统计学平均指标
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——适用于各变量值出现的次数不 同的情况
m
fi i1
f1
f2
G x x x x 1 2
m
fm
fi m
fi
m
i1
i
i1
式中： G为几何平均数; 为f 第i 组的i次数； 为 m 组数；xi 为i第 组的标志值或组中值。
【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利 率前4年为3﹪，下2年为5﹪，下2年为8﹪，下3 年为10﹪，最后1年为15﹪。求平均年利率。
1
x1 x2 x3 x4 x5 x6
几何平均数的学习要点 几何平均数
适用条件
基本含义及公式
（三）几何平均数
几何平均数 是n项变量值连乘积的开n次 方根
应用：
用于计算现象的平均比率或平均速度
应用的前提条件：
各个比率或速度的连乘积等于总比率或总 速度； 相乘的各个比率或速度不为零或负值。
几何平均数的计算方法
例：
平均工资
工资总额 职工人数
平均成本
总成本 总产量
※ 它表明平均每一个单位所分担的标志 值是多少。
【例】某企业某日工人的日产量资料如下：
情况1
日产量 （件）
情况2
日产量 （件）
x
工人人数 （人）
f
10
70
10
11
100
11
12
380
12
13
150
13
14
100
14
合计
800
计算该企业该日全部工人的平均日产量。
平均数的影响程度。
绝对权数 表现为次数、频数、单位数；即
公式 x xf中的 f
f
相对权数 表现为频率、比重；即公式
x xf
f
x
f
f
中的 f
f
思考题:依据下例,分析权数对算术平均数的影响
成绩（分）
x
60 100 合计
人数（人）
甲班f
39 1
丁班f 比重权数
39×2 39/40 1×2 1/40
成绩（分）
x
60 100 合计
人数（人）
f
甲班 乙班 丙班
39
1
20
1
39
20
40
40
40
思考题:依据下例,分析说明算术平均数的影响因素
成绩（分）
x
60 100
人数（人）
f
甲班 乙班 丙班
39
1
20
1
39
20
平均成绩（分） 61
99
80
加权算术平均数的计算方法归纳
变量数列中各组标志值出现的次数 权数 （频率），反映了各组的标志值对
0.95 0.92 0.90 0.85 0.80
即该流水线总的合格率等于各工序合格率 的连乘积，符合几何平均数的适用条件， 故需采用几何平均法计算。
求解平均合格率
X G 5 0.95 0.92 0.90 0.85 0.80 5 0.5349 88.24﹪
几何平均数的计算方法
B. 加权几何平均数
i 1
9710 12.1375(件） 800
说 明
若上述资料为组距数列，则应取各组的组 中值作为该组的代表值用于计算；此时求 得的算术平均数只是其真值的近似值。
加权算术平均数的影响因素分析
分析：
m
xi fi
x
i 1 m
fi
i 1
各组变量值 各组权数
思考题:依据下例,分析说明算术平均数的影响因 素
…… 第五道工序的合格品为 （A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；
因该流水线的最终合格品即为第五道工序 的合格品， 故该流水线总的合格品应为
A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80； 则该流水线产品总的合格率为：
总合格品 总产品
A
0.95 0.92 0.90 0.85 0.80 A
A.简单算术平均数 适用于总体资料未经分组 整理、尚为原始资料的情 况
N
x x1 x2 xn i1 xi
n
n
式中：x 为算术平均数; n为总体单位总数；
xi 为第i 个单位的标志值。
简单算术平均数的计算实例
【例】 某售货小组5个人，某天的销售额
分别为520元、600元、480元、 750元、440元，则
A. 简单几何平均数
G n x1 x2 xn n xi
式中：G为几何平均数; 为n 变量值的个 数； 为xi第 个变i 量值。
【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。 某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、 90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品 的平均合格率。
分析：
设经过第一道工序生产出A个单位 ，则 第一道工序的合格品为A×0.95； 第二道工序的合格品为（A×0.95）×0.92；
二、平均指标的计算与应用
平均指标按计算方法分类
算术平均数 调和平均数 几何平均数
众数
中位数
数值平均数 位置平均数
算术平均数的学习要点
算术平均数
加权算术 两种算术 两种算术
数学性质 平均数
平均数
平均数
的影响因素分析的适用条件 的计算公式
基本含义
（一）算术平均数
基本形式：
算术 总体标志总量 平均数 总体单位总数
40 40×2 100%
算术平均数的主要数学性质1
算术平均数与标志值个数的乘积等于?
