第二学期第二次课

第二学期第十二次课

定义 设A 是数域K 上一个n 阶方阵,g(x)是K 上一个m 次多项式.如果g(A)=0,则g(x)称为方阵A 的一个化零多项式.

Hamilton –Cayley 定理 设A 是数域K 上的n 阶方阵,f 是A 的特征多项式,则f(A)=0. 证明 A 在C 内相似于Jordan 形矩阵J,即有C 上可逆阵T 使J AT T 1

=-.显然对任意正整数k,有T A T J k

-1

k

=.由此知f(A)=0当且仅当f(J)=0.设

⎥⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡=s 2

1J 00J J J O ,i

i n n i i i i 0

101

J ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣⎡=λλλO

O

则∏=-=

s

1

i n i

i

)

()(f λλλ.f 的每个根i λ的重数≥Jordan 块J i 的阶数i n .现在

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣

⎡=)J (f 00

)

J (f )J (f )J (f s 21O 对每个i,有f(J i )=0,于是f(J)=0.

设A 是数域K 上一个n 阶方阵,A 的首项系数为1的最低次化零多项式称为A 的最小多项式.

命题 设A 是数域K 上的n 阶方阵, ϕ(x)是A 的一个最小多项式.若把A 看作C 上的n 阶方阵,它在C 内的最小多项式为ψ(x),则ϕ(x)与ψ(x)次数相同.

证明 ϕ(x)是A 在C 内的一个化零多项式,从而其次数应大于或等于ψ(x),反之,设

m

m x a x a a +++=Λ10)x (ψ ,(∈i a C , 1=m a )

则应有

m m a a a A A E )A (10+++=Λψ=0

设)(A )

(k

k ij a =,则上式可写成

0)

()

1(1)

0(0=+++m ij

m ij ij a a a a a a Λ

上式是m+1个未知量m a a a Λ,,10的齐次线性方程组,其系数属于K.已知它在C 内有非零解(即

ψ(x)不全为零的系数).于是它在K 内也有非零解m b b b Λ,,10.设

0,01===≠+m k k b b b Λ,此时不妨设1=k b .于是有

0A A E 10=+++k

b b Λ (K b i ∈)

故k

k x b x b b x g +++=Λ10)(是A 在K 内一化零多项式,故m ≥k ≥ϕ(x)的次数.命题得证.

这个命题说明:A 在K 内的任一最小多项式也是A 在C 内的最小多项式.所以,只要把A 看作C 上的n 阶方阵,决定出它在C 内的所有最小多项式,那么A 在K 内的最小多项式也在其中了.

由方阵的Jordan 标准形可以用如下方法确定其最小多项式:

命题 设A 是数域K 上的n 阶方阵.设A 的特征多项式f 在C 内全部互不相同的特征值为

k 21,,λλλΛ,A 在C 内的Jordan 标准型J 中以i λ为特征值的Jordan 块的最高阶数为i l ,则

A 在K 内的最小多项式是唯一的,它就是

k l

l

l

)x ()x ()x ()x (k 2121λλλϕ---=Λ 证明 设A 在C 内的Jordan 标准形为

⎥⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡=s 2

1J 00J J J O ,i

i n n i i i i 0

101

J ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣⎡=λλλO

O

则有复可逆方阵T,使J AT T 1

=-.对任意复系数多项式g(x),由于)J (g T )A (g T 1

=-,故g(x)

是A 的化零多项式当且仅当g(x)是J 的化零多项式.从而A 与J 有相同的最小多项式.因此只要找出J 的所有最小多项式就可以了.设g(x)是J 的一个首项系数为1的化零多项式.有

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢

⎢

⎢⎣⎡=)J (g )

J (g )J (g )J (g s 21O =0 故g(J)=0当且仅当所有g(i J )=0.而g(i J )=0当且仅当i λ为g(x)的零点,且其重数≥i J 的阶i n .设A 的(也是J 的)全部互不相同的特征值为k 21,,λλλΛ,而J 中以i λ为特征值的Jordan 块的最高阶数为i l ,则在C 内,g(x)应表示为 t 12

1f t f 1e k e 2e

1)x ()x ()x ()

x ()x ()x (g μμλλλ-----=ΛΛk

其中k 21,,λλλΛ,t 21,,μμμΛ两两不同,且i i l e ≥ (i=1,2,…,k).反之,若g(x)满足上述条件,则所有g(i J )=0,从而g(J)=0.由此可以知道J 的最小多项式应为

k l

l l )x ()x ()x ()x (k 2121λλλϕ---=Λ

这表明J 的最小多项式是唯一的,从而A 在K 内的最小多项式也唯一,即为)x (ϕ.