平新乔十八讲答案第七讲
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16求证：在竞争型的市场中，如果一个厂商的生产技术具有规模报酬不变的特性，那么如果最大利润存在，它一定为零．
证明：厂商生产技术规模报酬不变，意味着它没有固定成本；因此，当最大利润为负时，厂商可以选择生产规模为零，使得利润为零．又假设最大利润大于零，那么考虑这个厂商将生产规模扩大一倍．根据竞争性市场的假设，这时产出价格不会变化，总收益为原来的两倍，同时（仍根据竞争性假设）要素价格也不会变化，它和厂商技术规模报酬不变一起决定了总成本等于原来的两倍，这就意味着利润等于原来利润的两倍，也就是说，最大利润如果存在，它不可能大于零．综上，如果最大利润存在，它一定为零．
[注]我假设是我们在经济学课本里面经常看到的成本曲线图．边际成本下降之后上升，然后与平均成本曲线相交于平均成本的最低点，此后边际成本均大于平均成本，并同时上升．下同．
14.2当边际成本上升时，平均成本必上升．
答：不一定．从上题的角度，此时 ，但是因为有固定成本 使得 的符号不能确定．
15对于生产函数 ， ， ．计算利润最大化的利润函数、供给函数．并判断利润函数是否满足课本上讲过的性质1到4．
， ．
每个工厂在各自拥有的资本存量方面却不同．工厂1拥有 ，工厂2拥有 ． 与 的租金价格由 元给出．
9.1如果该企业家试图最小化短期生产总成本，则产出应如何在两个工厂分配？
解：厂商的最大化问题是
．
其一阶条件为
．
代入约束条件，得到 ，
因此， ， ．
9.2给定在两个工厂间的最优产量分配，计算短期总成本、平均成本与边际成本曲线．产量为100、125与200时的边际成本为多少？
2已知成本函数为 ，求厂商供给函数 与利润函数 ．
解：厂家利润最大化一阶条件是 ，由此得到供给函数 ，以及利润函数
3下列说法对么？为什么？
函数 可以成为一个利润函数．
答：不对．因为该函数对 不是一次齐次函数，因此它不可以成为一个利润函数．
4在一篇著名的论文里（J. Viner:“Cost Curves and Supply Curves”.Zeitschrift fur Nationalokonomie3 (September 1931): 23–46），维纳批评他的绘图员不能画出一组SATC曲线，并令其与U型AC线的切点也分别是每一条SATC线的最低点．绘图员抗议说这种画法是不可能做出的．在这一辩论中，你将支持哪一方？
解：由上题知 ，
所以 ，同时 ， ．
因此，产量为100、125与200时的边际成本分别为 ，2和 ．
9.3在长期，应如何在两个工厂间分配产量？计算长期总成本、平均成本与边际成本．
解：设两个工厂的的长期总成本为 ，长期边际成本 ，又设总产量为 ，令 ， ，那么厂商的问题是确定一个 值，使 最小．
其一阶条件为 ，因为技术呈现规模报酬不变， 不变，因此任意 均满足该条件，使得总成本最低．
解：此时， ， ， 与 时的短期成本分别为 ， ， ．
它们分别与 切于 、 和 ，因此 是以上短期成本曲线的包络线．
11下列说法对吗？为什么？
因为利润最大化是成本最小化的充分条件，所以要素需求函数具有条件要素需求函数的所有性质．
说明：对．与利润最大化是成本最小化的充分条件对应，要素需求函数就是产量最优时的条件要素需求函数，因此要素需求函数具有条件要素需求函数的所有性质．
解：两者在短期平均成本曲线最低点相交．当多生产的一单位产品的成本低于平均成本时，平均成本下降；而多生产的一单位产品的成本多于平均成本时，平均成本上升．因此，当多生产一单位产品的成本（即边际成本）等于平均成本时，平均成本最低．
9一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品．每个工厂生产相同的产品而且每个工厂的生产函数都是
5.1纪教授必须花费多少小时，以完成一本具有下列页数的书：150页？360页？450页？
解：将 与 代入 ，得到纪教授必须花费的时间分别为 小时， 小时和 小时．
5.2一本150页的成书的边际成本是多少？300页的书的边际成本是多少？450页的书的边际成本是多少？
解：当 时，该书的生产成本函数为
．
它的边际成本为
19.1平均成本在任何地方都递减，意味着边际成本在任何地方都递减．
反例：考虑平均可变成本存在最低点，且存在固定成本的情况．这使得边际成本先与平均可变成本最低点相交，然后与平均成本最低点相交．很明显在于平均成本相交之前，边际成本是递增的，而平均成本递减．图形可以参考十八讲122的图7.2．[检查到这里]
19.2成本函数呈次可加性意味着平均成本在任何地方都递减．
反例：如果说成本函数次可加性是定义为存在 ， … ，使得 ，那么一个反例就是可以假设一个离散的生产技术．因为递减是建立在函数的连续性上的，因此一个离散的生产函数在满足成本次可加性（这很容易找到）的同时，却没有平均成本的递减．
20学习曲线的出现与规模报酬递增是一回事么？如果不是，请说明两者之间的区别．
答：不是．学习曲线属于累积产量对当期成本函数本身的影响，而规模报酬递增是产量（流量）增大时，成本函数呈现的一种性质．
21有学者对美国化工行业的平均成本 ，行业的累积产量 ，以及企业平均规模 做了回归．其计算结果如下：
21.1请你对上述计算结果作出经济解释．这里，什么的学习曲线效应，什么是规模经济效应？它是多少？
解： ， ．
因此，当 时，令 ，得到 ，当 时，令 ，得到 ．
综上， ．
13.2
解：因为 ，
因此成本函数 ．
13.3
解：
s.t.
