高等数学思想方法

高等数学思想方法

第一章函数与极限

主要的思想方法:

(1)函数的思想

高等数学的核心内容就是微积分,而函数就是微积分的主要研究对象。我们在运用微积分解决实际问题时,首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系,这就是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程,体现的就是科学的抽象就是数学的一个思维方法与主要特征。

(2)极限的思想

极限的思想方法就是微积分的基础。极限就是变量在无限变化过程中的变化趋势,就是一个确定的数值。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势,即函数或者数列的极限,这就是一种重要的数学思想方法。

第二章导数与微分

主要的思想方法:

(1)微分的思想

微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化,一般地,求导的过程就称为微分;导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中可瞧出,在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现,而这也就是微积分的一个基本思想。

(2)数形结合的思想

书本中在引入导数与微分概念时,也讨论了它们的几何意义,这显然更好地帮助我们理解这两个概念。通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容就是高等数学中常用的方法,这就是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。

(3)极限的思想

不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。

(4)逻辑思维方法

在本章中,归纳法(从特殊到一般),分类(整合)法等逻辑思维方法都得到了充分的体现,理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。

第三章中值定理与导数的应用

主要的思想方法:

导数本质上就是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型,它实质上反映了函数在该点处的局部变化性态;而中值定理则就是联系函数局部性质与整体性质的“桥梁”,利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质,具体表现为在理论与实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点

处的导数与函数在该区间整体性质的关系。

导数就是一种工具,而中值定理(微分基本定理)则就是微分学的理论基础,它更加深刻地揭示了可导函数的性质。一方面,在中值定理及其推导过程中,不仅用到了演绎,分析,分类等数理逻辑方法(锻炼提升逻辑思维能力),而且包含了一些具体的数学方法,如辅助函数的构造(凑导数法,几何直观解题法,常数替代法,倒推法,乘积因子法),这就要求我们要培养直觉思维,发散思维等创新思维;另一方面,导数在解决实际问题中的应用广泛,这要求我们要有应用数学的意识。

第四章不定积分

主要的思想方法:

积分法就是微分法的逆运算,即已知函数的导数,求原函数问题(由一个函数的导数求这个函数)。

不定积分的积分法:

(1)直接积分法:直接或将被积函数恒等变形后利用基本积分公式与不定积分的性质求积分;

(2)换元积分法:1、第一类换元法(凑微分法);2、第二类换元法(主要有三角代换,根代换,倒代换);

(3)分部积分法;

(4)几种特殊类型函数的积分:有理函数的积分,三角函数有理式的积分,简单无理函数的积分;

(5)其它常见的积分方法:拆项法,加减项法,同乘以(或除以)一因式法,降次法,先凑微分后化为同名函数法等。

第五章定积分

主要的思想方法:

定积分的几何意义就是函数f(x)在区间[a,b]的图形与x轴所界定区域的面积。定积分完整地体现了积分思想——一种认识问题,分析问题,解决问题的思想方法,定积分的概念借助极限工具,以一种结构式的形式严格定义,理解掌握这种通过“分割”,“近似”。“求与”,“取极限”的数学思想对后面重积分,曲线积分与曲面积分的学习有重要作用。定积分与微分学不仅就是高等数学的重要内容,也就是研究科学技术问题的数学工具。

“分割”,“近似”,“求与”,“取极限”所反映出来的积分思想就是微积分的核心思想。

第六章定积分的应用

主要的思想方法:

定积分的应用实质上就是运用定积分理论来分析与解决一些几何与物理学中的问题。

定积分解决实际问题的方法:

(1)根据定积分的定义,利用分割,近似替代,求与,取极限这四个步骤来推导出所求量的积分表达式;

(2)“元素法”:将实际问题(几何,物理)转化为定积分,如计算平面区域的面积,平面曲线的弧长,用截面面积计算体积,计算旋转体的体积,计算变力做功等。

在本章的学习中可以增强我们的应用数学的意识并且有助于我们提高我们应用定积分解决实际问题的能力。

第七章空间解析几何与向量代数

主要的思想方法:

空间解析几何借助于空间坐标,建立空间的曲面曲线方程,利用代数方法研究图形的几何性质;向量代数在高等数学中为空间解析几何服务,它实质就是作为一种研究空间图形性质的重要工具。空间解析几何与向量代数就是学习多元函数微积分的基础,学习这部分知识的主要目的就是为研究多元函数微积分理论提供一个直观的空间几何图形。

借助向量研究空间图形的性质,建立空间图形的方程,这就是本章中体现的一种重要的数学思想方法,我们要树立应用向量这一重要的数学工具研究与解决问题的意识;此外本章中最基本的数学思想就是“数形结合”的思想。

第八章多元函数微分学

主要的思想方法:

多元函数微分学就是一元函数微分学理论的推广与发展,因此运用类比的思想方法来学习这一章内容会起到事半功倍的作用。我们要培养类比思想这一创新的思维。

第九章重积分

主要的思想方法:

本章中着重讨论的二重积分与三重积分的理论就是多元函数积分学的重要内容。重积分与定积分一样,都就是某种特殊形式与的极限,基本思想就是“分割,近似,求与,取极限”,定积分的被积函数就是一元函数,积分区域就是一个确定的区间,而二,三重积分的被积函数就是二,三元函数,积分区域就是一个平面有界闭区域与一个空间有界闭区域,因此重积分就是一元函数定积分的推广与发展。

重积分的计算方法中体现的基本思想就是:将重积分化为累次积分,而化为累次积分的关键就是由被积函数的积分区域的特性来确定定积分的次序与积分限。

第十章曲线积分与曲面积分

主要的思想方法:

曲线积分与曲面积分就是多元函数积分学的重要组成部分,对弧长的曲线积分与对面积的曲面积分就是定积分与二重积分的直接推广,两者又均有物理学背景,因此它们在解决几何与物理学的实际应用问题中有重要作用。在计算上,