第五章 椭圆型方程的差分方法

为了提高精度, 在五点差分格式的基础上进行 Taylor展开 u ( xi 1 , y j ) 2u ( xi , y j ) u ( xi 1 , y j ) hx2 2u ( xi , y j ) x 2
4 6 hx2 u ( xi , y j ) hx4 u ( xi , y j ) 6 O ( h x ), 4 6 x x 12 360
将两式相加，得
4 4 u ( xi , y j ) 1 2 u ( xi , y j ) 2 4 4 ( h O h h hu ( xi , y j ) u ( xi , y j ) (hx y x y) 4 4 12 x y 2 2 2 ( , ) u x y u ( xi , y j ) 1 2 2 i j 2 ) u ( xi , y j ) (hx 2 hy 2 )( 2 2 12 x y x y
收敛，并有估计式
2 . 差分方程解 的收敛性
hx 0 y ) ( , uij h u x i j 0 y
u f , ( x, y ) D , 定理：若 ( x , y ) D , u , 的解在 D D 上有四阶连续的偏导数， 则五点差分格式
j j j j 1 j j 1 u u u u u u 2 2 j j i 1 i i 1 i i i h ui fi 2 2 hx hy
1. 解的存在唯一性 数理方程里热方程和Laplace方程的解的存在唯一性都是通过 极值原理来证明的。这里类似.
定理(极值原理)： 与边界条件无关 设u 是定义在Dh Dh上的函数，则
j i
( i )如果u 满足 h u 0， ( xi , y j ) Dh，则有
j i j i
max u max u ;
Dh j i Dh j i
( ii )如果uij 满足 h uij 0， ( xi , y j ) Dh，则有 min uij min uij .
Dh Dh
证明: (i) 反证法：设在Dh内存在一点P( xi0 , yi0 )及一 个常数M 使得U ( xi0 , yi0 ) M 并有M ui , ( xi , y j ) Dh
u( xi1, y j 1) u( xi1, y j 1)]
2 f (x , y ) 2 f (x , y ) i j i j 2 2 4 ). f ( xi , y j ) 1 (hx h O h ) ( y 12 x2 y 2
舍去截断误差项，便得到逼近方程的九点差分格式： 2 h2 hx 1 y [4uij 2(ui1, j ui, j 1 ui1, j ui , j 1 ) huij 2 2 12 hx hy ui1, j 1 ui1, j 1 ui1, j 1 ui1, j 1 )]
回顾：
解的存在性 数学模型 解的唯一性 解的稳定性 解的表达式

适 定 性
区域 方程 定解条件

离散
解的一些性质
相容性(包含精度的问题)：差分方程与微分方程充分接近(h 0, 0) 时 有 T ( x j , tn ) 0 截断误差 (Taylor展开) 收敛性：近似解是否逼近原问题的解
定理(解的存在唯一性)
j j h u i f i , ( xi , y j ) D h , 差分方程边值问题 j j u ( xi , y j ) D h , i , i 的解如果 存在，则唯一 .
证明：只需证明对应的齐 次方程只有零解
j u h i 0, ( xi , y j ) Dh , j u i 0, ( xi , y j ) Dh , 由极值原 理知0 u i j 0, 即 u i j 0, ( xi , y j ) Dh Dh .
j
和M uij , ( xi , y j ) Dh .考虑 hui0
j0
ui0j01 2ui0j0 ui0j01 h
2 x

ui0j0 1 2ui0j0 ui0j0 1
2 hy
1 j0 1 j0 1 1 1 j0 j0 j0 1 2 (ui0 1 ui0 1 ) 2 (ui0 ui0 ) 2( 2 2 )ui0 0 hx hy hx hy
2u 2u u 2 2 f ( x, y ), (x, y ) D, (1.1) x y
一.区域
矩形 圆 环
此外还有扇形,环状扇形等特殊区域. 以及一些更一般的区域. 离散(差分法):网格剖分
矩形区域
取定沿x轴和y轴方向的步长hx和hy , h (h h ) .
二.差分格式
1. 五点差分格式 ( xi , y j )为正则内点，沿x, y方向分别 用二阶中心差商代替uxx , u yy，则得 ui 1, j 2uij ui 1, j ui, j 1 2uij ui, j 1 huij f ij ,(1.6) 2 2 hx hy 式中uij 表示节点(i, j )上的网函数。
u ( xi , y j 1 ) 2u ( xi , y j ) u ( xi , y j 1 )
2 hy

