运筹学__指派问题1

二 匈牙利算法
思路 算法原理 算法步骤
（一） 思路
匈牙利法基于这样一个明显的事实： 如果在m阶效率矩阵中，所有元素cij≥0， 而其中有m个位于不同行不同列的一组0元 素， 则在解矩阵中，只要令对应于这些0元素 位置的xij＝1，其余的xij＝0，就得到最优 解。 此时的最优解为０
•如效率矩阵为 •恰有4个不同行 不同列的0系数
利用这个性质，可使原系数矩阵变换为含有很多
0元素的新系数矩阵，而最优解保持不变，
在系数矩阵(bij)中，把位于不同行不同列的0元素， 简称为独立的0元素。
问题是：
能否找到位于不同行、不同列的m个0元素？
若能在系数矩阵(bij)中找出m个独立的0元素； 则令 解矩阵(xij)中对应这m个独立的0元素的xij 取值为1， 其他元素取值为0。
0 13 7 0
66 9 5 3 2
010 0
然后划去所在的列的其他0 元素，记作Ø，得
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø1 0 0
➢给只有一个0元素的列的0 元素加圈，记，得
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 0
然后划去所在的行的其他0元 素，记作Ø，得
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
(三) 匈牙利算法的步骤
例7:
任务 人员
甲 乙 丙 丁
E
J
G
R
2 15 13 4
10 4 14 15
9 14 16 13
7
8 11 9
第一步：变换系数矩阵,使指派问题的 系数 矩阵经变换，在各行各列中都出现0元素： ➢从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素。 ➢再从所得系数矩阵的每列元素减去该列的最小元素。 若某行已经有0元素，就不必再减了。
将其代入目标函数中得到zb=0，它一定是最小值。 这就是以(bij)为系数矩阵的指派问题的最优解。
从而也就得到了原问题的最优解。
库恩（W.W.Kuhn）于1955年给出了指派 问题的 解法，
他引用匈牙利数学家狄·康尼格（d.konig)关于矩 阵中独立零元素的定理(即定理2)：
系数矩阵中独立的“0”元素的最多个数等于覆盖 所有“0”元素的最少直线数
(i 1, ,n; j 1, ,m)
则指派问题的数学模型一般形式为：
mm
xij
为第
i
个人指派
min (或 max)z
cijxij
去做第 j 项任务；
i1 j1
m
xij 1 (i 1, ,n)
cij 为第 i 个人为完 成第 j 项任务时
j1
s.t.
n
xij 1
(j 1, ,m)
覆盖所有“0”元素的最少直线数 = 独立的“0”元素 的最多个数
推论1：覆盖所有“0”元素的直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的最多个数（m）
推论2：覆盖所有“0”元素的最少直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的个数
定理2说明： 1. 只要表中含有不同行或不同列的“0”元素，
都可以通过直线覆盖的方式来找到它们 2. 当覆盖直线的最少条数达到m条时，
➢给最后一个0元素加圈， 记，得
Ø 13 7 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
可得独立的0元素的个数就是矩阵的阶 数,即n=m=4, 故得到最优解：
0 0
1 0
0 0
0 0 0 1
指派问题的解矩阵应具有如下特点：
（1）解矩阵(xij)中各行各列的元素之和都是1； （2）可行解（最优解）中恰含有４个非零元，即4个1；
（3）可行解（最优解）矩阵中的1恰取于不同行不同列。
人 工作
甲
乙
丙
丁 人数
译成英文 2 10 9 7 1
译成日文 15 4 14 8 1
每件工作只有一个人去做。
▪ 已知第i个人去做第j 件工作的的效率（ 时间或 费用）
为cij (i=1.2…m;j=1.2…m) ，并假设cij ≥0。 问应如何指派才能使总效率最高或总时间﹑ 总费用最低 ？
2. 指派问题数学模型—一般形式
设[cij]表示指派问题的效率矩阵，令
