第三章 常见的概率分布率

1
u 1u2
e 2 du
2
正态分布的曲线图
fN (y)
0.4
0.3
68.27%
0.2
0.1
95.45%
0.0
2 2
图4.6 正态分布曲线图
(平均数为 ，标准差为 )
fN(u)
0.4
0.3
68.27%
0.2
0.1
95.45%
0.0
u
-3 -2 -1 0 1 2 3
图4.7 标准正态分布曲线图
第三章 几种常见的概率分布律
3.1 二项分布-----离散型概率分布 率(binomial distribution) 例1、某射击手命中概率0.9,连续 射四次，恰好命中0、1、2、3、4 的概率。
3.1.1二项分布的概率函数
如果在一次试验中某事件发生的概率为φ， 那么在n次实验中（独立重复试验）恰好发 生x次的概率。
4.1 .1 样本平均数的分布
➢若总体服从正态 N(, 2) ，则样本 的平均数 xn 也服从正态 N(, 2 n )。
平均数正态分布与样本容量的关系
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-3
-2
-1
n=9
n=4
n=1
0
1
2
3
（X- μ）/ σ/√n 服从 N（0，1） -----u分布
拐点落在 -处
拐点落在 一个处
以平均数和标准差不同的正态分布系列曲线
正态分布
68-95-99.7规则
4、随机变量在(a,b)区间内的概率
b
P(a≤x<b)=
f (x)dx
a
P(a x b) FN (b) FN (a)
fN(y)
A=P(a<y<b)
正态分布密度函数的积分说明图面积A=P(a<y<b)
例2
在江苏沛县调查336个m2小地老虎虫危害 情况的结果， =4.73头， =2.63，试问样 本容量n=30时，由于随机抽样得到样本平 均数 等于或小于4.37的概率为多少？
2、σ未知时的平均数x的分布
标准差未知时样本平均数的分布服从t分布 (t-distribution )
（X- μ）/ s /√n 服从t分布
不同自由度的t分布密度曲线
图4-13 不同自由度的t分布密度曲线
t分布表的使用
当df=15时，两尾概率等于0.05的临界t值 为?
意义
临界t值2.131 P(-∞<t<-2.131)= P(2.131<t<+∞)
=0.025 P(-∞<t<-2.131)+ (2.131<t<+∞)=0.05
双侧临界值
以平均数和标准差不同的正态分布系列曲线
总体和样本的关系
参数与统计量 parameter and statistic
参数：总体的统计指标，如总体均数、标准差，
采用希腊字母分别记为μ、σ。
统计量：样本的统计指标，如样本均数、标准
差，采用英文字母分别记为 x、s 。 参数
附近波动的随机变量 。
生物统计研究的内容
正态曲线较大
概率分布函数
F(x) 1
(x)2
x
e
2 2
dx
2
3、正态分布特征 ? (normal distribution )
特征
①以平均数为对称轴，左右对称 ②系列曲线 ③正态分布曲线与x轴间的面积为1 ④一个标准差处有拐点， f(x)是非负函数 不会与X轴相交
正态曲线的拐点
图5-1 | t|≥2.426的两尾概率
t分布表的使用
df=9，P( t<3.25)=? P(t>1.833)=? P( I t I >0.883)=?
ab
F(b)
A=F(b) -F(a) F(a)
正 无穷大
图4.11 正态分布的累积函数FN (y) 长度A=P(a＜y≤b)
以平均数和标准差不同的正态分布系列曲线
3.4.2 标准正态分布 (standard normal distribution )
标准化 Standardization
U x
(平均数 为0，标准差 为1)
3.4.3正态分布表查法
设u服从标准正态分布，则u在[u1,u2 ）何内 取值的概率为： Φ(u2)－Φ(u1) Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。
正交表查法练习
例1 u=-0.82及u=1.15时的Φ(u)值
常见关系
P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5 P(u≥u1) =Φ(-u1) P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1) P(｜u｜＜u1＝＝1-2Φ(-u1) P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)
1头感染。设各头家畜没有相互传染疾病的 可能，问：应该如何评价这两种疫苗?
（--）二项分布的生物学应用：
1.预测后代分离比及基因组合。 例1、4对独立基因自由组合，后代3个显性 基因5个隐性基因概率？
2 推断所需群体和样本大小
例1、小麦自然变异概率φ=0.0045 (1)调查100株，获两株或两株以上变异株
2 正态分布的概率密度函数
(x)2
f (x)
1
e 2 2
2
由σμ决定图形, σ越大越分散
正态分布两个参数
μ是位置参数 μ愈大，则曲线沿x轴愈向右移动； μ愈小，曲线沿x轴愈向左移动。
σ是变异度参数， σ愈大，x 的取值愈分散， 曲线愈“胖”； σ愈小，x的愈集中在μ附近，曲线愈“瘦”。
记为 x～N(μ,σ2)。
2、参数
理论 平均数 average
μ=nφ 标准差 standard deviation
σ2=nφ（1-φ）
3.4 正态分布(normal distribution )
连续型随机变量的概率分布 continuous random variable 1 定义:
两头少,中间多且对称分布
正态分布图
的概率，介乎26和40区间的概率以及大于 40的概率。
0.020 f N ( y)
0.016
0.020 f N ( y)
0.016
0.012
0.008
P(y 26) 0.2119
0.004
0.000
10
15
20
25
30
35
40
45
0.020
fN (y)
wk.baidu.com
0.016
P(26 y 40) 0.7654
0.012
0.012
P(y 40) 0.9773
0.008
0.004
0.000
10
15
20
25
30
35
40
45
0.020
fN (y)
0.016
P( y 40) 0.0227
0.012
0.008
0.008
0.004
0.004
0.000
10
15
20
25
30
35
40
45
0.000
10
15
20
25
30
概率？ （2）期望以0.99概率获得1株或1株以上变 异株至少需调查多少株？
3、预测后代表现型分离比及概率
例1 1对基因，后代表现型2种，分离比3：1， 2对基因，后代表现型4种，分离比9：3：3：1 3对基因，后代表现型8种，分离比？
三、二项分布的形状和参数
1、二项分布形状
Pn(X)=CnX φx(1- φ)n-x 图形由n、φ决定 A φ=1/2 对称 B φ>1/2 最高点偏右 C φ<1/2最高点偏左
例2、已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝? (2) P (u≥2.58)=? (3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =?
