2.因式分解教案

第二讲 因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法等等．

一、公式法(立方和、立方差公式)

3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】因式分解：

(1) 3

8x +

(2) 3

0.12527b -

解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+. (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+

2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++.

说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．

【例2】因式分解：

(1) 3

4

381a b b -

(2) 76

a a

b -

解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 7

6

6

6

3

3

3

3

()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-

22222

2

2

2

()()()()()()()().

a a

b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+

766622422422222222222()()()

()[()]

()()()().

a a

b a a b a a b a a b b a a b a b a b a a b a b a ab b a ab b -=-=-++=-+-=+-++-+

二、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．

解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--.

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

【例4】把2

2

2

2

()()ab c d a b cd ---分解因式．

解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-

()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+.

【例5】把2222428x xy y z ++-分解因式． 解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++- 222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-.

三、十字相乘法

1．2()x p q x pq +++型的因式分解

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++.

因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++. 【例6】因式分解：

(1) 2

76x x -+

(2) 2

1336x x ++

解：(1) 2

76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x -+=+-+-=--．

(2) 21336(4)(9)x x x x ++=++.

【例7】因式分解：

(1) 226x xy y +-

(2) 222()8()12x x x x +-++

解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-.

(2) 22222

()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-.

2．一般二次三项式2

ax bx c ++型的因式分解

大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成

11

2

2

a c a c ⨯

，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2

ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 【例8】因式分解：

(1) 2

1252x x --

(2) 22

568x xy y +- 解：(1) 2

1252(32)(41)x x x x --=-+. 324 1-⨯

(2) 2

2

568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-.

1 254-⨯

【例9】因式分解：

(1) 22

(2)7(2)8x x x x +-+- (2)a ax x x 51522

---+

分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合.