算术平均数与标志值个数的乘积等于
各标志值的总和。
即：nx
n
xi
或
i 1
n
n
fi x xi fiห้องสมุดไป่ตู้
i 1
i 1
算术平均数的主要数学性质2
变量值与其算术平均数的离差之和恒等 于零。
n
n
即： (xi x) 0或 (xi x) fi 0
平均每人日销售额为：
x x 520 600 480 750 440
n
5
2790 558元
5
加权算术平均数的计算实例
【例】某企业某日工人的日产量资料如下：
日产量（件）
工人人数（人）
x
f
10
70
11
100
12
380
13
150
14
100
合计
800
计算该企业该日全部工人的平均日产量。
B. 加权算术平均数 ——适用于总体资料经过 分组整理形成变量数列的 情况
i 1
i 1
算术平均数的主要数学性质3
变量值与其算术平均数的离差平方和为 最小。
即：n (xi x)2 min
或
n
(xi x)2 fi min
i 1
i 1
离差的概念
(x x) 1 0 (2) 31 (1) 0
8
•
7
6
5
-1
4
•
3
• -2
1• -1 •
x 5
3
•
2(x x)2 12 02 (2)2 32 12 (1)2 16
分析：
m
x
x1 f1 x2 f2 xm fm f1 f2 fm
xi fi
i 1 m
fi
i 1
式中：
m
为X算术平均数; 为第fi 组的i次数； 为组 数X；i 为第i组的标志值或组中值。
加权算术平均数的实例分析
解：
m
x
xi fi
i 1 m
fi
10 70 70
14 100 100
m
fi i1
f1
f2
G x x x x 1 2
m
fm
fi m
fi
m
i1
i
i1
式中： G为几何平均数; 为f 第i 组的i次数； 为 m 组数；xi 为i第 组的标志值或组中值。
【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利 率前4年为3﹪，下2年为5﹪，下2年为8﹪，下3 年为10﹪，最后1年为15﹪。求平均年利率。
1
x1 x2 x3 x4 x5 x6
几何平均数的学习要点 几何平均数
适用条件
基本含义及公式
（三）几何平均数
几何平均数 是n项变量值连乘积的开n次 方根
应用：
用于计算现象的平均比率或平均速度
应用的前提条件：
各个比率或速度的连乘积等于总比率或总 速度； 相乘的各个比率或速度不为零或负值。
几何平均数的计算方法
例：
平均工资
工资总额 职工人数
平均成本
总成本 总产量
※ 它表明平均每一个单位所分担的标志 值是多少。
【例】某企业某日工人的日产量资料如下：
情况1
日产量 （件）
情况2
日产量 （件）
x
工人人数 （人）
f
10
70
10
11
100
11
12
380
12
13
150
13
14
100
14
合计
800
计算该企业该日全部工人的平均日产量。
平均数的影响程度。
绝对权数 表现为次数、频数、单位数；即
公式 x xf中的 f
f
相对权数 表现为频率、比重；即公式
x xf
f
x
f
f
中的 f
f
思考题:依据下例,分析权数对算术平均数的影响
成绩（分）
x
60 100 合计
人数（人）
甲班f
39 1
丁班f 比重权数
39×2 39/40 1×2 1/40
成绩（分）
x
60 100 合计
人数（人）
f
甲班 乙班 丙班
39
1
20
1
39
20
40
40
40
思考题:依据下例,分析说明算术平均数的影响因素
成绩（分）
x
60 100
人数（人）
f
甲班 乙班 丙班
39
1
20
1
39
20
平均成绩（分） 61
99
80
加权算术平均数的计算方法归纳
变量数列中各组标志值出现的次数 权数 （频率），反映了各组的标志值对
0.95 0.92 0.90 0.85 0.80
即该流水线总的合格率等于各工序合格率 的连乘积，符合几何平均数的适用条件， 故需采用几何平均法计算。
求解平均合格率
X G 5 0.95 0.92 0.90 0.85 0.80 5 0.5349 88.24﹪
几何平均数的计算方法
B. 加权几何平均数