1, 分配第i个人去完成第j项任务 xij 0, 不分配第i个人去完成第j项任务
译成德文 13 14 16 11 1
译成俄文 4 15 13 9 1
任务 1
1ห้องสมุดไป่ตู้
1
1
可以看到指派问题既是0-1 规划问题，也是运输问题， 所以也可用整数规划，0-1 规划， 或运输问题的解法去求解。
（二）指派问题的数学模型
1. 指派问题的一般提法： ▪ 设m个人被指派去做m件工作，
规定每个人只做一件工作，
求解题时通常需引入0-1变量：
1, 分配第i个人去完成第j项任务 xij 0, 不分配第i个人去完成第j项任务
(i 1, ,4; j 1, ,4)
则该指派问题的数学模型为：
min z 2x11 15x12 13x13 4x14 L 11x43 9x44
4
xij
1
(i 1,L
, 4)
∑xij=1 (i=1,2,3,4) 表示第i人只能完成一项任务
2 15 13 4 2
10 4 14 15 4
(cij)= 9 14 16 13
9
7 8 11 9 7
0 13 7 0 606 9 053 2 010 0
0 13 11 2 6 0 10 11 057 4 014 2
42
▪ 第二步：圈出不同行且不同列的０元 素，进行试指派，以寻找最优解。
经第一步变换后，系数矩阵中每行每列都已有了0元素 但需找出m个独立的0元素。 若能找出，就以这些独立0元素对应解矩阵(xij)中 的元素为1，其余为0，这就得到最优解。 当m较小时，可用观察法、试探法去找出m个独立0元素。 若m较大时，就必须按一定的步骤去找， 常用的步骤为:
j1
s.t.
4
xij
1
( j 1,L
, 4)
i1
xij=1 (j=1,2,3,4) 表示第j 项任务只能由一人去完成。
x
ij 0或1
(i，j 1,L
, 4)
满足约束条件的解称为可行解， 可写成矩阵形式，叫作解矩阵。
如本例的一个可行解矩阵（但不一定是最优解）
0 1 0 0
xij
0 1
即m个值取为１，其余取为０, 是自然高度退化的。
指派问题是0-1 规划的特例， 也是运输问题的特例，所以可用整数规 划，0-1 规划或运输问题的解法去求解， 但这就如同用单纯形法去求解运输问题 一样，
是不合算的。 根据指派问题的特点可以有更简便的解 法， 就是匈牙利算法， 其重要依据是： 系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等 于能覆盖所有 0 元素的最少直线数。
则[bij]的最优解的结构等价于[cij]的最优解的结构.
证明：将从[bij]中得到的解 代入分配问题模型的目标函数式，有
mm
mm
z
bijxij
(cij ui v j )xij
i1 j1
i1 j1
mm
m
m
m
m
cijxij
ui
xij
vj
xij
i1 j1
i1
j1
j1
i 1
▪ 其元素cij>0(i,j=1,2,…n)，
▪ 表示指派第i人去完成第j 项任务时的效率（或时间、成
本等）
c11 c12 … c1n
效率
C=(cij)n×n= c21 c22 … c2n
矩阵 或
………………
系数
c c …c
矩阵
C=(cij )４×４=
2 15 13 4 10 4 14 15 9 14 16 13 7 8 11 9
4. 指派模型的标准形的特点: 含有m×m个决策变量,均为0-1变量 m+m＝2m个约束方程
给定一个指派问题时，必须给出效率矩阵（系数矩阵） C=(cij)mxm,且cij0，因此必有最优解 。
mm
MinZ
cijxij 0
i1 j1
指派问题有2m个约束条件，
但可行解（即解矩阵）中有且只有m个是非零值，
➢从只有一个0元素的行（或列）开始， 给这个0元素加圈，记，
这表示对这行所 代表的人，只有一种任务可指派。 然后划去所在的列（或行）的其他0元素，记作Ø。 这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人
0 13 7 0 6 6 9 5 3 2
01 0 0
➢给只有一个0元素的列（或行）中的0元素加圈， 记，
0 14 9 3
9
20
0
23
23 0 3 8
0
12 14
0
令x11=1，x23=1，x32=1，x44=1，即可得最优解，
其解矩阵为
min Z=Z＊＝0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
