FreeKaoYan华东师大2009年数分考研试题及解答

华东师大2009年数学分析考研试题

一．判断下列各题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例.

1.设()lim x a

g x A →=，()lim y A f y B →=，此处,,a A B 均为实数，则()()lim x a

f g x B →=.

2.设()f x 为闭区间[],a b 上不恒为零的连续函数，()D x 为Dirichlet 函数，则

()()f x D x 在[],a b 上不可积.

3.存在实数0a ，n a ，n b ()1,2,n =L 使得()[][]

011,1,2cos sin 20,4,5n n n x a a nx n nx x ∞=⎧∈⎪++=⎨∈⎪⎩∑.

4.已知()f x 在2x =处连续，且()

2

lim

12

x f x x →=-，证明()f x 在2x =处可导. 5.如果()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 的一个邻域内连续.

6.若多项式函数列(){}n P x 在(),-∞+∞上一致收敛于函数()f x ，则()f x 必是多项式函数.

二．计算下列各题

1.设0a >，1a ≠，求极限()1

1lim 1x

x

x a a x →+∞⎛⎫

- ⎪ ⎪

-⎝⎭

. 2.设圆盘()()22

2x a y b R -++≤上的各点的密度等于该点到其圆心的距离，求此圆盘的质量.

3.设S 为3R 中封闭光滑曲面，l 为任何固定方向，n 为曲面S 的外法线方向，求

()cos ,S

n l dS ⎰⎰.

三．证明下列各题

1.设0P 是曲面222

222:1x y z S a b c

++=外一点，1P S ∈，若100max P S PP PP ∈=，求证直线10P P 是S 在点1P 处的法线.

2.设()3

22sin ,0,0,0y y x x f x y x y x ⎧⎪⎪

≠=⎨+⎪

=⎪⎩，证明(),f x y 在原点处沿任何方向的的方向导数存

在，但不可微.

3.设a b <，c d <均为实数，已知()f x 在(),a b 上单调，值域为(),c d ，证明()f x 在

(),a b 上一致连续.

4.设数列{}n a 满足条件：0n a >，()1,2,n =L 且24

lim 0n

n n n a a a →∞++=+，

证明数列{}n a 无界.

5.设()f x 在[)0,+∞上连续且有界，证明对任意正数T ，存在n x →+∞，使得

()()()lim 0n n n f x T f x →∞

+-=.

6.设函数()f x 在闭区间[],a b ()a b <上可积，()0b

a

f x dx =⎰，

证明 若对任意[],x a b ∈，有()0f x ≠，则存在[][],,c d a b ⊆，()c d <使得对任意

[],x c d ∈，均有()0f x >.

华东师大2009年数学分析考研试题解答

一．1.解 错误.

反例. 设(),,B y A

f y C y A ≠⎧=⎨=⎩，C B ≠，()

g x A ≡，显然()lim x a

g x A →=，()lim y A f y B →=，

但()()f g x C =，()()lim x a

f g x C B →=≠.

2.解 正确.

由()f x 在[],a b 上连续不恒为零，

可知，存在[][],,c d a b ⊆，使得()f x 在[],c d 上有()0f x M ≥>， 显然()()f x D x 在[],c d 上不可积， 从而()()f x D x 在[],a b 上不可积. 3.解 正确.

可选取到周期为2π的连续可微函数()f x ，且当[]1,2x ∈时，()1f x =；

[]4,5x ∈时，()0f x =，

取0a ，n a ，n b 为()f x 的Fourier 系数，

则有()()01

cos sin 2n n n a a nx n nx f x ∞

=++=∑，(),x ∈-∞+∞，

结论得证. 4.解 正确，

因为()()()

()2

2

2lim lim

202

x x f x f f x x x →→==-=-， ()()()

2

22lim

lim 12

2x x f x f f x x x →→-==--， 所以()f x 在2x =处可导. 5.解 错误.

反例 设()2,0x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数

，为有理数

，

显然()f x 在0x =处可导，但()f x 在0x ≠处不连续.

6、设实系数多项式序列{()}n f x 在R 上一致收敛于实值函数()f x ，证明：()f x 也是多项式。

证明 因为实系数多项式序列{()}n f x 在R 上一致收敛于实值函数()f x ， 所以对任意0ε>，存在*N N ∈，使得当,m n N >时，有()()n m f x f x ε-<，

又因为()()n m f x f x -也是多项式，若()()n m f x f x -不为常数，则当x 趋于无穷时，()()n m f x f x -也趋于无穷，矛盾。所以,()()n m n m f x f x a -=，其中,{}n m a 为一无穷小序列。 由上面结论及()n f x 是多项式，可知当n N >时，

()()n n f x P x b =+，

其中()P x 为某一固定的多项式，{}n b 为某一收敛数（因为,n m n m b b a -=为柯西列） 因为由已知条件

()()()()n n f x f x f x P x b -=--，