第2章 过程特性及其数学模型

0.1 0.1dt t 0.2t 0.5 0.5
2
t/h
为了测定某重油预热炉的对象特性，在某瞬间
（假定为t0=0）突然将燃料气量从0.5t/h增加到
3.0t/h，重油出口温度记录仪得到的阶跃反应曲
线如图所示。假定该对象为一阶对象，试写出描
述该重油预热炉特性的微分方程式，并写出燃料
量变化量为0.5t/h时温度变化量的函数表达式。
在实际系统或实验系统中，通过一组输 入来考察输出跟随变化的规律，获得反 映输入与输出关系的经验曲线和经验函
数关系，再对实验数据科学处理而求得
对象的微分方程。
数学模型的表示方法：
非参量模型：用曲线、图表表示的
系统输入与输出量之间的关系；
参量模型：用数学方程式表示。
§2.2 对象数学模型的建立
一阶对象：
1.机理分析法：通过分析过程的机理、
物料或能量平衡关系求得数学模型。
❖最基本关系：物料平衡和能量平衡
静态条件关系式：
单位时间流入对象的物料量或能量 =流出的
物料量或能量
动态条件关系式：
单位时间内进入系统的物料量或能量 － 单位
时间内流出的物料量或能量=系统内物料贮存
量的变化量
2.实验测定法：
被控对象的动态特性可用一阶 微分方程来表示。
积分对象：
二阶对象：
一.一阶对象first-order objects
1.以一阶水槽对象为例 干扰作用 Q1 h
控制作用
水槽
Q2
•稳定时，Q1=Q2 h不变。 在t=t0时 ，突然开大阀门1，Q1≠Q2 输入量Q1，输出量h 只找出
h(t ) f Q1 t
• K越小，反应越迟钝。
• K太大，会引起振荡；太小， 跟不上
响应。
注意
• 同一对象，不同输入量 对输出的影响不同
1 2 n
y
• 在生产中，各阀门对生产的影响不同 • 即：各输入量与被控变量之间的K不同。 （对象的各通道的K不同）
在设计控制方案时应注意
K对控制系统的影响
对象控制通道K0，希望K0适当大一些。 对象干扰通道K f，应愈小愈好。
h
t0
t
△h
t0
t
对象受到阶跃干扰后， h随时间变化的规律。
2．RC电路
R e
i
ei为输入参数， e0为输出参数
i
C
e0
根据基尔霍夫定律可得：
ei iR e0
de0 RC e0 ei dt
de0 T e0 ei dt
二.积分对象integral objects
当Q1变化时
举例
简单水槽
t T
h(t ) KQ1 1 e
当t=T时
h(∞) 0.632 h(∞) h(∞) t

h(T ) 0.632h()
T
T的物理意义
指当对象受到阶跃作用后，被控变量达到
新的稳态值的63.2%所需时间。
或当对象受到阶跃输入作用后，被控变量
不显著。
二. 时间常数T
蒸汽
蒸汽
∞
h t h t t/℃ t t/℃
∞
t
不同时间常数对象的反应曲线
结论
不同对象，输入变化时，输 出变化的快慢程度不同。
如何定量地
表示对象受 干扰后的这
在自动化领
域中，往往
用时间常数 T 来表示。
种特性呢？
T越大，对象受到输入作用后，y变化越慢，
达到新稳态值时间越长（惯性大）。
燃料量/（t/h)
3.0
2.5 t/min 燃料气的阶跃变化
温度/℃
150 145
120
2
8 t/min
出口温度反应曲线
解：出口温度为y，燃料量为x 数学模型：
dy (t 2) T y (t 2) Kx (t ) dt
y 150 120 30 h/t） K 60（℃· x 3.0 2.5 0.5
可近似认为动态基本结束
比较下面曲线时间常数
T T T
0
a
t 0
b
t
0
c
t
三.滞后时间τ
对象的滞后：
对象受到输入作用后，被控变量不能立即 而迅速地变化，这种对象的输出变化落
后于输入的现象。
传递滞后 分类
（根据滞后性质）
容量滞后
1．传递滞后（纯滞后）τ0
❖传递滞后：
对象受到输入作用时，其输出变量要经过 一段时间才开始变化
组 成
常见的对象
换热器、锅炉、精馏塔、反应器、贮 液槽罐、加热炉、流体输送设备等。
干扰作用 控制作用 （操纵变量） 输入变量： 输出变量：
对象 通道
被控变量
（输出变量）
1．通道：由对象的输入变量至输出变量的 信号联系。（通道不同，特性不同）
控制通道：操纵变量至被控变量的信号联系 干扰通道：干扰作用至被控变量的信号联系
2.被控对象的特性
在给被控对象一个输入作用下，其输出
变量是如何随着输入作用变化而变化， 变化的快慢及最终变化的数值等。