一阶条件满足
．
代入生产函数得 ， ，其中
所以 ．
14下列说法对么？为什么？
14.1当边际成本下降时，平均成本必下降．
答：记 是固定成本．若 在 上连续．记 ，那么 ，其中 （因为边际成本下降），那么有 ，因此有 ，所以平均成本下降．
17说明生产者剩余也能由如下运算得出：
．
这里 是市场给出的价格，企业是价格接受者．
说明：无法说明．这仅仅在企业边际成本在 上非减才会成立．
18假定一个从事非法复制计算机光碟的厂商有如下每日短期总成本函数：
18.1如果非法复制的计算机光碟每盘卖20元，则这个厂商每天生产多少？它的利润是多少？
解：令厂商短期边际成本等于20，即 ，得到厂商每天生产10张光碟，其利润为每天75元．
8假定某曲棍球生产厂商的生产函数是
．
在短期，厂商的资本装备数量固定为 ． 的租金价格为 元， 的工资率为 元．
8.1计算厂商的短期总成本曲线
解： ．
8.2厂商的短期边际成本函数是什么？如果生产25个曲棍球棒，则厂商的短期平均成本与短期边际成本是多少？若生产数量分别为50、100与200时，它们又是多少？
解：利润最大化的一阶条件为
，其中 ， 为要素 的价格， 为产出价格．
解得， ， ，（ ）． ．其中 为供给．
对性质一的验证：
．
对性质二的验证：
．
对性质三的验证：
对性质四的验证：
．
有 ；
， ， ； ， ， ．
由此得到， 为半正定矩阵，即 对 和 是凸函数．
对性质五的验证：
对 和 可导以及霍泰林引理的验证在对性质一和二的验证中已经完成．
解：厂商的要素需求函数为
， ．
因此长期总成本为 ，平均成本和边际成本恒为 ．
7.2假定 在短期内固定为10，计算：厂商的短期总成本、平均成本与边际成本，第10单位的边际成本是多少？第50单位呢？第100单位呢？
解：厂商的短期生产函数为
．
因此，当 时
，
，
．
由此，可以得到第10和第50单位的边际成本为0.3，而第100个单位是无法达到的，这时我们可以认为它的边际成本为正无穷大．
[注]在9.4中写出的一阶条件确实与9.3的相同，9.4把条件写全是因为当 时确实可能出现 的情况，因为我们不知道LMC的具体形式．
10假定某曲棍球棒厂商的生产函数是
而资本在短期固定为 ． 、 的租金分别为 和 ．
10.1计算厂商的总成本为 ， ， 和 的函数．
解：当 时， ，此时厂商的短期总成本为
[注]本题解答仅作参考．个人认为这道题中的“所有性质”需要有个更明确的界定．
12函数 可以成为一个成本函数么？（这里 是工资率， 是利率， 为产量．）并请陈述您的理由．
答：因为违反了成本关于要素价格具有一次齐次性的要求，它不可以成为一个成本函数．
13推导成本函数 ，当生产函数分别为以下形式时．
13.1
成本函数为 ，而产量可以在两个厂任意分配．平均成本 ，边际成本 ．
9.4如果两个工厂呈现规模报酬递减，则3将会有什么变化．
解：因为两个工厂均呈现规模报酬递减，则它们的长期边际成本随各自的产量增加而单调递增．9.3中的一阶条件仍可用于确定分配比例
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
我加上了下标1和2，以说明这两个LMC并非同一个函数．
．
代入 代入上式，得边际成本分别是4美元，8美元和12美元．
6假定厂商生产函数为柯布-道格拉斯生产函数，有
，其中
厂商可以在竞争性投入市场购买租金价格分别为 与 的任意数量的 与 ．
6.1证明成本最小化要求
．
该厂商的生产扩张线的形状是什么？
证明：成本最小化要求 ，代入 ， ，即得到结论．
因为 ，因此该厂商的生产扩张线是一条射线．
6.2假定成本最小化，证明总成本可以表示为下述的关于 ， 与 的函数．
这里， 是依赖于 与 的常量．
证明：代 入 中，得到
，解出
．
将 代入 ，得到
．
因此生产成本就可以表示为
．
令 ，则得到欲证结论．
7假定厂商固定要素比例的生产函数如下
资本与劳动的租金价格分别为 ， ．
