单位根检验(最终版)

+ φ2 + + φ p = 1
因此，对于 AR(p)过程我们可以通过检验自回归系数之和是否等于 1 来检验序列的平稳 性。作如下假设检验：
H 0：ρ = 0 ↔ H1：ρ < 0 其中：ρ = φ1 + φ2 + + φ p − 1
ADF 检验统计量： τ = ˆ ρ ˆ ) 为参数 ρ 的样本标准差。 ，其中 S ( ρ ˆ) S (ρ
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3— 7
可以看出 ACF 和 PACF 都是拖尾的， 所以考虑用 Pandit-Wu 方法分别建立 ARMA （2,1） , ARMA （4,3）模型，从中选出最优的一个。 5、初步建模并估计参数。 点击 quick—estiminate equation 输入：sha1 ar（1）ar（2）ma（1）得到下表 3-8:
1、建立时间序列文件。 在 eviews 中建立工作文件，选择 file—new—workfile，输入 1 到 40。 点击 file—import，导入 excel 文件，并取名为 sha。 2、检验原时间序列的平稳性。 平稳序列的时序图应该显示出序列始终围绕一个常数值波动，且波动的范围不大。如果 观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势或周期，那它通常不是平稳序列。 绘制序列 sha 的时间序列图：选中 sha 序列，并点击主菜单 Quick—Graph 选择其中的折 线图（Line graph）就可作图，如下图 3-1：
3— 8
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输入 sha1 ar(1) ar(2) ar(3)ar(4)ma(1)ma(2)ma(3)得到下表 3-7：
3— 9
6、模型适应性检验 即检验剩余序列是否为白噪声序列。原假设是剩余序列是相互独立的白噪声序列。分别 在上述两个结果窗口中点击 view—residual correlation LM test…，得到以下结果
单位根检验以及
平稳时间序列建模
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目录
一、DF 统计量及 DF 检验………………………………………………3
二、ADF 检验………………………………………………………………5
三、例题……………………………………………………………………6
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由于虚假回归问题的存在，所以在进行回归模型拟合时，必须先检验各序列的平稳性。 单位根检验（由 Dickey-Fuller 1979 年提出）是指检验序列中是否存在单位根。单位 根检验方法有多种，这里主要介绍 DF 和 ADF 检验。介绍这种检验方法之前，先讨论 DF 统计 量的分布特征。
3— 4
-8-
继续在 eviews 中输入命令：series sha2=d（sha，2）,即生成二阶差分生序列 sha2， 按照同样的方法绘制该序列的折线图并做单位根检验，得到下图 3-5 和表 3-6：
100
50
0
-50
-100 05 10 15 20 25 30 35 40
SHA2
3— 5
3— 6
xt = µ + βt +φ 1xt −1 + +φ pxt − p + ε t
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三、例题
用 Eviews5.1 来分析 1964 年到 1999 年中国纱产量的时间序列
年份 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 纱产量 97 130 156.5 135.2 137.7 180.5 205.2 190 188.6 196.7 180.3 210.8 196 223 238.2 263.5 292.6 317 年份 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 纱产量 335.4 327 321.9 353.5 397.8 436.8 465.7 476.7 462.6 460.8 501.8 501.5 489.5 542.3 512.2 559.8 542 567
sha2 的时间序列图也是始终围绕一个常数值波动，而从单位根检验法进行检验的结果， 可以看到 P—值比显著性 α 水平小， 仍然拒绝原假设， 认为 sha2 序列是也平稳的， 并且比 sha1 序列更加平稳。因此用序列 sha2 建模更好。 4、绘制序列 sha2 的 ACF、PACF 序列，初步定阶。 点击 quick—series statistics—correlogram，输入 sha2，点击 ok，结果如表 3-7：
一、DF 统计量及 DF 检验 1、DF 统计量
以 1 阶自回归序列为例： xt = ϕ1 xt −1 + at 该序列的特征方程为： λ − ϕ1 = 0 当特征根 ϕ1 在单位圆内时，该序列平稳，反之，该序列为非平稳序列。所以可以通过检 验特征根是在单位圆内还是单位圆外（或上） ，来检验序列的平稳性，这种检验就称为单位根 检验。 由于现实生活中绝大多数序列都是非平稳序列，所以单位跟检验的原假设定位： 原假设 H 0 ：序列 x t 非平稳；备择假设 H 1 ：序列 x t 平稳 检验统计量为 t 统计量： t (ϕ1 ) =
3- 10
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3- 11
结果显示 F 统计量分别为 0.074663 和 2.980282，相应的 P-值分别为 0.928247 和 0.072552，均大于显著性水平 α ，所以要接受原假设，认为剩余序列是白噪声序列，两个模 型都通过了检验。 但根据 AIC 准则，由表 3-8 和 3-9 知 ARMA(2,1)的 AIC=9.202282，ARMA(4,3)的 AIC=9.302502，所以我们选择 ARMA(2,1)模型对 sha2 序列进行建模。 最终对序列 sha2 建立的模型为： xt = −0.236716 xt −1 + 0.048617 xt − 2 + at − 0.989931at −1 还原到原序列 sha 的序列的模型为： xt = 2.236716 xt −1 − 0.95138 xt − 2 + at − 0.989931at −1 7、预测
