菲涅耳衍射和分数傅里叶变换.
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菲涅耳衍射和分数傅里叶变换
用分数傅里叶变换表示菲涅尔衍射公式是近代 光学的一个最新发展
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1
分数傅里叶变换
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衍射孔径上场分布的夫琅和费衍射与傅里叶变换的密切关系
是否在菲涅耳衍射与傅里叶变换也有某种直接联系？
分数傅里叶变换理论提供了这种可能。 分数傅里叶变换的初步概念是1937年，Condon就提出的， Bargmann在1961年进一步发展了这些概念。Namias在1980年 建立了比较完整的分数傅里叶变换理论 九十年代初分数傅里叶变换被引入到光学之中，陆续提出用 梯度折射率光波导、透镜系统实现分数傅里叶变换及阶数连 续的分数傅里叶变换。光学分数傅里叶变换作为数学和光学 的一个交叉领域，变得十分活跃，包括菲涅耳衍射和分数傅 里叶变换的对应关系的研究
2.位移性质
acosα F g x a exp jasin ξ G acos 2
3.可加性性质 F F g x F F g xF g x 即， 阶和 阶变换依此作用的结果相当于 阶的一次 变换,由于在上式中 和 是对称的，所以有可对易的 且
F F g xF F g xF g x
F F g xF F g xF g x g x
exp x j j
x
0阶分数傅里叶变换给出函数本身， 阶分数傅里叶变换 则给出它的倒象 6
分数傅里叶变换性质
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1.线性性质 分数傅里叶变换仍然是线性变换，即有
F Ag x Bh x AF g x BF h x
4
分数傅里叶变换“定理”的证明（续）
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作一定的代数简化后得
j x 2 x 2 1 exp 2πsinα 2tgα j x 2 x 2 1 exp 2πsinα 2tgα
g x
g x δ
F g x
常规傅里叶变换是分数傅里叶变换的特殊情况。当 和 时它转化为常规傅里叶变换
F g x g x exp( jx) dx
F 2 G
1 2
G exp( jx)d
1
1
2
j 2 x2 jx exp g x dx 2 tg sin
分数傅里叶反变换
2
j 2 x2 jx exp g x dx 2 tg sin
式中 G 称为 g x 的分数傅里叶谱， 称为分数傅里 叶变换的维，是连续变化的实数，其值应满足
1 2
j ξ 2 x 2 jξ x G ξ dξ exp 2tgα sinα
1
2 exp j j 2 x2 j x 2 exp 2 sin 2tg sin 1 2 exp j 2 2 j x j x g x dx d 2 exp 2 s in 2 tg sin
分数傅里叶变换的定义
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分数傅里叶正变换
exp j 2 G Fa g x 2 sin
exp j 2 F a g x 2 sin
j 2 x2 jx exp g x dx 2
lim
0
exp x
2
j 2
j 2
g xdx
g x x dx g
lim
其中利用了
函数的一种定义
5
0, 的分数傅里叶变换定义
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当时 必须另外定义，仍然利用定义广义傅里叶变换 的极限方法有 1 2
exp j 2 F 0 g x lim 0 2
可以证明
F F g x g x
3
分数傅里叶变换“定理”的证明
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证明方法主要利用 函数性质
F α Fα g x F α G ξ π exp j α 2 2 π sin α
j x x ξ dξ dx exp sinα
j x 2 x 2 exp 2tgα
g x δx x dx g x F
x x dx 2 πsinα
用分数傅里叶变换表示菲涅尔衍射公式是近代 光学的一个最新发展
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分数傅里叶变换
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衍射孔径上场分布的夫琅和费衍射与傅里叶变换的密切关系
是否在菲涅耳衍射与傅里叶变换也有某种直接联系？
分数傅里叶变换理论提供了这种可能。 分数傅里叶变换的初步概念是1937年，Condon就提出的， Bargmann在1961年进一步发展了这些概念。Namias在1980年 建立了比较完整的分数傅里叶变换理论 九十年代初分数傅里叶变换被引入到光学之中，陆续提出用 梯度折射率光波导、透镜系统实现分数傅里叶变换及阶数连 续的分数傅里叶变换。光学分数傅里叶变换作为数学和光学 的一个交叉领域，变得十分活跃，包括菲涅耳衍射和分数傅 里叶变换的对应关系的研究
2.位移性质
acosα F g x a exp jasin ξ G acos 2
3.可加性性质 F F g x F F g xF g x 即， 阶和 阶变换依此作用的结果相当于 阶的一次 变换,由于在上式中 和 是对称的，所以有可对易的 且
F F g xF F g xF g x
F F g xF F g xF g x g x
exp x j j
x
0阶分数傅里叶变换给出函数本身， 阶分数傅里叶变换 则给出它的倒象 6
分数傅里叶变换性质
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1.线性性质 分数傅里叶变换仍然是线性变换，即有
F Ag x Bh x AF g x BF h x
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分数傅里叶变换“定理”的证明（续）
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作一定的代数简化后得
j x 2 x 2 1 exp 2πsinα 2tgα j x 2 x 2 1 exp 2πsinα 2tgα
g x
g x δ
F g x
常规傅里叶变换是分数傅里叶变换的特殊情况。当 和 时它转化为常规傅里叶变换
F g x g x exp( jx) dx
F 2 G
1 2
G exp( jx)d
1
1
2
j 2 x2 jx exp g x dx 2 tg sin
分数傅里叶反变换
2
j 2 x2 jx exp g x dx 2 tg sin
式中 G 称为 g x 的分数傅里叶谱， 称为分数傅里 叶变换的维，是连续变化的实数，其值应满足
1 2
j ξ 2 x 2 jξ x G ξ dξ exp 2tgα sinα
1
2 exp j j 2 x2 j x 2 exp 2 sin 2tg sin 1 2 exp j 2 2 j x j x g x dx d 2 exp 2 s in 2 tg sin
分数傅里叶变换的定义
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分数傅里叶正变换
exp j 2 G Fa g x 2 sin
exp j 2 F a g x 2 sin
j 2 x2 jx exp g x dx 2
lim
0
exp x
2
j 2
j 2
g xdx
g x x dx g
lim
其中利用了
函数的一种定义
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0, 的分数傅里叶变换定义
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当时 必须另外定义，仍然利用定义广义傅里叶变换 的极限方法有 1 2
exp j 2 F 0 g x lim 0 2
可以证明
F F g x g x
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分数傅里叶变换“定理”的证明
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证明方法主要利用 函数性质
F α Fα g x F α G ξ π exp j α 2 2 π sin α
j x x ξ dξ dx exp sinα
j x 2 x 2 exp 2tgα
g x δx x dx g x F
x x dx 2 πsinα