静态特性 动态特性
对象的数学模型：
用数学方法描述对象输入量与输出量 之间的关系。
静态数学模型 动态数学模型√
基础
静态模型
特例
动态模型
二.建立对象数学模型的方法 （有两种方法 ）

如果存在纯滞后，相当于干扰延迟了一 段时间才进入系统，而干扰的出现，本 来就是随机的，因此并不影响控制系统 的品质。 扰动通道中存在容量滞后，可使阶跃干 扰的影响趋于缓和，对控制系统是有利 的。

信号发生器
数据记录
f
控制器
X -
执行器
对象
y
检测变送
测试的对象特性连接图
本章作业
P33
8，9
如图RC电路中，已知R=5，C=2.试画出 ei突然由0阶跃变化到5V时的e0变化曲 线，并计算出t=T、t=2T、t=3T时的e0 值。
y Kx(1 e
t T
)
8 2 T
145 120 60 0.5(1 e
)
T=3.35min
dy (t 2) 3.35 y (t 2) 60 x(t ) dt
t 2 3.35
y 60 0.5(1 e
) 30 1 e
t T

t
水槽液位的变化曲线
h （） K Q1
wenku.baidu.com K的物理意义
对象受干扰作用，重新达到稳定状态 时的输出变化量和输入变化量之比。
y K x
是描述对象静态特性的参数。
如果有一定的输入变化量ΔQ1，通过对
象就被放大了K倍变为输出变化量Δh。 • K越大，输入量对输出量影响越大， 即被控变量对输入量的变化越灵敏；
τn
t
单个容量：纯滞后。 多个容量：纯滞后+容量滞后
滞后时间τ=τ0+τn
滞后时间τ对控制系统的影响
对对象的控制通道是不利的。
●
存在于控制参数方向，使其不能及时 地起控制作用； 存在于被控参数测量方向，控制器不 能及时觉察到偏差。 在设计和安装控制系统时，都
●
结论
应当尽量把τ减小到最小。
❖τ对对象的干扰通道
(Q1 Q12 )dt Adh 1
(Q12 Q2 )dt Adh2
令
T1 AR1
2
T2 AR2
K R2
d h2 dh2 T1T2 ( T T ) h KQ 2 1 2 1 2 dt dt
二阶常系数微分方程
2．二阶电阻电容电路
R1 R2 i2 C2
ei i1 R1 e
解：微分方程式：
e0
5 4 3 2 1 5 10 15 20 25 t
de0 RC e 0 ei dt
e0 ei (1 e
t T
)
T RC 5 2 10
e0 5(1 e
t 10
)
当t=T时， e0 5(1 e ) 3.16V
t=2T时， e 5(1 e 2 ) 4.33V 0 t=3T时，
第二章 过程特性及其数学模型
教学内容
化工过程的特点及描述方法
对象数学模型的建立
• 一阶对象 • 积分对象 • 二阶对象
描述对象特性参数
• 放大系数K • 时间常数T • 滞后时间τ
§2.1化工过程的特点及描述方法
一．概述
自动化装置 被控对象 测量元件与变送器 自动控制器 执行器 被控对象的特性往往是 确定控制方案的依据
在实际工艺系统中，通常采用比较
K值的方法来选择主要控制参数。
举例
1
冷剂量
变 换 炉
温 度
℃
1 2
煤气
2 3
蒸汽喷 变换气 射泵
换 热 器
3
蒸 汽
t 不同输入作用 时的被控变量 变化曲线
一氧化碳变换过程示意图
说明改变冷剂流量对被调参数温度影响
最大、最灵敏；
改变冷蒸汽流量对影响次之； 改变半水煤气量对被控参数温度影响最
t 2 3.35

