数学北师版八年级上第七章5 三角形内角和定理

5三角形内角和定理

1．三角形内角和定理

三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.

符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.

变式：∠A＝180°－∠B－∠C.

谈重点三角形内角和解读

(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；

(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；

(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；

(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余．

【例1－1】在一个三角形中，下列说法错误的是()．

A．可以有一个锐角和一个钝角

B．可以有两个锐角

C．可以有一个锐角和一个直角

D．可以有两个钝角

解析：如果一个三角形中有两个钝角，那么该三角形的内角和将大于180°，故D错误．答案：D

点技巧三角形中，角知多少

任何三角形中，至少有两个锐角，最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角．【例1－2】已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为()．

A．60°B．75°C．90°D．120°

解析：已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，5k°，6k°.根据三角形的内角和等于180°，列方程k＋5k＋6k＝180，解得k＝15.所以最大内角为6k°＝90°，应选C.

答案：C

2．三角形的外角

(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．

如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．

(2)三角形外角的特征

三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．

(3)三角形外角的实质

是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.

如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.

【例2】如图所示，∠1为三角形的外角的是()．

解析：由三角形外角的定义知，只有D中的∠1才是三角形的外角，故选D.

答案：D

点评：判断一个角是否是三角形的外角，关键是看它是否满足三角形外角的特征．

3．三角形内角和定理的证法

在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题．这些在原来的图形上添加的线叫辅助线．辅助线通常画成虚线．

证明三角形内角和定理的基本思路：

想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体”，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的．

在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：

(1)构造平角：利用平行线的性质进行转化(作平行线)，让三个内角组成一个平角．如图

①和图②.

(2)构造同旁内角：如图③，过C点作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是同旁内角可证．

4．三角形内角和定理的运用

(1)利用定理求角的度数或证明

生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理．

三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明．常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系．计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质．

(2)利用定理判断三角形的形状

根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断．①若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；②若有三个角相等，则可判定为等边三角形；③若有特殊角90°和两个45°，则为等腰直角三角形．若一个三角形根据角来分类，可先求出最大的角．①若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；②若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；③若最大的角为锐角，则三角

形是锐角三角形．

【例3】如图所示的四边形是平行四边形，如何利用ABCD证明三角形内角和定理？

分析：三角形内角和定理的证明思路是利用平行线的性质进行转化，让三个内角组成一个平角，或利用同旁内角互补来得以证明．

证明：连接BD.

∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，

∴AD∥BC(平行四边形的定义)，

∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∠1＝∠3(两直线平行，内错角相等)．

∴∠A＋∠1＋∠2＝∠A＋∠2＋∠3＝180°(等量代换)．

同理可证∠3＋∠4＋∠C＝180°，即三角形的内角和为180°.

点技巧辅助线的作用

辅助线起着桥梁的作用，在画辅助线时，注意与原来的线的区别，要画成虚线．

【例4－1】若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是()．A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．等边三角形

解析：∵三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，

∴三个内角分别是180°×2

9＝40°，180°×

3

9＝60°，180°×

4

9＝80°.∴该三角形是锐角三角

形．故选B.

答案：B

【例4－2】△ABC中，若∠B＝∠A＋∠C，则△ABC是__________三角形．

解析：根据三角形的内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，

又∠B＝∠A＋∠C，

∴2∠B＝180°，即∠B＝90°.

因此该三角形是直角三角形．

答案：直角

【例4－3】如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

分析：由三角形的内角和定理，可求∠BAC＝70°.又AE是∠BAC的平分线，可知∠BAE ＝35°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB＝90°，从而∠BAD＝25°，所以∠DAE＝∠BAE －∠BAD＝10°.

解：在△ABC中，

∵∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°，AE是∠BAC的平分线，

∴∠BAE＝∠CAE＝35°.

又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝90°.

∵在△ABD中∠BAD＝90°－∠B＝25°，

∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝10°.

析规律三角形内角和定理的运用