随机前沿生产函数讲义

计”就是最大似然估计：
f (ui )
2
2 u
exp(
ui2
2
2 u
),
L
N i 1
f (ui ),
ln
L

C

1
2
2 u
N
ui2 ,
i 1
N
max Liff min ui2
i 1
•
其中C代表常数
上述“解释”给予目标规划方法一个清晰的统计基
础，但这些计算的参数 仍然像估计的参数那样
（4）
i 1, 2,L , N
参数 也可以由下列二次规划问题计算得出：
N
N
min ui2 min (xi Lnyi )2 （5）
i 1
i 1
st ui xi Lnyi 0
i 1, 2,L , N
上述目标规划的主要缺点是其参数是计算的而不是
u 估计的，无统计解释。如果假设 服从指数分布， i
假设：
（1）
vi

N
(0,

2 v
)
（2） ui iid 指数分布
（3） vi 和 ui的密度函数以及u和v的联合密
度函数、u 和 v u的联合密度函数分别是：
1
u
f (u) exp( ),
u
u
f (v)
1
2 v
exp(
v2
2
2 v
),
f (u, v)
2
直接采用线性规划方法计算前沿面, 确定性前 沿生产函数把影响最优产出和平均产出的全部误差 统归入单侧的一个误差项ε中, 并将其称为生产非 效率; 随机前沿生产函数( Stochastic Frontier ProductionFunction)在确定性生产函数的基础上提 出了具有复合扰动项的随机边界模型。其主要思想 为随机扰动项ε应由v 和u 组成, 其中v 是随机误差 项, 是企业不能控制的影响因素, 具有随机性, 用以 计算系统非效率; u是技术损失误差项, 是企业可以 控制的影响因素, 可用来计算技术非效率。很明显, 参数型随机前沿生产函数体现了样本的统计特性,
2 u
2
2 u
f (v)
1
2 v
exp(
v2
2
2 v
)
2
u2 v2
f
(u, v)

2 u v
exp(
2
2 u

2
2 v
)
f
(u, )

2
2 u v
exp(
u2
2
2 u

( u)2
2
2 v
)

f ( ) f (u, )du 0
2
2
沿是所有数据的上界：
ˆ0* ˆ0 maxi uˆi,
uˆi* uˆi maxuˆi ‘
TEi exp(uˆi*)
COLS估计的生产前沿平行于OLS回归（以自 然对数形式），意味着最好的生产技术的结构与 中心（平均）趋势的生产结构一致，这是COLS的 缺陷，应当允许处于生产前沿上的有效率的公司 的生产结构不同于位于平均位置的公司的生产结 构。
由下述方程得出。
1.目标规N 划方法 N
min ui min (xi Lnyi )
i1
i1
（3）
• •
st
ui xi Lnyi 0
• i 1, 2,L , N
•
它等价于：
N
N
min (xi ) min( xi )
i 1
i 1
st xi Lnyi
假设生产函数取C-D形式：
Lnyi 0 n n ln Xni vi ui i 1, 2,L .I （2）
在上述v和u的假设下，可以使用最大似然法
（ML）或调整最小二乘法（MOLS）估计参数
和误差项 vi ui ，进而得到技术效率
TEi exp(ui ) ，如下所述。
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(

)
exp(
2 2 2
)
(.) 是标准正态分布函数


(
2 u


2 v
)
1
2
,
u v ,（3）
于是可给出参数 、 、 的ML估
计，从而得到 u 、 v 以及技术效率的估计：
I
TEi E(exp(ui )) : L F (i )
采用C-D形式：
Ln( yi ) x ui, i 1, 2,L , N （1）
(1)式中Ln( yi ) 是产出的自然对数； xi
是K+1维行向量，其中一个元素是1，其余K个
元素K种投入数量的自然对数. (0, 1,L , K )
是待估计的K+1维列向量； ui 是非负的随机
则线性规划“估计”就是最大似然估计：
f
(ui )

1
u
exp( ui
u
),
N
L
N i 1
f
(ui )

1 (
u
)N
exp(
ui
i 1
u
),
ln
L

N
ln u

1
u
N
ui ,
i 1
N
max Liff min u i i 1
•
如果假设 ui服从正态分布，则二次规划“估
三、随机前沿生产函数
由于确定性前沿生产函数没有考虑到产活动中 存在的随机现象，Aigner，ovell，Schmidt(ALS) 和Meeusen,van den Broeck (MB)同时于1977年 引进了随机前沿生产函数
Y f ( X ) exp(v u) （1）
其中v代表影响生产活动的随机因素，一般假 设它是独立同分布（i.i.d)的正态随机变量，具有 0均值和不变方差； f (X ) exp(v) 代表随机前沿生 产函数；u(非负)代表着生产效率或管理效率， 一般假设它是独立同分布的半正态随机变量或指 数随机变量独立于 v0。
随机前沿生产函数
一、引言
• 生产率和效率的度量涉及到生产函数。DEA方 法的特点是将有效的生产单位连接起来，用分段 超平面的组合也就是生产前沿面来紧紧包络全部 观测点，是一种确定性前沿方法，没有考虑随机 因素对生产率和效率的影响。随机前沿生产函数 则解决了这个问题。
前沿生产函数(Frontier Prodution Function)反映了在 具体的技术条件和给定生产要素的组合下, 企业各投入组 合与最大产出量之间的函数关系。通过比较各企业实际产 出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业的综合效 率。
2u v
exp( u
u

