均值不等式公开课课件
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2. 2.几何意义：半弦长小于等于半径 几何证明:
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项
②如何用a, b表示CD?
D
A a OC b B
E
ab CD=______
BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 DC AC
所以DC 2 BC AC ab
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. ab ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
证明：
ab 如何证明不等式： ab （a 0,b 0） 2
——比较法：
ab ab 2 2 2 1 a b 2 a b 2 2 1 a b 0 当且仅当a=b时取 2
“ =”
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. ab ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
问：那么它们有相等的情况吗？
D b G A H
a 2 b2
D
F
Ewenku.baidu.com
a a C A E(FGH) b C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 2 2
a b 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a 2 b 2≥2ab 的证明吗？
2 ( a b ) 证明：（作差法） a b 2ab
§3.4基本不等式:
ab ab 2
走 进 智 者 挑 战 自 我
2002年第24届国际数学家大会 在北京举行
走 进 智 者 挑 战 自 我
2002年第24届国际数学家大会 在北京举行
会标的设计源中国 古代数学家赵爽为了 证明发明于中国周代 的勾股定理而绘制的 弦图。它既标志着中 国古代的数学成就， 又象一只转动的风车， 欢迎来自世界各地的 数学精英们。
②如何用a, b表示CD?
D
A a OC b B
E
ab CD=______
≥ OD_____CD ＞
③OD与CD的大小关系怎样?
ab ≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
ab ab (a 0, b 0) 2
基本不等式
1. 1.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 代数证明:
2
2
当a b时
当a b时
2
( a b) 0
2
( a b) 2 0
所以(a b) ≥0
所以a b ≥2ab.
2 2
结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
a b ≥2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
2 2 ( a ) ( b ) ≥2 a b 替换后得到：
即： a b≥2 ab
ab 即： ≥ ab (a 0, b 0) 2
走 进 智 者 挑 战 自 我
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个 图案中找出一些不等 关系？
D
探究１：
1、正方形ABCD的
a b
2
2
b
G H
F E
a b 面积S=＿＿＿＿＿
2
2
C
２、四个直角三角形的 面积和S’ =＿＿ 2ab ３、S与S’有什么
A
a
样的不等关系？
B
S___>__S′
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项
②如何用a, b表示CD?
D
A a OC b B
E
ab CD=______
BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 DC AC
所以DC 2 BC AC ab
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. ab ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
证明：
ab 如何证明不等式： ab （a 0,b 0） 2
——比较法：
ab ab 2 2 2 1 a b 2 a b 2 2 1 a b 0 当且仅当a=b时取 2
“ =”
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. ab ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
问：那么它们有相等的情况吗？
D b G A H
a 2 b2
D
F
Ewenku.baidu.com
a a C A E(FGH) b C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 2 2
a b 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a 2 b 2≥2ab 的证明吗？
2 ( a b ) 证明：（作差法） a b 2ab
§3.4基本不等式:
ab ab 2
走 进 智 者 挑 战 自 我
2002年第24届国际数学家大会 在北京举行
走 进 智 者 挑 战 自 我
2002年第24届国际数学家大会 在北京举行
会标的设计源中国 古代数学家赵爽为了 证明发明于中国周代 的勾股定理而绘制的 弦图。它既标志着中 国古代的数学成就， 又象一只转动的风车， 欢迎来自世界各地的 数学精英们。
②如何用a, b表示CD?
D
A a OC b B
E
ab CD=______
≥ OD_____CD ＞
③OD与CD的大小关系怎样?
ab ≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
ab ab (a 0, b 0) 2
基本不等式
1. 1.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 代数证明:
2
2
当a b时
当a b时
2
( a b) 0
2
( a b) 2 0
所以(a b) ≥0
所以a b ≥2ab.
2 2
结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
a b ≥2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论？
2 2 ( a ) ( b ) ≥2 a b 替换后得到：
即： a b≥2 ab
ab 即： ≥ ab (a 0, b 0) 2
走 进 智 者 挑 战 自 我
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个 图案中找出一些不等 关系？
D
探究１：
1、正方形ABCD的
a b
2
2
b
G H
F E
a b 面积S=＿＿＿＿＿
2
2
C
２、四个直角三角形的 面积和S’ =＿＿ 2ab ３、S与S’有什么
A
a
样的不等关系？
B
S___>__S′