误差分布与精度指标

§2-1 随机变量的数字特征
一、随机变量 在一定范围内以一定的概率分布随机取值的 变量。（表示随机现象各种结果的变量） 离散型：在一定区间内变量取值为有限个
类型
连续型：在一定区间内变量取一切值。
若X是一个随机变量,则以X为自变量的函数 Y=f(X)称为随机变量X的函数。随机变量函数 也是随机变量。
误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
要求： 理解偶然误差的统计规律；掌 握精度等概念及衡量精度的几个指 第二章 误差分布与精度指标 标。 重点： 偶然误差的规律性，精度的含义 以及衡量精度的指标。
第二章 误差分布与精度指标
授课内容：
2-1 随机变量的数字特征 2-2 正态分布 2-3 偶然误差的规律性 2-4 衡量精度的指标 2-5 精度、准确度与精确度 2-6 测量不确定度 综合练习题
( ) x f (xd )x 则数学期望为：EX

§2-1 随机变量的数字特征
1 数学期望 ⑶ 数学期望的性质(运算规则)
E(C) C; C为常数 E(CX ) CE( X ); E( X Y ) E( X ) E(Y ); X , Y 独立 E( XY ) E( X )E(Y ).
25.235
25.565
产品X尺寸(mm)
概率密度函数具有以下性质 (1) f(x)≥0, －∞<x<＋∞; (2)
（ 3 ）对任意的 a b 有 P a X b f ( x ) dx
b a



f (x) dx 1
§2-1 随机变量的数字特征
五、随机变量的数字特征 分布函数: 全面描述随机变量 X取值的 F ( x ) P ( X x ) 统计规律。但是，在实际问题中分布函数的确 定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需 要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数 字特征就够了。
则
f ( x)称为
f 性质：1°
2°
X 的概率密度。
( x ) ≥0 ．
f (x)dx 1 ．

例 某产品的规定尺寸为25.40cm, 某批产品的最小尺 寸为25.20cm,最大尺寸为25.60cm.现从这批产品中任 取100件,得到100个测量值.计算得如下数据表:
分组
组距： 0.3mm 25.23-25.26 25.26-25.29 25.29-25.32 25.32-25.35 25.35-25.38 25.38-25.41 25.41-25.44 25.44-25.47 25.47-25.50 25.50-25.53 25.53-25.56 个数 1 2 5 12 18 25 16 13 4 2 2 频率 0.01 0.02 0.05 0.12 0.18 0.25 0.16 0.13 0.04 0.02 0.02 频率密度 0.03 0.07 0.17 0.40 0.60 0.83 0.53 0.43 0.13 0.07 0.07
设随机变量X 的一切可能取值为x1、...、xn、...,且
pn=P(X=xn)，n=1、2、...，称此公式为X 的概率分
布或分布列。
X 或者 P x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn ... ...
) 离散型随机变量分布函数： F(x
x x k
pk
例
X
P
1
2
3
1/6
4
1/6
§2-1 随机变量的数字特征
二、随机变量的分布函数
设X是一个随机变量，对任意实数x，令
F ( x ) P { X x }, ( x )
称F(x)为随机变量X 的分布函数(累计分布函数) 。
F(x)的值域为：[0，1]
§2-1 随机变量的数字特征
三、离散型随机变量的概率分布
建立频率柱形图如下:
频率 组距
频 率 频 率 密 度 组 距
1
2
25.23
25.56
产品X尺寸(mm)
当n无限增大,组距无限减小时,频率分布直方图就会 无限接近一条光滑曲线,此即为随机变量X的概率密度 曲线,以该曲线为图形的函数称为X的概率密度函数.记 为X～f(x).
频率 组距
频 率 lim 概 率 密 度 n 组 距 l 0
1 数学期望
随机变量X 取值的概率平均值，记作E(X )，称 为数学期望(又称均值，简称期望)。
§2-1 随机变量的数字特征
1 数学期望 ⑴ 离散型随机变量X的分布律为
P ( X x ) pi 1 , 2 , ) i i (
(X) x 则数学期望为： E ip i
i 1
源自文库

⑵ 连续型随机变量X 的分布密度函数为 f(x)
5
1/6
6
1/6
,
1/6 1/6
求分布函数
解
F ( x)． 0 , 1 / 6 , 2 /6 , F (x) 3 / 6 , 4 /6 , 5 /6 , 1 ,
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 6
y
· 。 。 。 。 。 。

i 1 2
p i
D ( X ) x E ( X ) x d x f()
2

§2-1 随机变量的数字特征
2 方差 ⑵ 方差的意义 描述随机变量X的取值偏离平均值的平均偏 离程度，体现随机变量取值的分散程度 D(X)值大, 表示X 取值分散程度大, E(X)的代 表性差; D(X)值小, 则表示X 的取值比较集中,以E(X) 作为随机变量的代表性好。
· · · · · ·
1
o 1 23 4 5 6
x
§2-1 随机变量的数字特征
四、连续型随机变量的概率密度
设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) ，如果存在 一个非负函数 f ( x )，使对于任意的实数 x ，有
F (x )
x
f (x )d x ，
x
§2-1 随机变量的数字特征
2 方差 ⑴ 方差的定义 随机变量X的方差记为D(X ) ，其定义为
2 2 = ( X )= D ( X ) E { [ XE ( X ) ] } X
2
称 D 为 (X) X 的标准差或均方差。 X 离散型随机变量X的方差： DX ( ) EX ( ) x i 连续型随机变量X的方差：