7.1计算厂商的长期总成本、平均成本与边际成本．
答：学习曲线效应是等式右边第一项，行业累积产量增加1%，平均成本下降0.387%．而规模经济效应是右边第二项，企业规模每增加1%，平均成本则下降0.173%．
21.2这项研究对于你研究中国工业行业中的学习曲线效应与规模报酬效应有什么启发？若你想做这样的研究，应该首先确定哪些供给指标？对统计数据先做什么样的处理？
我支持绘图员．如果AC与所有SATC线最低点相切，那么它将有多个斜率为零的点，根据微分中值定理，这意味AC上存在多个二阶导数为零的点．又AC是U型，即至多有一个二阶导数等于零的点．这两者是矛盾的．
5施教授与纪教授将出版一本新的初级教科书．作为真正的科学家，他们提供了写作该书的生产函数如下
，
其中 完成该书的页码数， 施教授将要支出的工作时间（小时）数， 纪教授花费的工作小时数．施教授认为其每小时工作价值为3美元，他花费了900小时准备初稿．纪教授的每小时工作价值为12美元，并将修改施教授的初稿以完成此书．
答：因为没有学过计量，不敢妄下结论．
平新乔《微观经济学十八讲》答案
EatingNoodles
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第
1已知生产函数为 ，求利润函数 ，并用两种方法求供给函数
解：由厂家利润最大化的一阶条件 ， ，求得要素需求函数
， ．
此时厂商的利润函数为
．
厂商的供给函数为 ，该供给函数也可以通过利润函数对 求偏导得到．
解： ， ．由此可得当生产数量分别为50、100和200时，短期平均成本分别为2.5，2和2.5，短期边际成本分别为1，2和4．
8.3 画出厂商的短期成本曲线和短期边际成本曲线．标出2中所求的点．
8.4短期边际成本曲线与短期平均成本曲线在何处相交？解释为什么短期边际成本曲线将通常交于短期平均曲线的最低点．
18.2当 元时，厂商的短期生产者剩余是多少？
解：其生产者剩余等于利润加固定成本，由上题结果知其利润为75元，固定成本25元，因此生产者剩余为100元．
18.3写出这个厂商的生产者剩余作为非法光碟价格的一般表达式．
解：由边际成本等于价格 ，得 ，那么利润为 ，加上固定成本得到生产者剩余 ．
19给出下列论断不成立的反例．
．
10.2给定 ， 与 ，资本投入应如何加以选择以使成本最小？
解：令 ，得到 ．
10.3用你在2中求得的结果去计算曲棍球棒生产的长期总成本．
解：令 中 ，就可以得到曲棍球棒生产的长期总成本为 ．
10.4对于 美元， 美元，试画出曲棍球棒生产的长期总成本曲线．运用 ， 与 证明它是由1所算出的短期成本曲线的包络线．
证明：厂商生产技术规模报酬不变，意味着它没有固定成本；因此，当最大利润为负时，厂商可以选择生产规模为零，使得利润为零．又假设最大利润大于零，那么考虑这个厂商将生产规模扩大一倍．根据竞争性市场的假设，这时产出价格不会变化，总收益为原来的两倍，同时（仍根据竞争性假设）要素价格也不会变化，它和厂商技术规模报酬不变一起决定了总成本等于原来的两倍，这就意味着利润等于原来利润的两倍，也就是说，最大利润如果存在，它不可能大于零．综上，如果最大利润存在，它一定为零．
[注]我假设是我们在经济学课本里面经常看到的成本曲线图．边际成本下降之后上升，然后与平均成本曲线相交于平均成本的最低点，此后边际成本均大于平均成本，并同时上升．下同．
14.2当边际成本上升时，平均成本必上升．
答：不一定．从上题的角度，此时 ，但是因为有固定成本 使得 的符号不能确定．
15对于生产函数 ， ， ．计算利润最大化的利润函数、供给函数．并判断利润函数是否满足课本上讲过的性质1到4．
， ．
每个工厂在各自拥有的资本存量方面却不同．工厂1拥有 ，工厂2拥有 ． 与 的租金价格由 元给出．
9.1如果该企业家试图最小化短期生产总成本，则产出应如何在两个工厂分配？
解：厂商的最大化问题是
．
其一阶条件为
．
代入约束条件，得到 ，
因此， ， ．
