第八章平面连杆机构弹性动力分析的KED方法

KED方法将运动弹性体的动力学分析分解成互相独立的刚体运 动分析和结构的微幅振动分析两部分，使得分析过程和方程求解都 大大简化，在速度不高、构件柔性不大的情况下，KED方法不失为 最适合工程应用的运动弹性动力学分析方法。
KED方法的基本假定： •构件弹性变形相对刚体名义运动而言很小 •弹性变形不影响刚体名义运动 •真实运动=刚体名义运动+弹性变形 •引入瞬时结构假定
式中
(8-13)
m
K
F
——质量矩阵 —— 刚度矩阵
m ρNT NdV
V
K B T DB dV
V
—— 广义主动力向量。
r 是单元结点 式(8-13)中各项的物理意义是显而易见的，u 名义刚体运动加速度向量，通过多刚体动力学方法可以求 r 得 u 是名义刚体运动产生的惯性力； 为变形 m u r ， mu r u 运动产生的惯性力。显然，去掉 m 项该式就变为普通的 结构振动方程。因此，传统KED方法可以理解为：先对系 统进行多刚体系统动力学分析，得到系统刚体运动的加速 度，然后计算一系列瞬间因刚体运动而产生的惯性力，将 刚体运动惯性力作为外力加到对应瞬间的假想结构上，进 行结构动力学分析。因此，对于每一瞬间，式(8-13)就变 成普通的结构振动方程。由此，就可以采用常规的结构有 限元分析方法对其进行组装，形成系统方程，然后，采用 结构动力学的常规方法对其求解。
在Oxy坐标系中结点绝对运动位移
ua
就可以表示为:
ua ur u
(8-1)
同理，可以将单元任意点处的位 移 和变形运动位移v的叠加。
va vr v
va
表示为刚体运动位移 r
v
(8-2)
对式(8-2)求时间导数，同时忽略刚体运动和变形运动的耦合，即 可得到单元任意点的绝对速度等于该点刚体运动速度和变形运动速 度之和，绝对加速度等于刚体运动加速度和变形运动加速度之和， 即
第八章 平面连杆机构弹性动力 分析的KED方法
“运动弹性动力学分析”(Kineto-Elastodynamic Analysis)，即KED方法在分析系统的真实运动 时，采用如下假定： 1)与采用刚性系统运动分析方法得到的系统名义 运动位移相比，变形引起的弹性位移很小； 2)这种弹性位移不会影响系统的名义运动。
同时，将系统的整个运动划分成一个个小的时间单元， 得到一个个离散的位置，在每个离散位置上将系统“冻 结”起来，视为一个特定的结构。因此，系统的真实运 动可以看作是名义刚体运动和瞬时结构弹性变形的叠加， 系统动力学分析也就被分解为多刚体动力学分析和结构 动力学分析两个步骤分别进行，使问题得以简化。作为 一种近似方法，KED方法目前在国内外机械工程领域 仍被广泛应用。
a v r v v a v r v v
(8-3) (8-4)
பைடு நூலகம்
根据有限元插值理论v=Nu，同时 v Nu 由于有限元插值函数包含线性情况，刚体运动可以采用相同的插值 r Nu r 函数，即 v 同时 r Nu r v 则，式(8-3)、(8-4)可以表示为
KED分析过程：
•先忽略弹性变形，进行刚体动力学分析，求出系统运动参数（位 移、速度、加速度）
•在微小时段内，将机构瞬时冻结为结构，并将惯性力作为外载荷 加到结构上进行振动分析 •将刚体运动与弹性运动叠加为整体运动 •换到另一时间步长 t ，重复1-3
8．1运动学描述
图8-1所示， OXY为固定坐标系，oxy 为固结于名义刚体的随动坐标系，
Oxy为某一瞬间与随动坐标系
oxy 平行的静坐标系。在Oxy坐标系中，
ur x A
yA
xB
yB
T u6
T
为结点刚体运动位移向量，
u u1
u2 u3 u4 u5
为结点变形运动位移向量，这样，
V
式中
F Fr ——广义主动力；
B——应变矩阵； D——弹性矩阵。 将式(8-9)、(8-10)、(8-11)代入式(8-7)，并整理得
a dV BT DBu dV ) 0 uT ( F N T v
V V
(8-12)
由此可以建立单元的运动方程：
Ku F mu r mu
wa wi wt 0
式中
(8-7)
wa
wi
wt
由式（8-5）可得
——主动力虚功； ——内力虚功； ——惯性力虚功。
va N ur N u
(8-8)
，则柔性单元中任意微元的惯性力为 如果柔性体的密度为 、 v
因此，主动力虚功 wa 、内力虚功 wi 、惯性力虚功 wt 分别为
T wa Fa δva δur Fr δuT F
a
dV
(8-9)
wi ε σdV uT BT DBudV
V V
V V
(8-10) (8-11)
wt va dV δva urT N T va dV uT N T va dV
a Nu r Nu Nu a v
(8-6)
(8-5)
a Nu r Nu Nu a v
8．2 动力学方程的建立
由d’Alembert虚位移原理(动力学普遍方程)可知：具有理想约束 的运动质点系在任何瞬时，作用于系统的主动力和惯性力在任意虚 位移上所做的虚功之和等于零。对于柔性体，有下式成立：