《高等数学》第二节 不定积分的积分方法

1 8 . cos x d x d ( a sin x b ).
a
1 9 . sin x d x d ( a cos x b ).
a
1
10 .
d x d( arcsin x ) d( arccos x ).
1 x2
1
11 .
d x d (arctan x ) d ( arc cot x ).
C.
3
例5 求 ( ln x ) 2 d x
x
解
1 dx d(ln x)，
x
2 dx
2
(ln x) (ln x) d(ln x)
x
1
3
(ln x) C.
3
arctan x
例6
求
e
1
dx.
2
x
解 1 dx d(arctan x)，
1 x2
arctanx
而 所以有
dx 1 du， 2
1
1
cos 2 x d x cos u d u cos
2
2
u du
由于 d sin u cos u ，即对新的积分变量 du
被积函数 cos u 的原函数，因此有
u 而言， sin u 是
1
1
cos u d u sin u C .
2
2
再把 u 2 x 代回，得
1
1
sin u C sin 2 x C .
2
2
综合上述分析，此题的正确解法如下：
求 cos2xdx.
解 令u 2x, 得du 2dx, 得dx 1 du，则有
2
1
cos2xdx cosudu
2 1 sin u C 2
1 sin 2x C.
2
定理1 如果
f (u)du F (u) C，
且 u j(x)具有连续导数，则有
f [j (x)]j' (x)dx F[j (x)] C
(1)
公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用 第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积 分法.也称“凑微分法”.
用第一换元积分法求不定积分的步骤是
3.x dx
1
d ( ax 1 b )
a ( 1)
12Leabharlann 4 . d x d ( a x b ).
x
a
1
1a
5 . d x d ( b ).
x2
ax
( 1).
1 6 . d x d (ln x b ).
x
7 . e x d x d ( e x b ).
1

a
1
x
d
2
x
a
1
a
x arcsin C .
a
例9
求
1

2
x

a
2
d x.
解
1
1 1
1

2
x

2
a
dx

2a


x

a

x

a
dx

1 2a


x
1
a
dx

x
1
a
dx
1 1
1


2a

x

a
d( x

a)

x

a
d(x
令 u j ( x )
f j ( x ) j ' ( x ) d x
f (u ) du
du j' ( x )dx
F '(u ) f (u )
F (u ) C
u j ( x ) 代回
F j ( x ) C .
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j ( x ) = u,还需要在 被积表达式中再凑出 j ' ( x )d x 即 d j ( x ),也就是 d u ,这样才能 以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
e
1
dx
2
x

earctanxd(arctanx)
e arctanx C.
用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公式是
十分必要的，以下是凑微分公式(在 下列各式中，a，
b均为常数，且 a 0 ) :
1 1 . d x d ( ax b ).
a
2 . x d x 1 d ( ax 2 b ). 2a
= ln | cos x | C .
3
于是有 (3x－1)2008dx u 20081 du
3
= 1 u 2008du
3
1
1
u 2009 C
3 2009
1 (3x 1) 2009 C. 6027
例3 求 1 d x .
3 2x
解
令u

3

2x, 得du

2dx，得dx

1
du，于是有
1 x2
例7 求
1

2
a

2
x
d x.
解
1
1

2
a

2
x
dx

2
a

1 dx
2
x
1
a
1
1
x

a

x
2

d
a

1
a
1
x
arctan C .
a
a
例8 求
1 d x.
a2- x2
解
1
1
2
a
-
2
x
dx

a

1 dx
2
x 1
a
第二节 不定积分的积分方法
一、 第一类换元积分法 二、 第二类换元积分法 三、 分部积分法 四、 简单有理函数的积分 五、 积分表的使用
一、第一类换元积分法
例1 求 cos2xdx. 分析 cos2xdx ？1 sin 2x C.
2
原因在于被积函数cos 2x与公式 cos x dx 中的被积 函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u，d u=2dx，从
2

1
dx
1


1
du
3 2x
u 2
11
= du
2u
1 2 u C
2
3 2x C.
例4
求 x
2
x

4
d x.
解
令u

2
x

4，则du

2 xdx，则
x
2
x

4dx

1

udu
2
12 3
= u2 C
23

1
(
2
x

3
4)2

f j ( x ) d j ( x ) f (u ) d u F j ( x ) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
例2 求 (3 x 1) 2008 d x .
解 令u 3x 1，得du 3dx，得dx 1 du，

a)
1 ln x a ln x a C

1 xa
ln
C.
2a
2a x a
1
1 ax
类似地，有
a2
dx
2
x

ln 2a
a
x
C.
例10 求 tanx dx.
解
sin x
tanx dx
dx
cosx
1

d(cosx)
cosx