问题是如何找到位于不同行、不同列的m个0元素？
匈牙利算法基本思想： 对同一工作i来说， 所有人的效率都提高或降低同一常数， 不会影响最优分配； 同样，对同一人j来说, 做所有工作的效率都提高或降低同一常数， 也不会影响最优分配。
然后划去所在的行（或列）的其他0元素，记作Ø。 这表示这行所代表的人已指派完， 不必再考虑他做别的任务了。
➢反复进行上述两步，直到所有的0元素都被圈出和 划掉为止。
➢从只有一个0元素的行（或列）开 始，给这个0元素加圈，记。
0 13 7 0
66 9
053 2 010 0
➢再给第三行的这个唯一的0元素 加圈，记，得
任务 E
J
G
R
人员
甲
2 15 13 4
乙
10 4 14 15
丙
9 14 16 13
丁
7
8 11 9
▪ 这是一个标准型的指派问题
▪ 类似有：有n项加工任务，怎样指派到n台机床上分别完 成；
有n条航线，怎样指定n艘船分别去航行….. 等。
▪ 对应每个指派问题，需有类似上表那样的数表，
表中数据称为效率矩阵或系数矩阵，
i1
的工时消耗，或称 效率；
xij 0或1
(i 1, ,n；j 1, ,m){cij}
nm
为效率矩阵
3. 指派问题数学模型—标准形式
如果一个指派模型满足以下三个条件： 1)目标要求为min 2)效率矩阵(cij)为m阶方阵 3)效率矩阵中所有元素cij≥0,且为常数
则称上面的数学模型为指派问题的标准形.
一、指派问题的数学模型
（一）举例
例7： 有一份中文说明书， 要分别译成英、日、德、俄四种文字， 分 成别. 记作E 、 J 、 G 、 R ,交与甲、乙、丙、丁 四个人去完 因个人专长不同， 他们完成翻译不同语种的说明书所需的时间(h)如表所示. 应如何指派，使四个人分别完成这四项任务总时间为最小？
mm
m
m
cijxij ui v j
i1 j1
i1
j1
指派问题最优解的性质： 若从效率矩阵(cij)的一行（列）各元素中 分别减去该行（列）的最小元素得到的新矩阵(bij)， 那么以(bij)为效率矩阵求得的最优解的结构 和用原来的效率矩阵(cij)求得的最优解的结构相同。
---匈牙利算法基本思想1
（二）算法的基本原理 匈牙利数学家狄·康尼格(D·Konig)证明的两个定理
定理1 如果从指派问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)， 从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势) 得到一个新的效率矩阵[bij]， 若其中bij=cij-ui-vj，
在实际中经常会遇到这样的问题，
有n 项不同的任务， 需要n 个人分别完成其中的一项，
但由于任务的性质和各人的专长不同， 因此各人去完成不同的任务的效率 （或花费的时间或费用）也就不同。 于是产生了一个问题: 应指派哪个人去完成哪项任务，
使完成 n 项任务的总效率最高（或所需时间最少），
这类问题称为指派问题或分派问题。
---匈牙利算法基本思想2
库恩给出的指派问题的解法称为匈牙利算法
定理2 若效率矩阵C的元素可分成“0”与非“0”两部分，则
覆盖所有“0”元素的最少直线数=独立的“0”元素的最多个数
证明： 已知矩阵中有若干0元素，设覆盖全部0元素最少需 m条直线，又设位于不同行不同列的0有M个.
•因覆盖M中的每个0至少用一条直线，故有mM
•下面要证明M m. 如图假定覆盖所有0元素的m条直线 有r行、c列，m=r+c.
所有r行上不在j1，…，jc列上的0元 素个数≥ r，这些0元素至少有r个位 于不同列
同理：所有c列上不在i1，…，ir行上 的0元素个数≥c ，且这些0元素至 少有c个位于不同
j1 j2
ii12
ir jc
若上述两部分0个数总和为S，则S≥m；其中有m 个，又它们必无重复元素，彼此独立，则SM,故 有m≤M， 故可得M=m.
必恰有m个独立“0”元素存在于表中
匈牙利算法依据：
1.若从效率矩阵(cij)的一行（列）各元素中 分别减去该行（列）的最小元素得到的新 矩阵(bij)， 那么以(bij)为效率矩阵求得的最优解的结构 和用原来的效率矩阵(cij)求得的最优解的结 构相同。
2.系数矩阵中独立0元素的最多个数等 于能覆盖所有0元素的最少直线数。