正定矩阵的应用

关于正定矩阵应用的综述

数学与应用数学专业 数学1201班 XXX 指导老师 XXX

摘 要：对正定矩阵的一些性质，给出了正定矩阵的几个应用，并对这些应用中结论的证明作了进一步的补充.

关键词：正定矩阵；可逆矩阵；正交矩阵；

1. 引言

矩阵的思想很早就已经有了，至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程组时的应用上.而经过近几年的发展，矩阵论已经是代数学中的一个重要分支了，而正定矩阵因其特有的性质及应用也受到了人们的广泛关注.

正定矩阵是一类重要的矩阵，在二次型和欧式空间等方面有着较为广泛的应用，研究它的性质对拓展欧式空间有着极其重要的意义. 由正定矩阵的一些基本性质 , 并且运用这些性质从而得出正定矩阵的新性质.

二次齐次多项式是一类重要的多项式，在实际工作和理论研究中占据重要地位.它在数学的许多分支以及物理学中会经常用到，尤其是对于实二次型中的正定二次型，更占有特殊的地位.我们把正定二次型的系数矩阵叫做正定矩阵.因此，对于正定矩阵的讨论在矩阵理论方面或实际应用方面都有着极其重要的意义.本文主要是从正定矩阵的一些性质出发，并结合已有的知识将正定阵的性质作了进一步扩充及应用.

2. 正定矩阵的应用

2.1. 矩阵正定在运算中的性质应用

定理1:若A 与B 都 是同阶正定矩阵,则矩阵AB 的特征根都大于零.

证明：AB 都是正定矩阵,故有非奇异矩阵P Q 、,使,T

T

A P P

B Q Q ==,于是,()()1

T

T

T

T

T

T

T T

A B P PQ Q Q QP PQ Q Q

PQ PQ Q -⋅===因为T

PQ

非奇异,故

()

()T

T PQ PQ 是正定阵,从而与它相似的矩阵AB 的特征值都是正数.

应注意的是,定理1中仅指A B ⋅的特征值是大于零的,而由于AB 不一定是对称阵,所

以不能得出AB 亦为正定阵的结论.另外,矩阵运算中的乘法运算不满足一般的交换律,而满足可换性的正定阵有非常好的性质定理:以下又给出两个具有可换性的矩阵性质定理,

首先对定理1改进有:

定理2：若,A B 是同阶正定矩阵,且A B B A ⋅=⋅,则A B ⋅也是正定阵. 特别地有相应推论：

推论1：设A 为n 阶对称阵,()12=,,

,n B diag b b b 其中12,,

n b b b 都大于零,若

=AB BA ,则AB 也是正定矩阵.

略证：由()12=,,

,n B diag b b b ，由于12,,

n b b b 都大于零，则B 是正定的对称阵,若

A B B A ⋅=⋅，则()T

T T AB B A BA AB ===,即A B ⋅是对称阵.由定理1可知,AB

的特征值都大于零,由性质知AB 是正定阵.

推论2：设A 与B 是正定对称矩阵，则A B ⋅是正定矩阵. 注意，对于推论2，若,A B 为未对称的情形，则不一定成立.

例题1设12=21A B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是正定矩阵，14=41A B ⎛⎫

⋅ ⎪⎝⎭

，

因为()0Det A B ⋅<,故A B ⋅不是正定矩阵.

定理3：设A 、B 都是n 阶是对称矩阵，A 是正定矩阵，则A B λ-的全部根就是1A B

-的全部特征根，也就是1

BA -的全部特征根.

证明：A 是正定矩阵，则0A ≠，所以，1I A B λ--与1A

I A B I B λλ--=-

的根完全一致，即1A B -的全部特征根就是A B λ-的全部根.

同理可证，1

BA -的全部特征根就是

A B λ-的全部根.

定理4：若A 、B 都是正定矩阵，则多项式()f A B λλ=-的根都是正数，且A B λ-

的根都是1.当且仅当A B =.

证明：A 、B 都是正定矩阵，故有非奇异矩阵P ，使T

P AP I =,所以，T

P BP 也是正定矩阵.而()T

T T T P A B P P AP P BP I P BP λλλ-=-=-,所以，0A B λ-=,当且仅

当，

0T I P BP λ-=,即A B λ-的根与T I P BP λ-的根一致.但T P BP 正定，推出它的

特征根都是正数.因此

A B λ-的根全部都是正数.

A B λ-的根全是1分当且仅当T P BP 的特征根全是1，

其充分必要条件是有正交矩阵Q 使得()1T T Q P BP Q =,即=T T P AP I P AP =,因为P 非奇异，所以=T T

P BP P AP ,当且

仅当A B =.

定理5：设A 、B 都是实对称矩阵，A 的特征值全大于a ，B 的特征值全大于b .若

0a b +≥，则+A B 是正定矩阵.

证明：由所给条件知，+A B 是实对称矩阵，且我们知道,A aE B bE --都是正定矩阵.设λ是+A B 的任一特征值，则

()()()()E A B a b E A aE B bE λλ-+=-+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

这表明()a b λ-+是()()A aE B bE -+-的特征值.又可知()()A aE B bE -+- 正定，故()0a b λ-+>，所以()0a b λ>+≥，即+A B 的特征值全大于0，从而+A B 为正定矩阵.证毕.

例题2 24=1415A B -⎛⎫

⎛⎫

⎪

⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

,A 的特征根全大于3-,B 特征根全

大于3，3+3=0-，有定理5可知，+A B 是正定矩阵. 2.2. 矩阵正定与柯西不等式的关系

如果有一个正定的矩阵,我们通常可以设计出一个柯西不等式.进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系.

柯西不等式与正定矩阵之间有什么关系呢? 设()

=ij

A a 是一个n 阶正定矩阵,则对任何向量

()12,,,n x x x α=与

()12=,,n y y y β，定义

(),1

=ij i j i j a x y αβ=∑，

则可以证明由该定义的一定是n 维向量间的内积.反之,对于n 维向量间的任意一种内积,一定存在一个n 阶正定矩阵()

=ij A a ,使得对任何向量α和β,()αβ，可如上定义.因此,给定了一个n 阶正定矩阵,在n 维向量间就可由该矩阵定义一个内积, 从而可得到相应的柯西不等式：

,1

n

ij i

j

i j a x y

=≤

∑

例题3：证明不等式

(

)11223312233131

2x y x y x y x y x y x y x y ++----≤

对所有实数123,,x x x 和123,y ,y y 均成立. 证明:从不等式来看，可知它相当于

()A B αβ≤⋅，,其中(),αβ是由矩阵

210121012A -⎛⎫ ⎪

=-- ⎪ ⎪-⎝⎭

所定义的，但要证明(),αβ是内积还需证明A 是个正定矩阵.经验证

该矩阵为正定矩阵.从而可看出该不等式就是由A 所确定的内积所产生的柯西不等式，因此