△ABC ，∠B 是钝角．
求作：（1）BC 边上的高；（2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形）．
作法 如下图
（1）①在直线CB 外取一点P ，使A 、P 在直线CB 的两旁；
②以点A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线CB 于G 、H 两点；
③分别以G 、H 为圆心，以大于2
1GH 的长为半径画弧，两弧交于E 点； ④作射线AE ，交直线CB 于D 点，则线段AD 就是所要求作的△ABC 中BC 边上的高．
（2）①分别以B 、C 为圆心，以大于2
1BC 的长为半径画弧，两弧分别交于M 、N 两点； ②作直线MN ，交BC 于点F ；
③连结AF ，则线段AF 就是所要求作的△ABC 中边BC 上的中线．
6 如图（1）所示，在图中作出点C ，使得C 是∠MON 平分线上的点，且AC =OC ．
图（1）图（2）
7 如图（1），已知有公共端点的线段AB、BC．求作⊙O，使它经过点A、B、C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2002年，大连）
图（1）图（2）
8如图，是一块直角三角形余料，︒
C．工人师傅要把它加工成一个正方形零件，
=
∠90
使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上．试协助工人师傅用尺规画出裁割线．
①作ACB
∠的角平分线CD，交AB于点G；
②过G点分别作AC、BC的垂线，垂足为E、F．则四边形ECFG就是所要求作的正方形．。