9.2给定在两个工厂间的最优产量分配，计算短期总成本、平均成本与边际成本曲线．产量为100、125与200时的边际成本为多少？
2已知成本函数为 ，求厂商供给函数 与利润函数 ．
解：厂家利润最大化一阶条件是 ，由此得到供给函数 ，以及利润函数
3下列说法对么？为什么？
函数 可以成为一个利润函数．
答：不对．因为该函数对 不是一次齐次函数，因此它不可以成为一个利润函数．
4在一篇著名的论文里（J. Viner:“Cost Curves and Supply Curves”.Zeitschrift fur Nationalokonomie3 (September 1931): 23–46），维纳批评他的绘图员不能画出一组SATC曲线，并令其与U型AC线的切点也分别是每一条SATC线的最低点．绘图员抗议说这种画法是不可能做出的．在这一辩论中，你将支持哪一方？
解：由上题知 ，
所以 ，同时 ， ．
因此，产量为100、125与200时的边际成本分别为 ，2和 ．
9.3在长期，应如何在两个工厂间分配产量？计算长期总成本、平均成本与边际成本．
解：设两个工厂的的长期总成本为 ，长期边际成本 ，又设总产量为 ，令 ， ，那么厂商的问题是确定一个 值，使 最小．
其一阶条件为 ，因为技术呈现规模报酬不变， 不变，因此任意 均满足该条件，使得总成本最低．
解：此时， ， ， 与 时的短期成本分别为 ， ， ．
它们分别与 切于 、 和 ，因此 是以上短期成本曲线的包络线．
11下列说法对吗？为什么？
因为利润最大化是成本最小化的充分条件，所以要素需求函数具有条件要素需求函数的所有性质．
说明：对．与利润最大化是成本最小化的充分条件对应，要素需求函数就是产量最优时的条件要素需求函数，因此要素需求函数具有条件要素需求函数的所有性质．
解：两者在短期平均成本曲线最低点相交．当多生产的一单位产品的成本低于平均成本时，平均成本下降；而多生产的一单位产品的成本多于平均成本时，平均成本上升．因此，当多生产一单位产品的成本（即边际成本）等于平均成本时，平均成本最低．
9一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品．每个工厂生产相同的产品而且每个工厂的生产函数都是
5.1纪教授必须花费多少小时，以完成一本具有下列页数的书：150页？360页？450页？
解：将 与 代入 ，得到纪教授必须花费的时间分别为 小时， 小时和 小时．
5.2一本150页的成书的边际成本是多少？300页的书的边际成本是多少？450页的书的边际成本是多少？
解：当 时，该书的生产成本函数为
．
它的边际成本为
19.1平均成本在任何地方都递减，意味着边际成本在任何地方都递减．
反例：考虑平均可变成本存在最低点，且存在固定成本的情况．这使得边际成本先与平均可变成本最低点相交，然后与平均成本最低点相交．很明显在于平均成本相交之前，边际成本是递增的，而平均成本递减．图形可以参考十八讲122的图7.2．[检查到这里]
19.2成本函数呈次可加性意味着平均成本在任何地方都递减．
反例：如果说成本函数次可加性是定义为存在 ， … ，使得 ，那么一个反例就是可以假设一个离散的生产技术．因为递减是建立在函数的连续性上的，因此一个离散的生产函数在满足成本次可加性（这很容易找到）的同时，却没有平均成本的递减．
20学习曲线的出现与规模报酬递增是一回事么？如果不是，请说明两者之间的区别．
答：不是．学习曲线属于累积产量对当期成本函数本身的影响，而规模报酬递增是产量（流量）增大时，成本函数呈现的一种性质．
21有学者对美国化工行业的平均成本 ，行业的累积产量 ，以及企业平均规模 做了回归．其计算结果如下：
21.1请你对上述计算结果作出经济解释．这里，什么的学习曲线效应，什么是规模经济效应？它是多少？
解： ， ．
因此，当 时，令 ，得到 ，当 时，令 ，得到 ．
综上， ．
13.2
解：因为 ，
因此成本函数 ．
13.3
解：
s.t.