2u ( xi , y j ) y 2

2 4u ( xi , y j ) hy
12
y 4

4 6u ( xi , y j ) hy
360
y 6
6 O ( hy ),
因此
2 h2 h hu( xi , y j ) 1 x 2 2 y [4u( xi , y j ) 2u( xi1, y j ) u( xi , y j 1) 12 hx hy u( xi1, y j ) u( xi , y j 1) u( xi1, y j 1) u( xi1, y j 1)

2 hx2 hy 4u ( xi , y j )
12
x 2 y 2
4 ) O (hx4 hy 2 f ( xi , y j ) 2
1 2 f ( xi , y j ) (hx 12 12
2 f ( xi , y j ) x
2
hy
y
2
)
2 hx2 hy 4u ( xi , y j )
2 f (x , y ) 2 f (x , y ) 1 i j i j 2 2 f ij (hx h ) y 2 2 12 x y 其截断误差的阶为O(h4 ).
相容性:四阶精度 收敛性 ? 稳定性 ?
三. 边界条件的处理(矩形区域)
第一类边界条件: u ( x, y ), ( x, y ) D. 离散： uij ( x i , y i ), ( xi , y j ) Dh .
uI+2, j uI , j
i,0ui,0 i,0.
注:
1. 当 =0时, 为第二类边界条件,但四边不能都是第二类边界条件; 2. 这里是中心差商,也可用向前/后差商,但中心差商精度高; 3. 其中u1, j , ui,1, uI 2, j , ui,J 2为虚拟节点的值，需进一步处理， 一般通过方程的差分格式去消掉这些项。
差分方程 (1.4)中只出 现 u 在 (i , j )及其四个 邻点上的值，故称 为五点差分格式。
(i,j+1) (i-1,j) (i,j) (i,j-1) (i+1,j)
• 相容性: 截断误差 O(hx2 hy2 ) • 收敛性: 见后面的极值原理 • 稳定性: Lax等价原理
2. 九点差分格式
差分算子 h的截断误差为 Rij (u ) u ( xi , y j ) h u ( xi , y j )
4u ( x , y ) 4u ( x , y ) i j i j 2 2 4 ), 1 [ hx h ] O ( h y 12 x 4 y 4 O ( h 2 ).
y
( x0 , y j )
( xi , yJ+1)
( xI1, y0 ) ( xi , y0 )
0
x
u 第三类边界条件: ( u) (x, y), (x, y) D. n 离散： 左边 右边 上边 下边 u1, j u1, j 2hx 2hx ui,J 2 ui,J 2hy ui,1 ui,1 2hy 0, ju0, j 0, j , I 1, juI 1, j I 1, j , i,J 1ui,J 1 i,J 1,
(u n j u ( x j , tn ))
(Lax等价原理：P28

数值解
稳定性：初始误差是否会被放大(Fourier方法，直接方法) 解的存在唯一性(目前差分格式)
存储量 计算时间
问题的离散
1. 区域的离散 2. 方程的离散 3. 定解条件的离散
第5章 椭圆型方程的差分方法
§1-3 Poisson方程
2 x 1 2 2 y
作两族与坐标轴平行的直线： x ihx , i 0, 1, y jhy , j 0, 1,
两族直线的交点(ihx , jhy )称为网点或节点， 记为( xi , y j )或(i, j ). 说两个节点( xi , y j )和( xi , y j )是相邻的, 如果 xi xi yi yi 1或 i i j j 1. hx hy
x 2 y 2
4 O (hx4 hy )
其中 4u( xi , y j ) uxx ( xi , y j 1) 2uxx ( xi , y j ) uxx ( xi , y j 1) 2) O( h y 2 x2y 2 hy u( xi1, y j 1) 2u( xi , y j 1) u( xi1, y j 1) 1 2[ 2 hy hx u( xi1, y j ) 2u( xi , y j ) u( xi1, y j ) 2 2 hx u( xi1, y j 1) 2u( xi , y j 1) u( xi1, y j 1) 4 h4 )] O(h2 ). O( h x y y 2 hx
M ui0Βιβλιοθήκη Baidu
j0
1 1 1 2 2 hx hy 1
(
ui0j01 ui0j01 2h
2 x

ui0j0 1 ui0j0 1 2h
2 y
)
M M ( 2 2)M 1 1 hx hy 2 2 hx hy ui0j01 ui0j01 ui0j0 1 ui0j0 1 M (i0 , j0 )的任意性，uij M ， ( xi , y j ) Dh Dh , 矛盾. max(uij ) min uij (ii )成立. (ii ) 同理 j j h (ui ) h ui
四. 差分格式的性质:
以Poisson方程第一边值问题的五点差分格式为例
j j j j 1 j j 1 u u u u u u 2 2 j j i 1 i i 1 i i i u f ( xi , y j ) Dh h i i ， 2 2 hx hy u j j， ( xi , y j ) Dh i i