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例3
P（-1≤u＜1）= P（-2≤u＜2）= P（-3≤u＜3）= P（-1.96≤u＜1.96）= P (-2.58≤u＜2.58)=
35
40
45
图4.12 概率计算图示
例5
x服从N(82.3,1.752),求 (1)小麦株高95%的正常范围 (2)株高>85cm的概率?
例5
例4 小麦株高x服从N(156.2,4.822),求 (1)X<161cm的概率? (2)X>164cm的概率? (3)X在152~162之间的概率?
中心极限定理 (central limit theorem)
标准正态分布 (standard normal distribution)
μ=0,σ2=1 记作u～N(0，1)，记为N(0,1) u 称 为 标 准 正 态变量或标准正态离 差(standard normal deviate)
概率密度函数及分布函数
ψ(u)
(u)
1
u2
e2
2
Φ(u)，
(u)
例4
豌豆红花纯合基因AA,白花纯合基 因aa,杂交后F2后代 红花：白花 =3：1 , 每次随机观察4株。共观 察100次，则红花0株，1株，2株， 3株，4株的次数各多少？
例5
设在家畜中感染某种疾病的概率为20％，
现有两种疫苗，用疫苗A 注射了15头家畜 后无一感染，用疫苗B 注射 15头家畜后有
概 率 ， 等 于服 从 标 准 正 态 分 布 N(0,1) 的 随 机 变 量u 在 [(x1-μ)/σ, (x2-μ)/σ）内取值的概率 上下限作适当变换(标准化(standardization ))，
u=(x-μ)／σ
例4
假定X是一随机变数具有正态分布，平均数 30，标准差 5，试计算小于26，小于40
σ2为未知如果以样本均方S2估计σ2 ，则其标准化离差为：
正态分布
t (x ) (x )
Sx S / n
u (x ) x
式中，S 为样本标准差，n 为样本容量。
t分布的特点
（1）左右对称 t=0 （2）t分布受自由度(degree of freedom ) n-1 影响 （样本容量） （3）t顶部偏低，尾部偏高?
从总体N（ μ ，σ2）中抽出的样本，其样 本平均数 x 服从正态分布 N (μ , σ2/n)
临界值
单侧临界值 上侧临界值 ua 下侧临界值 -ua
双侧临界值 ua/2 ua(双)
中心极限定理 (central limit theorem)
从总体N（ μ ，σ2）中抽出的样本，其样 本平均数 x 服从正态分布 N (μ , σ2/n)
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.5
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.4 P(1.96 u 1.96) 0.95
0.3
0.2
0.1
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
图4.13 离均差的绝对值≤1 , 2 和1.96 的概率值
一般正态分布的概率计算
正态分布N(μ,σ2)的随机变量x 在 [ x1 ，x2 ） 内 取 值 的
总体
抽取部分观察单位 样本
推断inference
参数
统计量
总体和样本的关系
总体
随机样本1 2
……
3
无穷个样本
第四章 抽样分布 (sampling distribution )
4.1 .1 样本平均数的分布 4.2.2 样本标准差的分布
大数法则 law of large numbers
➢ 由平均数 的总体随机抽样，随着样
几种概率
关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记： P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973
P（-1.96≤u＜1.96）=0.95 P (-2.58≤u＜2.58)=0.99
0.5
0.4 P(1 u 1) 0.6827
0.5
P(2 u 2) 0.9545
Pn(X)=CnX φx(1- φ)n-x
应用条件:①每次试验结果互斥 ②试验之间互相独立 ③每次试验概率恒定
Pn (k) Ckk p k q nk
n
(q p)n Cnk pk qnk
k 0
相比较就可以发现，事件A发生x次的概率
恰好等于 展开式中的第k+1项，所以称作
二项概率公式 。
二项分布性质
本容量的增加，样本平均数越接近总x 体
的均数 。 ➢ 样本平均数的这种行为称为大数法则
(law of large numbers)。
大数法则
n
33
前 32
31
个 30 样 29 本 28 的 27 均 26 数 25
24 23 22
1
5 10
50 100 500 1000 5000 10000
Number of observations, n
σ/√n –平均数的标准误差 (standard error of mean )
μ x = μ ，σ x =σ2/n
例1
小麦株高服从正态分布μ =110cm, σ=10cm.
现随机抽一株 问 （1）x>112cm的概率？ （2）抽取n=36的样本，则样本的平均数株 高X>112cm的概率？ （3）抽取n=100的样本， X>112cm的概率
1、P(X=x)= Pn(x) (X=0,1,…，n)
2、二项分布的概率之和等于1
生物学中离散型随机变量
入孵n枚种蛋的出雏数 n头病畜治疗后的治愈数 n 尾鱼苗的成活数等
例2
例2、生男生女的概率为50%，某 一医院连续生30个男孩概率。
例3
• 纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗 传理论 ， 子二代中白猪与黑猪的比率为 3∶1。求窝产仔10头，有7头白猪的概率。