高中数学数列中的数学思想方法

数列中的数学思想方法

数学思想方法的掌握和自觉运用可以使数学学习达到更高境界。数列中蕴含了函数思想、方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等重要的数学思想，努力用数学思想的高观点指导数列的学习，可以更深刻地理解知识，形成能力。 一、函数思想与数形结合思想

数列是定义在正整数集上的函数，等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式是函数的解析式，在函数的观点指导下可使许多问题的理解产生一个质的飞跃。

例1．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，其公比1≠q ，且0>i b （ ,3,2,1=i ），若11b a =，1111b a =,则（ ）

)(A 66b a = )(B 66b a > )(C 66b a < )(D 66b a >或66b a <

分析：（方法一）1111b b q ≠⇒≠，0>i b ，所以

62611111

111162

2b b b b b b a a a ==>+=+=

，选B （方法二）等差数列是定义在正整数集上的一次函数，等比数列（1≠q ）时是定义在正整数集上的指数函数。由11b a =，

1111b a =知两函数有两个交点如图，显然66b a >，而且当

N n n ∈<<,111时都有n n b a >，当11>n 时，n n b a <

例2．已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）

A ．55

B ．70

C ．85

D ．100

分析：函数的本质是对应，对数列}{n a ，1)(1-+==n a n f a n 就是11-+→n a n ，

)(n b n b f a c n ==就是11-+→n n b a b ，将上述对应关系中的n 整体代换成了n b 即可。

解：1)(,1)(11-+==-+==n b n g b n a n f a n n

所以，321)(111+=-++=-+===n n b a b a b f a c n n b n n

852

)

134(1010=+=

S

二、方程的思想

等差数列有两个基本量d a ,1，等比数列有两个基本量q a ,1，等差与等比数列的两个基本问题n n S a ,都可以用两个基本量来表示，所以列出关于两个基本量的方程组来求解，这种方法又可称为基本量法。

例3．在等比数列{}n a 中，如果12344060a a a a +=+=，，那么78a a +=（ ） A ．135 B ．100 C ．95 D ．80

分析：以等比数列的首项1a 和公比q 为基本量列方程组求解，适当运用整体思想可使运算简化。

解：⎩⎨⎧=⇒=+=+23604023

121

11q q a q a q a a ，135)2

3

(40)1(361716187=⨯=+=+=+q q a q a q a a a

注：本题当然可以用等比数列的性质求解，但方程的思想才是这类题的通法。 三、化归与转化思想

数列有等差、等比两种基本类型，其它数列常常化归为等差或等比数列的问题来解决。 例4．已知数列｛n a ｝中，111

22

n n a n a a +=

-,点（,）

在直线y=x 上，其中n=1,2,3…. (Ⅰ)令{}11,n n n n b a a b +=--求证数列是等比数列；

(Ⅱ)求数列{}的通项；n a

(Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

为

等差数列？若存在，试求出λ.若不存在,则说明理由. ,4=n n 1n b a +∴=

（III ）存在2λ=，使数列{}n n S T n

+是等差数列.

(1231-=⨯-

12131(1)

313342(1).1222212

n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 数列{}n n S T n λ+是等差数列的充要条件是

,(n n

S T An B A n

λ+=+、B 是常数) 即2,n n S T An Bn λ+=+

又2

1

33333()2222n n n n n n S T λλ+-+=-+++-+2313(1)(1)222

n n n λ-=+--.

∴当且仅当102

λ-=，即2λ=时，数列{}n n S T n

λ+为等差数列.

注：函数迭代及数列递推是近年来高考数学综合题的热点问题，考查了函数的性质及函数方法在数列中的应用，体现了数列是特殊的函数的本质属性。另外，迭代和递推又经常可以实现一般数列向等差、等比数列的转化，深刻地考查了等价转化的数学思想。 四、分类讨论思想

等比数列的前n 项和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)

1(1)1()1(11

q q

q a q na S n

n 是分类给出的，应用时要注意对公比

q 是否为1进行讨论。另外，一般数列由n n a S ⇒的公式⎩⎨

⎧≥-==-)

2()1(11

n S S n S a n n n 也是分类

给出的，要注意对1=n 的情况进行讨论。

例：已知数列}{n a 是等差数列，且12,23211=++=a a a a （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）令)(R x x a b n

n n ∈=，求}{n b 的前n 项和公式。

分析：（1）用基本量法、方程的思想求解；（2）用错位相减法求和实现了从一般数列到等比数列的化归，但要对x 进行分类讨论，当0=x 时}{n

x 不是等比数列；当1=x 时单独求和。

注：有人将等差与等比数列对应项相乘所得的数列称为等差比数列，用错位相减法求和。这是课本上等比数列前n 项各公式推导的思路，这种题在近年的高考中频繁出现。

高考考纲指出了高考命题的能力立意，考查数学思想，倡导理性思维的指导思想。数学思想方法的学习可以使我们有意识、自觉地将数学知识转化为数学能力，最终通过自身的领悟转化为创造性能力。因此，加强数学思想方法的学习和领悟，是培养我们分析问题和解决问题的能力的重要方法，是提高高考成绩的捷径。