虚功原理

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例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在 ｉ－ｉ方向的位移 N 。
i
B
A
N
由平衡条件：
d
B
i
A
N 1 cos
虚功方程：
N
1 B
1 N N d 0
N
N
A
N N d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移， 即是三者的叠加，有：
Q M EI 8 1 h h 8.23 8.23 1.83 2 3 12 l GAl l
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
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( M N Q )ds Rk ck
T P A P B P( A B ) P
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
P
P A
ΔA m 表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。
t t
B β
P
ΔB Δ
B m
m A A Δ
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
T m A m B m( A B ) m
（1）在荷载作用下建立 M P .N P .QP的方程，可经由荷载内力应力应变 过程推导应变表达式。 （2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
( M N Q )ds
MP EI
k--为截面形状系数
NP EA
1.2
QP k GA
10 9
Δ11
A
T22
在Δ12过程中，P1的值不变， T12 P 12 1
1 P2 22 2
Δ12与P1无关
实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22，
1、实功与虚功
实功恒为正。
虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12，
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ΔKj
如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。 产生位移的原因
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
( M N Q )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
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( M N Q )ds Rk ck
11
( M N Q )ds Rk ck
（2）杆CD的转角 D
cA
C A B
l
c
2l 3

1
1 1 c cD 0 3
l
3
1 D
A
B
C
1 c cA 3 2 1 1 cA 0 2l
1 cA 2l
1 3
A
2 3
B
C D
1
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位移方 向与假设的单位力方向 一致。
（3）拱
MM P NN P ds ds EI EA
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例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移 AV , EI C 。 P=1 q x A x C C B A
AV
B
l 2
1）列出两种状态
l 2
(a) 实际状态
l 2
l 2
(b) 虚设状态
的内力方程：
2 MP q x l 2 2 QP q x l
NP 0

2
N 0 M x Q 1
M
l
l 2
2 q MM P l dx q 7l 4 7 ql4 dx l x x 2 EI 2 EI 2 EI 192 384EI 2 l
19
M
7ql 4 3ql 2 Q 384EI 20GA
3）讨论
比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。
Q M 3ql 2 EI 20GA 8.23 7 ql 4 GAl 2 384EI
E 8 1 设材料的泊松比 , 由材料力学公式 21 。 G 3 3 3 bh 代入上式 设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有 A bh, I , 12
i
B d

A
m
i
B
d
A
Q
a
B
a
d
A
i
m
i
B A
Q
a
M
B
a
1 1
A
A
Q
a
a
M 1 sin a
Q 1 sin
虚功方程：1 m M d 0
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1 Q Q d 0
m M d
Q Q d
位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
K
K
ds
ds d

t1 t2
c2
c1
ds ds
1
R1
ds
R2
ds
d
d
外虚功：W
e

1 Rk ck
变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位 移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 。即：
ds
d
R

d
i
R
d

d
d
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（1）三种变形：
1 R


9
d
ds
i
ds
ds d
ds
d
R

d
R
d

d
（2）微段两端相对位移：
d
i
1

d
M , N ,Q
d ds
ds ds R
d ds
续基本思路：设 ds 0 , 微段的变形以截面B左右两端的相对位移的 形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。 （3）应用刚体虚功原理求位移d－即前例的结论。
这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表示AB两截面的相对转角。 2013-12-19
B
4
三、虚力原理
c1
——虚设力系求刚体体系位移
C B 已知 c1 求
?
A
设虚力状态
a
b
P=1
R1 a P b 0
虚功方程
R1
b a
A
C B a b
1 R1 c1 0
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .N .Q .Rk 表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
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§9-3
荷载作用下的位移计算
研究对象：静定结构、线性弹性材料。
重点在于解决荷载作用下应变 、、 的表达式。 一、计算步骤
b c1 a
R1
小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；
（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。
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单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
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四、支座位移时静定结构的位移计算
已知位移 c A 求 : （1）C点的竖向位移 c
第 九 章
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1
§9-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础 产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差
c
c
t1
t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移

M
l
l 2
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2 q MM P l dx q 7l 4 7 ql4 dx l x x 2 EI 2 EI 2 EI 192 384EI 2
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l x l CB段 2
2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算AV
AC段 0 x

2
N 0 M x Q 1
l 在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。 2
l x l CB段 2

l
l
l 2
l kQ Q MM P P dx l dx 2 EI GA
3
位移发生的位置
2、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移
有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。 3）若广义力是等值、反向的一对力P
求 （1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； 解 （2）建立虚功方程 1 R c 0 k k 步 2013-12-19 骤 （3）解方程得 Rk ck 定出方向。
6
例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因 例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对转角d，试求A点在i－i方向的 产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向 位移 m。 的位移 Q。

2
N 0 M x Q 1
17
l 0 x AC段 2

NP 0 MP 0 NP 0
QP 0

N 0 M x Q 1
l x l CB段 2
2 q l MP x 2 2 QP q x l
AC段 0 x l 2

NP 0 MP 0 NP 0
QP 0

N 0
M x
Q 1
l x l CB段 2
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2 MP q x l 2 2 QP q x l

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设为矩形截面 k=1.2
l kQ QP l dx 3ql2 Q l dx l 1.2 1 q x 2 2 GA 2 GA 20GA l
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7 ql4 3ql 2 M Q 384EI 20GA
A A1
(3) 荷载作用下的位移计算公式
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MM P NN P kQ QP ds ds ds EI EA GA
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二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MM P ds EI
（2）桁架
NN P NN P NN Pl ds ds EA EA EA
d M N Q Md Nd Q d
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或
d ( M N Q )ds
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二、结构位移计算的一般公式
i


i
d ( M N Q )ds
一根杆件各个微段变形引起的位移总和：
d ( M N Q )ds
广义位移
2
2013-12-19位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便
二、虚功原理
P1
Δ11
荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到
Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比。
P2 元功： dT P d
1 T11 dT P1 11 2
O P dT B P1 Δ
Δ12
Δ22

再加P2， 2在自身引起的位移Δ22上作的功为： P
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M Q N Md Q d Nd
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§9-2
结构位移计算的一般公式 ——变形体的位移计算
推导位移计算公式的两种途径
{由刚体虚功原理来推导－局部到整体。
由变形体虚功原理来推导；
一、局部变形时的位移计算公式 在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形 基本思路： 所引起的位移。 d ds ds d ds i
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Q N 内虚功：Wi M N Q ds
M
1
R c
k k

M N Q ds

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三、位移计算的一般步骤:
t1 t2
K
K

c2
c1
1
R1
M .N .Q .Rk
R2
实际变形状态
虚力状态
( M N Q )ds Rk ck