角平分线与等腰三角形
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三、作倍角的平分线→等腰三角形
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形。如图7中，若，作BD平分，则是等腰三角形。
图7
例4.如图8，在中，，BC＝2AC。求证：
图8
简析：由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对进行处理，即作CD平分交AB于D，过D作于E，则由，知，即是等腰三角形。而，所以。又BC＝2AC，所以AC＝EC。易证得，所以。
二、角平分线＋垂线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图5中，若AD平分，，则是等腰三角形。
图5
例3.如图6，在等腰中，AB＝AC，，BF平分，，交BF的延长线于D。求证：BF＝2CD
图6
简析：由BF平分，，延长BA、CD交于点E，于是是等腰三角形，并有ED＝CD，余下来的问题只需证明BF＝CE。事实上，由，，，得。而AB＝AC，所以，则BF＝CE，易知，故BF＝2CD。
图3
简析：猜想：AD＋CE＝DE。理由如下：由于OA、OC分别是的平分线，DE//AC，所以和均是等腰三角形，则DO＝AD，CE＝EO。故。
训练题：如图4，在中，AD平分，E、F分别在BD、AD上，且，求证：EF//AB
图4
（提示：由于这里要证明的是EF//AB，而AD平分，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了）
图1
例1.如图2，在中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作，交BA的延长线于点E，垂足为点F。求证：AE＝AP
图2
简析：要证AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分，此时。而，故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE＝AP。
例2.如图3，在中，、的平分线相交于点O，过点O作DE//AC，分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。
难舍难分的角平分线与等腰三角形
角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系。在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。下面归类说明。
一、角平分线＋平行线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1（1）中，若AD平分，AD//EC，则是等腰三角形；如图1（2）中，wenku.baidu.comAD平分，DE//AC，则是等腰三角形；如图1（3）中，若AD平分，CE//AB，则是等腰三角形；如图1（4）中，若AD平分，EF//AD，则是等腰三角形。
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形。如图7中，若，作BD平分，则是等腰三角形。
图7
例4.如图8，在中，，BC＝2AC。求证：
图8
简析：由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对进行处理，即作CD平分交AB于D，过D作于E，则由，知，即是等腰三角形。而，所以。又BC＝2AC，所以AC＝EC。易证得，所以。
二、角平分线＋垂线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图5中，若AD平分，，则是等腰三角形。
图5
例3.如图6，在等腰中，AB＝AC，，BF平分，，交BF的延长线于D。求证：BF＝2CD
图6
简析：由BF平分，，延长BA、CD交于点E，于是是等腰三角形，并有ED＝CD，余下来的问题只需证明BF＝CE。事实上，由，，，得。而AB＝AC，所以，则BF＝CE，易知，故BF＝2CD。
图3
简析：猜想：AD＋CE＝DE。理由如下：由于OA、OC分别是的平分线，DE//AC，所以和均是等腰三角形，则DO＝AD，CE＝EO。故。
训练题：如图4，在中，AD平分，E、F分别在BD、AD上，且，求证：EF//AB
图4
（提示：由于这里要证明的是EF//AB，而AD平分，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了）
图1
例1.如图2，在中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作，交BA的延长线于点E，垂足为点F。求证：AE＝AP
图2
简析：要证AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分，此时。而，故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE＝AP。
例2.如图3，在中，、的平分线相交于点O，过点O作DE//AC，分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。
难舍难分的角平分线与等腰三角形
角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系。在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。下面归类说明。
一、角平分线＋平行线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1（1）中，若AD平分，AD//EC，则是等腰三角形；如图1（2）中，wenku.baidu.comAD平分，DE//AC，则是等腰三角形；如图1（3）中，若AD平分，CE//AB，则是等腰三角形；如图1（4）中，若AD平分，EF//AD，则是等腰三角形。