❖τ0产生的原因：
一般是由于介质的传输、能量的传递、信号
的传送需要一段时间。
检测方案不合理。
加料斗 溶质 皮带输送机 稀 液
举例
x
浓度控制点 y ∞ 溶解槽 溶液 τ0
t
t
0
L

L——传送距离 υ——皮带输送机的传送速度
举例
TT
TT
TT
L
蒸汽q
注意
水溶液
✦测量点选择不 当、检测元件安 装位置不合理 （如较远），信 号传递将会引起 较大的传递滞后， 造成控制系统控 制不及时。
ei 输入 输出 对象 e0
§2.3 描述对象特性的参数
教学内容
• 描述对象特性的参数、物理意义
及对自动控制质量的影响
对象的特性常用三个物理量来表示
放大系数K 时间常数T 滞后时间τ
一.放大系数K
举例 Q t0 h ∆h t0 ∆Q1 t
简单水槽
h KQ1 1 e
1
e0 5(1 e ) 4.75V
3
已知一个简单水槽，其截面积为0.5M2，
水槽中的液体由正位移泵抽出，即流出流
量是恒定的。如果在稳定的情况下，输入
流量突然由原来的基础上增加了0.1m3/h，
试画出水槽液位△h的变化曲线。
解： h 1 Qdt 1
A
△h/m 0.4 0.2 1
Adh Q1dt
Q2为常量
d(Q2)=0
1 h Q1 dt A
A为储槽横截面积
三．二阶对象second-order objects
1．二阶水槽为例
Q1 h1 R1 Q12 R2 Q2
h2
串联水槽对象
输入量 Q1 输出量 h2 需找出
h2 (t ) f Q1 t
储槽横截面积为A
e0
（1） （2） （3）
e i i1
e i2 R2 e0
de i1 i2 C1 dt
de0 i2 C 2 dt
C1
串联阻容电路
（4）
T1 R1C1
T12 R1C2
2
T2 R2 C2
K 1
d e0 de0 T1T2 2 (T1 T12 T2 ) e0 Kei dt dt
A为水槽面积 R s —水阀阻力系数
dh Rs A h Rs Q1 dt
dh T h KQ1 dt
一阶常系数微分方程
T—时间常数 k—放大系数
假定Q1为阶跃干扰 设t＜0时 Q1=0；t≥0，Q1=常数
Q1
△Q1
h(t ) KQ1 1 e
t T

安装成分分析仪器时，要尽量避免。
2.容量滞后τn
❖容量滞后（或过渡滞后）：
对象受到输入作用时，输出变量开始变化 很慢，后来才逐渐加快，再之后又逐渐变 慢直到达到稳定值。
h
拐点
τn T t
❖产生的原因:
由于物料或能量的传递需要通过一 定阻力而引起的。
它是多容过程所固有的特性。
h
h
拐点
τn
T
t
τ0
如果保持初始速度变化，达到新的稳态值
所需的时间。
T是反映被控变量变化快慢的动态参数。
T对控制系统的影响
干扰通道Tf越大，干扰对被控变量y
的影响越迟缓，控制越容易。
控制通道T，适当小，使控制及时，
过渡时间短。
从理论上讲，当t=∞，才有h=KA。
但，当t=3T时，
h(3T ) 0.95h()