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原假设 H 0 ：序列 {xt − u − βt} 非平稳即 | ϕ1 |≥ 1 ； 备择假设 H 1 ：序列 {xt − u − βt} 平稳即 | ϕ1 |< 1 ；
二、ADF 检验
DF 检验只适用于 1 阶自回归过程的平稳性检验， 为了使 DF 检验能适用于 AR(p)过程的平 稳性检验， 需要对 DF 检验进行一定的修正， 得到增广 DF 检验 （augmented Dickey—Fuller） ， 简记为 ADF。
3、DF 检验的三种类型
第一种：无常数均值、无趋势的 1 阶自回归过程： xt =φ 1xt −1 + ε t 第二种：有常数均值、无趋势的 1 阶自回归过程： xt = µ +φ 1xt −1 + ε t 此种情况下，可以通过最小二乘法可以得到两个未知参数的估计值，通过检验特征根的 性质，可以考察中心化序列 {xt − u} 的平稳性。 假设检验如下： 原假设 H 0 ：序列 {xt − u} 非平稳即 | ϕ1 |≥ 1 ； 备择假设 H 1 ：序列 {xt − u} 平稳即 | ϕ1 |< 1 ； 第三种：有常数均值、有线性趋势的 1 阶自回归过程： xt = µ + βt +φ 1xt −1 + ε t 此种情况下，可以通过最小二乘法可以得到三个未知参数的估计值，通过检验特征根的 性质，可以考察中心化序列 {xt − u − βt} 的平稳性。 假设检验如下：
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（2） σW (r ) ~ N(0，σ 2 r) （3） [W (r )]2 /r ~ χ 2 (1) DF 检验为单边检验，当显著性水平取为 α 时，记 τ α 为 DF 检验的 α 分位点，则 当 τ ≤ τ α 时，拒绝原假设，认为序列显著平稳，否则，接受原假设，认为序列非平稳。 在实际检验中，若 H0 不能被拒绝，说明序列是非平稳序列（起码为一阶非平稳序列）。 接下来应该继续检验多阶差分之后的序列的平稳性直至结论为平稳为止。
60
40
20
0
-20
-40 5 10 15 20 25 30 35 40
SHA1
3— 3
sha1 序列的时间序列图始终围绕一个常数值波动，因此可以认为该序列是平稳序列。同 样的，用单位根检验法进行检验得到表 3-4，原假设是序列非平稳，该结果显示 P—值为 0.0001，比显著性 α 水平小，所以要拒绝原假设，认为 sha1 序列是平稳的。
2、DF 检验的等价表达
在等式 xt = ϕ1 xt −1 + at 两边同时减去 xt −1 得到 xt − xt −1 = (ϕ1 − 1) xt −1 + at 。 DF 检验等价为如下检验：
H 0：ρ = 0 ↔ H 1：ρ < 0 其中：ρ = φ1 − 1
相应的 DF 检验统计量为： τ = ˆ ρ ˆ ) 为参数 ρ 的样本标准差。 ，其中 S ( ρ ˆ) S (ρ
1、ADF 检验的原理
对于 AR(p)过程，如果其特征方程的所有特征根都在单位圆内，则序列 {xt } 平稳，如果 有一个特征根存在且为 1，则序列非平稳，且自回归系数之和恰好等于 1。证明如下：
λ p − φ1λ p −1 − − φ p = 0
⇒1 − φ ⇒φ
1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
λ =1
1
−−φp = 0
ˆ −1 φ 1 ˆ) S (φ 1
极限
该统计量称为 DF 检验统计量，它的极限分布为
1
τ=
ˆ −1 φ 1 ˆ) S (φ
1
∫ W (r )dW (r ) ，其中 W (r ) 为自由度为 r 的维纳过程。所谓维纳过程具有如下 →
0
∫ [W (r )] dr
1 2 0
性质： （1） W (1) ~ N(0， 1)
2、ADF 检验的三种类型
第一种：无常数均值、无趋势的 p 阶自回归过程： xt =φ 1xt −1 + +φ pxt − p + ε t 第二种：有常数均值、无趋势的 p 阶自回归过程： xt = µ +φ 1xt −1 + +φ pxt − p + ε t 第三种：有常数均值、有线性趋势的 p 阶自回归过程：
T
ˆ1 − ϕ 1 ϕ ˆ1 为参数 ϕ1 的最小二乘估计， ,其中， ϕ S (ϕ1 )
ˆ1 ) = S (ϕ
S
T t =1
2
T 2 t −1
∑x
，S
2
T
=
∑ (x
t =1
t
ˆ1 xt −1） −ϕ
T −1
当 ϕ1 =0 时， t (ϕ1 ) 的极限分布为标准正态分布； 当 | ϕ1 |< 1 时，t (ϕ1 ) 的渐进分布为标准正态分布，但当 | ϕ1 |= 1 时，t (ϕ1 ) 的渐进分布不再是 正态分布。 记τ =
3— 2
从表中看出 t 统计量为-0.016384，其 P—值比显著性 α 水平大，所以要接受原假设，认 为序列 sha 是非平稳序列。
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3、对原时间序列进行平稳化处理。 从折线图可以看出原序列可能存在线性增长趋势，所以在 eviews 中输入命令：series sha1=d（sha，1）,生成一阶差分序列 sha1，并绘制该序列的折线图，如下图 3-3：
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600 500 400 300 200 100 0 5 10 15 20 SHA 25 30 35 40
3— 1 从图可以看出，纱产量呈现波动中上升的趋势，显然不平稳，所以不是一个平稳序列。 这一结论，还可以通过单位根检验（ADF 检验）进一步说明。 点击 quick—series statistics—unit root test，输入 sha 点击 ok，结果如下表 3-2：