v2
2
2 v
),
f (u, )
2
( u)2
exp(
2 u v
u
2
2 v
),
f ( )
0
f
(u, )du

1
u
( u
v v

) exp(
u


2 v
2
2 u
),
(5)
于是可给出参数 、 u 、 v的ML估计以及
, (6)
3.正态——半正态模型的矩估计（MOLS）
此时的假设与正态——半正态模型的ML估计
的假设一样，模型是：
lnYi 0 E(ui ) n n ln Xni vi ui E(ui )（7）
但非参数方法存在的最大局限是: 该方法主要 运用线性规划方法进行计算, 而不像参数方法有统 计检验数作为样本拟合度和统计性质的参考; 另外, 非参数方法对观测数有一定的限制, 有时不得不舍 弃一些样本值, 这样就影响了观测结果的稳定性。 因此, 我们在这里选择参数方法进行前沿生产函数 的计算。
在参数型前沿生产函数的研究中, 围绕误差项的 确立, 又分为随机性和确定性两种方法。首先, 确 定性前沿生产函数不考虑随机因素的影响, 直接
确定性前沿生产函数模型如下：
Y f ( X ) exp(u)
其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和之间， 反映了生产函数的非效率程度，也就是实际产出与 最大产出的距离。在确定了生产函数的具体形式后 可以计算或估计其参数，如下所述。
假如N个公司，每个公司使用K种投入组成的
投入向量 xi 来生产出单一产出 yi ，生产函数
1.正态——半正态模型的ML估计
假设：
（1）
vi

iidN
(0,

2 v
)
（2）
ui

iidN

(0,

2 u
)
（3） vi 和
量相互独立。
u
的分布相互独立，且与解释变
i
u ,v的密度函数以及u 和v的联合密度函数，
u和 v u 的联合密度函数分别是:
2
u2
f (u)
exp( )
有标准差。 2.修正最小二乘法（COLS） 它分为两步： 第一步，先用OLS估计（1）式：
Ln( yi ) x ui, i 1, 2,L , N
得到 一致和无偏的 斜率参数 1,L k ，以及一致和有偏
的截面参数 0 。
第二步，有偏的截距参数 被向上修正以保证估计的前 0
个 理想的状态, 现实中企业很难达到这一状态。
前沿生产函数的研究方法有: 参数方法和非参方法。两 者都可以用来测量效率水平。参数方法沿袭了传统生产函 数的估计思想, 主要运用最小二乘法或极大似然估计法进 行计算。参数方法首先确定或自行构造一个具体的函数形 式, 然后基于该函数形式对函数中各参数进行计算; 而非参 数方法首先根据投入和产出, 构造出一个包含所有生产方 式的最小生产可能性集合, 其中非参数方法的有效性是 指以一定的投入生产出最大产出, 或以最小的投入生产出 一定的产出。这里所说的非参数方法是结合DEA(Data 数 据包络分析) 来进计算的。
二、确定性前沿生产函数
测算全要素生产率的传统方法是索洛余 值法(SRA) ,其关键是假定所有生产者都能实 现最优的生产效率,从而将产出增长中要素投 入贡献以外的部分全部归结为技术进步 ( technologicalprogress) 的结果,这部分索洛 剩余后来被称为全要素生产率(李京文等 1998) 。然而,SRA 法的理论假设不完全符合 现实,因为现实经济中大部分生产者不能达到
1


(

* *
)

,
*



2 u
2,

2 *


u2
2 v
2,
TEi E(expui | i )

1
1


(* *i * (*i *)
)

exp
*i

1 2

2 *
,
2.正态——指数模型的ML估计
投入—产出关系的技术边界(Farrell ,1957) 。基于这一思 想,Aigner 和Chu (1968) 提出了前沿生产函数模型,将生产 者效率分解为技术前(technological frontier) 和技术效 (technical efficiency) 两个部分,前者刻画所有生产者投 入—产出函数的边界(frontier of the production function) ; 后者描述个别生产者实际技术与技术前沿的差距。
变量，用来度量技术的有效性：
TEi yi exp(xi ) exp(xi ui ) exp(xi ) exp(ui)
（2）
TEi 是一种产出导向的效率度量，其值介于0和1 之间，它是观察到的产出 yi 与使用同样投入并
且由技术有效的公司生产的 exp(xi ) 之比，参
数
传统的生产函数只反映样本各投入因素与平均产出之 间的关系, 称之为平均生产函数。但是1957 年, Farrell 在 研究生产有效性问题时开创性地提出了前沿生产函数 (Frontier Prodution Function)的概念。对既定的投入因素 进行最佳组合, 计算所能达到的最优产出, 类似于经济学中 所说的“帕累托最优”, 我们称之为前沿面。前沿面是一
技术效率的估计：
I
TEi E(exp(ui )) : L F (i )
i 1
ln
L

I
ln

I
(

2 v
2
2 u
)

I i1
ln(Ai )

1
u
I
i,
i1
ML , u , v ,
f (u | ) f (u, ) f ( )

1
2 v(

v
)
exp

(u 2 2
)2

,
Ai i
v
i

i

(
2 v
u ),
TEi E(expui | i )

1

1
(* *i * ( *i * )
)

exp

*i

1 2

2 *
i 1
ln L
I ln 2
2
I ln

I i 1
ln

(
i
)

1
2
2
I

2 i
i 1
ML , , u , v ,
f (u | ) f (u, ) f ( )

1
2
*
exp

(u
*)2
2
2 *