第7章、粘弹性分析

理想弹性体：σ＝E·ε
σ E·ε
应变恒定，故应力恒定
t
理想粘性体 d
dt
σ 应变恒定，应变速率为0， 故应力为0
t
聚合物：粘弹体
由于交联聚合物分子链的质心不 能位移，应力只能松驰到平衡值
0 交联聚合物 线形聚合物 t
7.2.2. 线性粘弹性模型
线性粘弹性：可由服从虎克定律的线性弹性行 为和服从牛顿定律的线性粘性行为的组合来描 述的粘弹性。
弹性
粘性
(1) 储能：能量储为应变能 (2)可逆：记忆形状， (3)瞬时：不依赖时间 E＝E（σ, ε, T）
虎克固体
(1) 耗能：能量耗为热能 (2)不可逆：无形状记忆 (3)依时：应变随时间发展 E＝E（σ, ε ,T, t）
牛顿流体
聚合物是典型的粘弹体 熵弹性
聚合物是典型的粘弹体 粘性：分子链滑移，应力松弛
7.2.2.1 Maxwell 模型
7.2.2.1 Maxwell 模型
Maxwell 模型: 可模拟线形聚合物的应力松驰行为。
7.2.2.1 Maxwell 模型
理论分析：
E
∵两元件串联
η
∴σ = σE = σV
ε = εE + εV
F
σE＝E·εE
σV＝η·ddεt V
dε 1 dσ σ dt = E ·dt +η
E η
F
7.2.2.2 Kelvin模型
7.2.2.2 Kelvin模型
Kelvin模型: 可模拟交联聚合物的蠕变过程
理论分析：
7.2.2.2 Kelvin模型
∵两元件并联 ∴σ σ=E σ+V
ε =εE εV=
σE=E·εE
σV＝η·
dεV dt
E d
dt
－Kelvin模型的运动方程
E d
模型是唯象的处理
模型由代表理想弹性体的弹簧与代表理想粘性 体的粘壶以不同方式组合而成
E
σ＝E·ε
弹簧 理想弹性体
dε σ＝η· dt
粘壶 理想粘性体
7.2.2 线性粘弹性模型
7.2.2.1 Maxwell 模型 一个弹簧与一个粘壶串联组成
E η
F t=0
t=∞
7.2.2.1 Maxwell 模型
dt
ε 应力恒定，故应变速率为常数， 应变以恒定速率增加
σ/η t
聚合物：粘弹体
ε ③
②
①
①理想弹性，即瞬时响应： 由键长、键角提供
②推迟弹性形变，即滞弹部分： 链段运动
t ③粘性流动：整链滑移
线形聚合物 ε
交联聚合物 ε
t
t
（2）应力松弛： 在一定的温度和恒定应变的作用下，观察试样的 应力随时间增加而衰减的现象。
τ=
η E
7.2.2.1 Maxwell 模型
σ(t)=σ(0)·e-t/τ E(t)=E(0)·e-t/τ
σ(t) σ(0)
Maxwell模型的应力松弛方 程
模拟线形聚合物的应力松驰行为。
t
7.2.2.1 Maxwell 模型
τ？
η
Pa·s
τ=
= =s
E
Pa
当t＝τ时，σ(τ)＝σ(0)·e-1＝0.368σ(0)
d
dt
应力与应变速率成正比，即应力只取决于应变速率
d dt
ε
σ/η
t0
t
d
dt
牛顿流体定律的
dt dt y y dt
应变速率为速度梯度 x
∴粘度η等于单位速度梯度时的剪切应力，反映了分 子间由于相互作用而产生的流动阻力，即内摩擦力 的大小，单位为Pa·S
拉伸 应力松弛
聚合物的应力松弛：
t
7.2 静态粘弹性
受恒定应力或应变的作用 E＝E（σ, ε ,T, t）
7.2.1 静态粘弹性现象
（1）蠕变： 在一定的温度和恒定应力的作用下，观察试样的 应变随时间增加而增大的现象。
理想弹性体：σ＝E·ε
ε σ/E
应力恒定，故应变恒定
t
理想粘性体 d
第七章、粘弹性
7.1 基本概念
粘弹性
弹性+粘性
弹性：外力 →形变 →应力 →储存能量
外力撤除 →能量释放 →形变恢复
粘性：外力 →形变 →应力 →应力松弛→能量耗散
外力撤除 →永久形变
理想弹性：服从虎克定律 σ＝E·ε
应力与应变成正比，即应力只取决于应变。
ε σ/E
t0
t
t
理想粘性：服从牛顿流体定律
7.2.2.1 Maxwell 模型
由一个弹簧与一个粘壶串联组成
可模拟线形聚合物的应力松弛行为
运动方程： dε
dt
1 dσ = E · d+t
σ η
应力松弛方程： σ(t)=σ(0)·e-t/τ
E(t)=E(0)·e-t/τ
η
τ=
E
7.2.2.2 Kelvin模型
7.2.2.2 Kelvin模型 一个弹簧与一个粘壶并联组成
J (t) J (1 et / )
Kelvin模型的应力松弛方程
0
E
模拟交联聚合物的蠕变行为。
t
当t＝τ时，ε(t)＝ε(∞)（1-e-1）＝0.632ε(∞)
τ的物理意义为蠕变过程完成0.632所需时间。 为有别于Maxwell模型，此处的又称为推迟时间。
dt
蠕变过程： 应力恒定=0
两边通除E： 0 d d
E
E dt
dt
0
E
为Kelvin模型可发生的最大应变，定义
() 0
E
( ) d
dt
d 1 ( ( ) ) dt
d 1 ( ( ) ) dt
d dt ( ( ))
两边积分： ( t ) ( )( 1 et / )
stress removed (t)
0/
0
t
7.2.2.1 Maxwell 模型
dε 1 dσ σ dt = E · d+t η
应力松弛： ε＝常数，即
dε dt
= 0
1 dσ σ 0= E d+t η
dσ E σ = - η ·dt
t＝0时，σ(t)＝σ(0) t＝t时，σ(t)
σ(t)=σ(0)·e-t/τ
松驰时间τ的宏观意义为应力降低到起始应力σ(0)的e-1倍
（0.368倍）时所需的时间
σ(t)
σ(0)
τ
t
松驰时间τ是松驰过程完成 63%.2时所需的时间
7.2.2.1 Maxwell 模型
τ的物理意义： 表征松弛过程进行的快慢。 τ越大，表示材料的松弛过程进行的
越慢，材料越接近理想弹性体
Maxwell模型小结：
－Maxwell模型的运动方程
7.2.2.1 Maxwell 模型
dε 1 dσ σ dt = E · d+t η
蠕变：σ＝常数，即
dσ
dt
= 0
dε 1 dσ σ σ
dt = E · d+t =η
η
dε σ= η· dt
牛顿流体方程
Maxwell模拟的是理想粘性的体蠕变行为。
(Mt)axw0 ell模0t型 的0蠕G变1 ：t