向量的概念及表示(公开课)

“大小”和“方向”是向量的两个重要方面 大小” 大小 方向” ！
建构数学
几何表示 向量常用一条有向线段来表示 常用一条有向线段来表示. 向量常用一条有向线段来表示 Ｎ i : 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的长度表示向量的大小 长度表示向量的大小. f ii: 箭头所指的方向表示向量的方向 箭头所指的方向表示向量的方向 方向表示向量的方向.
必修 4
平面向量
蒋华中学 蒋新红
问题情境
• 如果要找一个物理量来刻画从家到学校 的位置变化，应该用哪个量？ 的位置变化，应该用哪个量？ • “位移”和“路程”这两个物理量一样 位移” 路程” 吗？
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一．向量的相关概念
１、向量的定义：既有大小又有方向的量。 向量的定义：既有大小又有方向的量。
共线向量： 平行向量也叫做共线向量。 共线向量： 平行向量也叫做共线向量。 相反向量 ： 长度相等 且方向相反的向量 叫做相反向量。 记作： 叫做相反向量。 记作： a −
思考： 思考：
1 零向量是没有方向的向量。 零向量是没有方向的向量。 2 若 | a | > | b | ，则 a > b 。 3若两个向量相等，则它们的起点和终点分 若两个向量相等， 若两个向量相等 别重合吗？ 别重合吗？ 4 向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、C、 是共线向量， 、 、 、 D四点必在一直线上吗？ 四点必在一直线上吗？ 四点必在一直线上吗 5 平行于同一个向量的两个向量平行吗？ 平行于同一个向量的两个向量平行吗？ 6 若四边形 若四边形ABCD是平行四边形，则有 是平行四边形， 是平行四边形 AB ＝ DC 吗?
学生活动
a
（1）如上图,设图中小正方形的边长为1，则| a |= 如上图,设图中小正方形的边长为1
。
（2）请在上图中画出与| a |相等的向量（要求所画向量的起 请在上图中画出与| |相等的向量（ 相等的向量 点和终点在方格的格点处，以下要求不变）。 点和终点在方格的格点处，以下要求不变）。 （3）请在上图中画出模为| a |的2倍的向量。 请在上图中画出模为| |的 倍的向量。 思考：观察上图中的向量，我们可将其分为模为 2 和 2 2 思考：观察上图中的向量， 两类；你能否将这些向量按照“ 进行分类？ 两类；你能否将这些向量按照“方向”进行分类？
向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的 长度(或称 模). 记作 | AB | .
思考： 思考： 与BA相同吗？AB 与 BA 相同吗？ AB
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零向量： 的向量， 零向量：长度为 0 的向量，记作
0.
单位向量： 个单位长度的向量， 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量，叫做 单位向量 . 这两个量仅从大小上刻画了向量． 这两个量仅从大小上刻画了向量． 思考: 思考 • 零向量有没有方向？ 零向量有没有方向？ • 单位向量唯一吗 单位向量唯一吗? • 平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向 平面直角坐标系内 所有起点在原点的单位向 它们终点的轨迹是什么图形? 量,它们终点的轨迹是什么图形 它们终点的轨迹是什么图形
Ｇ
2、向量的表示 、
字母表示 向量可以用有向线段的起点和终点字母表 向量可以用有向线段的起点和终点字母表 示, 如： AB 在印刷时, 在印刷时,常用粗黑体小写字母 a , b , c 来表示; 来表示; 手写时则可用带箭头的小写字 来表示. 母 a , b , c 来表示.
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3、向量的大小(模) 、向量的大小 模
课堂作业： 课堂作业：
P57
练习 习题
3 4
巩固练习
例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边 对角线的交点， 如图， 是正方形ABCD对角线的交点 OAED，OCFB都是正方形 在图中所示的向量中： 都是正方形， 形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
A B
（1）与 AO 相等的向量为 （2）与 AO 共线的向量为 共线的向量为 （3）与 AO 的模相等的向量为 （4）向量 AO 与 CO 是否相等？答 是否相等？
路程 只有大小没有方向 数量 标量
（只需用一个实数就可以表示的量） 只需用一个实数就可以表示的量） 位移 既有大小又有方向 矢量 向量
在质量、重力、速度、加速度、身高、 在质量、重力、速度、加速度、身高、 面积、体积中，哪些是数量，哪些是向量？ 面积、体积中，哪些是数量，哪些是向量？
Leabharlann Baidu生活动
• 判断下列说法是否正确 判断下列说法是否正确: • 由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可 由于零上温度可以用正数来表示, 以用负数来表示,所以温度是向量. 以用负数来表示,所以温度是向量. • 错误,因为温度没有方向. 错误,因为温度没有方向. • 坐标平面上的x轴和y轴是向量. 坐标平面上的x轴和y轴是向量. • 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小. 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小.
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三、向量的关系
平行向量： 方向相同 或相反 的非零向量 叫做平行向量。 记作： 叫做平行向量。 记作： a // b.
规定:零向量与任一向量平行 规定 零向量与任一向量平行. 零向量与任一向量平行
相等向量： 长度相等 且方向相同 的向量 相等向量：
记作： 叫做相等向量 。 记作： a = b.
向量的方向
平行向量 共线向量） （共线向量）
零向量
单位向量
课堂小结
向量及向量符号的由来
向量最初被应用于物理学， 向量最初被应用于物理学，被称为矢 很多物理量，如力、速度、位移、 量．很多物理量，如力、速度、位移、电 场强度、磁场强度等都是向量。 场强度、磁场强度等都是向量。 • 大约公元前３５０ ３５０年 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 向量一词来自力学、 量．向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段 向线段。 • 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿 学家牛顿。 大科学家牛顿。 •
AO
；
E O F D C
；
； ．
例2：在4 × 5的方格中有一个向量 AB,以图中 的格点为起点和终点作向量，其中与 AB相等的 向量有多少个？与 AB长度相等的共线向量有多 少个？ AB 除外 ） （
B
相等的有 7个 个
A
长度相等 的有15个 的有 个
课堂小结
向量
向量
向量的表示
向量的概念
向量的大小 （模）