抛物线 的定义课件

例题讲解
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求准解它线：方的因程焦为为点xｐ=坐-＝标－32 ３.和，准故线焦方点程坐；标为（－32,０） （2）已知抛物线的方程是y = －6x2,求它的焦
点坐标和准线方程；
解:方程可化为: x2 1 y, 故焦点坐标
为
(0,
1) 24
6
,准线方程为
如何建系的?
三. 四种抛物线及其它们的标准方程 课堂新授
y
图
OF
x
形
l
y
y
FO x
F
O
l
l
y l
O
x
F
x
焦点位置 x轴的
x轴的
y轴的
y轴的
正半轴上 负半轴上 正半轴上 负半轴上
标准方程 y2=2px y2=-2px
x2=2py x2=-2py
焦点坐标 准线方程
p F ( ,0)
2
x=- p 2
F(- p ,0 ) 2 p
Ko F
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
方程y2 = 2px（p＞0）表示抛物线的焦点
在 X轴的正半轴上
焦点：F（
p 2
，0），准线L：x = -
p 2
课堂新授
一条抛物线，由于它在坐标平面 内的位置不同，方程也不同，所以抛 物线的标准方程还有其它形式.
抛物线的标准方程还有 几种不同的形式?它们是
少了运算量，提高了解题效率.
例题讲解
例6. 求证: 以抛物线的焦点弦为直径的圆 与 抛物线的准线相切.
y l
A1
A
F
O
M1
M
X
B1
B
例题讲解
例7. 在抛物线y2 = 2x上求一点P, 使P到焦点F与
到点A ( 3,2 )的距离之和最小.
ly
A
Q
P
OF
X
课堂练习4
1.直线与抛物线只有一个公共点是它们相切的（ B）
y
1 24
.
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求
它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准 方程为:x 2= - 8y
课堂练习1
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
（2）准线方程 是 x
=
1 4
பைடு நூலகம்
；
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2．过原点的直线l与双曲线 x2 y2 1 43
交于两点，则l的斜率的取值范围是__(___2_3_,_2_3_)_.
3．过抛物线y2=2px的焦点F的诸弦中，最短的 弦长是 2p 。
4.过点(0,2)与抛物线 y 2 8 x 只有一个公共点的
设A(x1,y1),B(x2,y2)得：
x1+x2=6 , x1x2=1
将x1+x2,x1x2的值分别代入弦长公式
|A| B (x 1 x 2 )2 4 x 1 x 21 k2
364 28
例题讲解
分析2：直线恰好过焦点，可与抛物线定义发生
联系，利用抛物线定义将AB转化成A、B间的焦点弦
（两个焦半径的和），从而达到求解目的.
M (x , y)
F (4 ,0 ) x
课堂练习3
例4、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
p
X0
+
— 2
————————————
． y M
抛物线 y2 2px (p.0) 上任意一点P
(x0, y0) 到焦点的
．
OF
x
距离（称为焦半径）
等于
|
x0
y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
课堂练习1
2、已知抛物线的标准方程是(1)y2 =12x、(2)y＝ 12x2 求它们的焦点坐标和准线方程；
解（：1）p＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是 x＝－3．
（2）先化为标准方程x2 1 y ，p 1 ，
12
24
1
解法二：在图8—22中，由抛物线的定义可知，
|AF|=
A A ,而 |A A |x12 px11.
同理 BF BBx21,
于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2＋2.
由方程x2－6x＋1=0，根据根与
系数关系可以得 x1+x2=6
于是
|AB|=6+2=8
说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减
焦点坐标是（0，48 ），
1
准线方程是y＝－ 48 .
例题讲解
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
． 解：当抛物线的焦点在y轴
y
的正半轴上时，把A（-3，2） A
代入x2 =2py，得p= 9 4
当焦点在x轴的负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
O
x
2
得p=
∴抛物3线的标准方程为x2
课堂新授
一、定义
定点F与定直线l的 位置关系是怎样的？
平面内与一个定点F和一条定直线l
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 N
定点F叫做抛物线的焦点。
M· ·F
定直线l 叫做抛物线的准线。
即: 若︳︳M MNF︳︳1,则点M的轨迹是抛物线
课堂新授
二、标准方程的推导
l
步骤：
（1）建系 （2）设点
· N M ·F
x轴，线段KF的中垂线 为y轴
设︱KF︱= p
p 则F（ 2
，0），l：x = -
p 2
设点M的坐标为（x，y），
· N M ·x
Ko F
由定义可知，
(xp)2y2xp
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
课堂新授
2、抛物线的标准方程
ly
方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程
· N M ·x
ly
A
O
F
X
B
例题讲解
分析1：直线与抛物线相交问题，可联立方程组求交点 坐标，由距离公式求；或不求交点，直接用弦长公式求。
解法一：如图8—22，由抛物线的标准方程可知，抛 物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为
y=x－1.
①
将方程①代入抛物线方程y2=4x,得
（x－1）2=4x 化简得x2－6x＋1=0 .
（3）列式
（4）化简
（5）证明
1.求曲线方程的
想 一
基本步骤是怎样 的？
想
？
课堂新授
y
o
y=ax2 y=ax2+c
l
· N M ·F
y=ax2+bx+c
x
思考： 抛物
线是一个怎样 的对称图形？
回忆一下，看看上面的方程哪一种简单， 为什么会简单？启发我们怎样建立坐标系？
1、标准方程的推导
课堂新授
取过焦点F且垂直于准线l的直线为 l y
=
9
y或y2 = 4 x 。
2
3
课堂练习2
已知抛物线经过点P(4,－2)，求抛物线的
标准方程。
提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线 的标准方程为y2=2px或x2=-2py
解 ：点P(4,2)位于第四象限，设 方所 程求 为
y2 2p1x或x2 2p2y，将x4, y2代入，
可得p1
1, 2
x= 2
p F (0, )
2
y=- p
2
F(0,
-
p )
2
p y=
2
课堂新授
想一想:
1、椭圆，双曲线，抛物线各有几条
准线？
2。 根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形、焦点坐标、准线
方程的应关系，如何判断抛物线的焦点 位置，开口方向？
课堂新授
如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？
第一：一次项的变量如为X （或Y） 则X轴（或Y轴）为抛 物线的对称轴，焦点就在对称轴 上。
直线有
( C)
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数多条
课堂新授
小结：
本节主要学习内容
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的 对应关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它的焦点、 准线方程
3、求标准方程常用方法：
（1）用定义 ； （2）用待定系数法。
4、直线与抛物线的位置关系，注意焦半径、焦 点弦的应用，到焦点和到准线的线段的转化。
p2
4,
所求为 y2 x或x2 8y
例题讲解
例3、点M与点F（4，0）的距离比它到直线
l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．
y
分析：如 图 可 知 原 条 件 等
价于M点到F（4，0）和到 x＝－4距离相等，由抛物 线的定义，点M的轨迹是 -5 -4 以F（4，0）为焦点，x＝ －4为准线的抛物线．因为 p/2=4,所以p=8,所求方程是 y2＝16x．
第二：一次的系数的正负决 定了开口方向
课堂新授
3、我们以前学习的抛物线和现在学习的 抛物线的标准方程有什么联系？ 二次函数 y ax2 bxc的图象都是抛物线 其中的一部y 分 a x2是（或可化为）抛物 的标准方x程 2 2py。
标准方程y中 2 的 2px是我们以前没学 抛物线，但它 x的不 二是 次函数。