i 1
9710 12.1375(件） 800
说 明
若上述资料为组距数列，则应取各组的组 中值作为该组的代表值用于计算；此时求 得的算术平均数只是其真值的近似值。
加权算术平均数的影响因素分析
分析：
m
xi fi
x
i 1 m
fi
i 1
各组变量值 各组权数
思考题:依据下例,分析说明算术平均数的影响因 素
…… 第五道工序的合格品为 （A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；
因该流水线的最终合格品即为第五道工序 的合格品， 故该流水线总的合格品应为
A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80； 则该流水线产品总的合格率为：
总合格品 总产品
A
0.95 0.92 0.90 0.85 0.80 A
A.简单算术平均数 适用于总体资料未经分组 整理、尚为原始资料的情 况
N
x x1 x2 xn i1 xi
n
n
式中：x 为算术平均数; n为总体单位总数；
xi 为第i 个单位的标志值。
简单算术平均数的计算实例
【例】 某售货小组5个人，某天的销售额
分别为520元、600元、480元、 750元、440元，则
A. 简单几何平均数
G n x1 x2 xn n xi
式中：G为几何平均数; 为n 变量值的个 数； 为xi第 个变i 量值。
【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。 某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、 90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品 的平均合格率。
分析：
设经过第一道工序生产出A个单位 ，则 第一道工序的合格品为A×0.95； 第二道工序的合格品为（A×0.95）×0.92；
二、平均指标的计算与应用
平均指标按计算方法分类
算术平均数 调和平均数 几何平均数
众数
中位数
数值平均数 位置平均数
算术平均数的学习要点
算术平均数
加权算术 两种算术 两种算术
数学性质 平均数
平均数
平均数
的影响因素分析的适用条件 的计算公式
基本含义
（一）算术平均数
基本形式：
算术 总体标志总量 平均数 总体单位总数
40 40×2 100%
算术平均数的主要数学性质1
算术平均数与标志值个数的乘积等于?
算术平均数与标志值个数的乘积等于
各标志值的总和。
即：nx
n
xi
或
i 1
n
n
fi x xi fiห้องสมุดไป่ตู้
i 1
i 1
算术平均数的主要数学性质2
变量值与其算术平均数的离差之和恒等 于零。
n
n
即： (xi x) 0或 (xi x) fi 0
平均每人日销售额为：
x x 520 600 480 750 440
n
5
2790 558元
5
加权算术平均数的计算实例
【例】某企业某日工人的日产量资料如下：
日产量（件）
工人人数（人）
x
f
10
70
11
100
12
380
13
150
14
100
合计
800
计算该企业该日全部工人的平均日产量。
B. 加权算术平均数 ——适用于总体资料经过 分组整理形成变量数列的 情况
i 1
i 1
算术平均数的主要数学性质3
变量值与其算术平均数的离差平方和为 最小。
即：n (xi x)2 min
或
n
(xi x)2 fi min
i 1
i 1
离差的概念
(x x) 1 0 (2) 31 (1) 0
8
•
7
6
5
-1
4
•
3
• -2
1• -1 •
x 5
3
•
2(x x)2 12 02 (2)2 32 12 (1)2 16
分析：
m
x
x1 f1 x2 f2 xm fm f1 f2 fm
xi fi
i 1 m
fi
i 1
式中：
m
为X算术平均数; 为第fi 组的i次数； 为组 数X；i 为第i组的标志值或组中值。
加权算术平均数的实例分析
解：
m
x
xi fi
i 1 m
fi
10 70 70
14 100 100