齐次线性方程组解的结构精品PPT课件

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0 1 0
,
3
0
0 1
.
故原方程组的通解为 x c11 c22 c33 ，
其中c1,c2,c3 为任意常数。
例 1 ·求下面齐次线性方程组的一个基 础解系 。
x1 x2
- 3x 4 0
4xx1
1
-
x2 2x
2
2x3 - x 4 6x3 3x 4
0 0
1
2x1 4x2 - 2x3 4x 4 0
A1 2 A1 A2 0
（2）若 x 1 为Ax 0 的解，k为实数，则 x k1 也是 Ax 0 的解．
Ak1 kA1 k0 0.
推广： 齐次线性方程组的解的线性组合
k11 k22 knn
都是方程组的解
湘潭大学数学学院 岳慧
3
2. 基础解系
当 r( A) n时，有无穷解, 其解向量为 n 维向量. 故这无穷个解必存在一个极大线性无关组
阶梯形矩阵
定自由 未知量 初等行
变换
非零行数 = 未知量个数 ？ 否
简化 阶梯形矩阵
方程组有无穷多解 可写出一般解 自由未知 量适当取值 基础解系
是
线性组合
方程组有唯一零解
写出全部解
14
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
x1 x2 x3 4 x4 - 3 x5 0 ,
例
求解线性齐次方程组
2x1x1-x2x23
3x3 5x4 - 5 x3 - 2x4 - x5
x5
0,
0
,
3 x1 x2 5 x3 6 x4 - 7 x5 0 .
1 1 1 4 - 3
1 0 2 1 - 2
解
A
2 1
3
1 -1 1
定义1. 齐次线性方程组解的集合的一个极大线性 无关组，称为该方程组的一个基础解系.
若1,2 ,,t是齐次线性方程组 Ax 0的基础解系,则 (1)1,2 ,,t是Ax 0的一组线性无关 的解;
(2)Ax 0的任一解都可由 1,2 ,,t线性表出.
即方程组的通解就是
湘潭大学数学学院 岳慧 x k11 k22 ktt
一. 齐次线性方程组解的结构
1. 解向量 齐次线性方程组 Ax 0,
若 x1 11, x2 21,, xn n1 为方程Ax 0 的解，则
11
x
1
21
n1
称为方程组的解向量.
湘潭大学数学学院 岳慧
2
（1）若 x 1, x 2 为 Ax 0的解，则 x 1 2
也是 Ax 0 的解.
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
1 2 2 1
1 0 - 2 - 5/ 3
r3 - r2 r2 (-3)
0 0
1 0
2 0
4/ 3
r1 - 2r2
0
0
0
1 0
2 0
4/ 3
0
(2)
由标准阶梯形得到方程组为
x1 x2
2 x3 2 x3
(5 / (4 /
3) x4 3) x4
0, 0.
(3) 由此得到方程组的解： (4) 写成向量形式为:
x1 2c1 (5 / 3)c2
x2 -2c1 - (4 / 3)c2
x3
c1
x 4
c2
其中 c1,c2 任意取值。
x1
x2
x
3
x 4
c1
-
2 2
01
c2
-
5 / 3 4/3
0 1
故原方程组的通解为
x c11 c22 ，
1 1 0 - 3 1 - 1 2 - 1
4 2
-2 4
6 -2
3 4
1 1 0 - 3 0 - 2 2 2
00
0 0
0 0
1 0
1 1 0 - 3 0 - 2 2 2
0 0
-6 2
6 -2
15 - 10
1 0 1 0 0 1 -1 0
0 0
0 0
0 0
1 0
4
定理4.6.2. 当 r (A) < n 时，齐次线性 方程组的基础解系含有 n-r 个解向量.
湘潭大学数学学院 岳慧
5
例 求解齐次线性方程组
解 (1) 对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形
1 A 2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 - 2 - 3
r2 - 2r1 r3 - r1
1 0 0
3 3 5
5 -2 6
- 5 初等行变换 0
-1 - 7
0 0
1 0 0
-1 0 0
3 0 0
-1
0 0
由于 n - r( A) 5 - 2 3 , 故方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量。
得到方程组的一个基础解系为
- 2
- 1
2
1
- 3
1
1
1 0 0
,
2
代入xx12
-c1 c1
x
4
0
x 3 c1
故原方程组的通解为
x c11
其中c1为任意常数 .
例 2 ·求下面齐次线性方程组的一个 基础解系 。
x1 - 2x3 3x3 - 4x4 0 x2 - x3 x 4 0 x1 3x2 x4 0
齐次线性方程组求全部解的图示：
系数矩阵 初等行变换