一阶条件满足
．
代入生产函数得 ， ，其中
所以 ．
14下列说法对么？为什么？
14.1当边际成本下降时，平均成本必下降．
答：记 是固定成本．若 在 上连续．记 ，那么 ，其中 （因为边际成本下降），那么有 ，因此有 ，所以平均成本下降．
17说明生产者剩余也能由如下运算得出：
．
这里 是市场给出的价格，企业是价格接受者．
说明：无法说明．这仅仅在企业边际成本在 上非减才会成立．
18假定一个从事非法复制计算机光碟的厂商有如下每日短期总成本函数：
18.1如果非法复制的计算机光碟每盘卖20元，则这个厂商每天生产多少？它的利润是多少？
解：令厂商短期边际成本等于20，即 ，得到厂商每天生产10张光碟，其利润为每天75元．
8假定某曲棍球生产厂商的生产函数是
．
在短期，厂商的资本装备数量固定为 ． 的租金价格为 元， 的工资率为 元．
8.1计算厂商的短期总成本曲线
解： ．
8.2厂商的短期边际成本函数是什么？如果生产25个曲棍球棒，则厂商的短期平均成本与短期边际成本是多少？若生产数量分别为50、100与200时，它们又是多少？
解：利润最大化的一阶条件为
，其中 ， 为要素 的价格， 为产出价格．
解得， ， ，（ ）． ．其中 为供给．
对性质一的验证：
．
对性质二的验证：
．
对性质三的验证：
对性质四的验证：
．
有 ；
， ， ； ， ， ．
由此得到， 为半正定矩阵，即 对 和 是凸函数．
对性质五的验证：
对 和 可导以及霍泰林引理的验证在对性质一和二的验证中已经完成．
解：厂商的要素需求函数为
， ．
因此长期总成本为 ，平均成本和边际成本恒为 ．
7.2假定 在短期内固定为10，计算：厂商的短期总成本、平均成本与边际成本，第10单位的边际成本是多少？第50单位呢？第100单位呢？
解：厂商的短期生产函数为
．
因此，当 时
，
，
．
由此，可以得到第10和第50单位的边际成本为0.3，而第100个单位是无法达到的，这时我们可以认为它的边际成本为正无穷大．
[注]在9.4中写出的一阶条件确实与9.3的相同，9.4把条件写全是因为当 时确实可能出现 的情况，因为我们不知道LMC的具体形式．
10假定某曲棍球棒厂商的生产函数是
而资本在短期固定为 ． 、 的租金分别为 和 ．
10.1计算厂商的总成本为 ， ， 和 的函数．
解：当 时， ，此时厂商的短期总成本为
[注]本题解答仅作参考．个人认为这道题中的“所有性质”需要有个更明确的界定．
12函数 可以成为一个成本函数么？（这里 是工资率， 是利率， 为产量．）并请陈述您的理由．
答：因为违反了成本关于要素价格具有一次齐次性的要求，它不可以成为一个成本函数．
13推导成本函数 ，当生产函数分别为以下形式时．
13.1
成本函数为 ，而产量可以在两个厂任意分配．平均成本 ，边际成本 ．
9.4如果两个工厂呈现规模报酬递减，则3将会有什么变化．
解：因为两个工厂均呈现规模报酬递减，则它们的长期边际成本随各自的产量增加而单调递增．9.3中的一阶条件仍可用于确定分配比例
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
我加上了下标1和2，以说明这两个LMC并非同一个函数．
．
代入 代入上式，得边际成本分别是4美元，8美元和12美元．
6假定厂商生产函数为柯布-道格拉斯生产函数，有
，其中
厂商可以在竞争性投入市场购买租金价格分别为 与 的任意数量的 与 ．
6.1证明成本最小化要求
．
该厂商的生产扩张线的形状是什么？
证明：成本最小化要求 ，代入 ， ，即得到结论．
因为 ，因此该厂商的生产扩张线是一条射线．
6.2假定成本最小化，证明总成本可以表示为下述的关于 ， 与 的函数．
这里， 是依赖于 与 的常量．
证明：代 入 中，得到
，解出
．
将 代入 ，得到
．
因此生产成本就可以表示为
．
令 ，则得到欲证结论．
7假定厂商固定要素比例的生产函数如下
资本与劳动的租金价格分别为 ， ．
7.1计算厂商的长期总成本、平均成本与边际成本．
答：学习曲线效应是等式右边第一项，行业累积产量增加1%，平均成本下降0.387%．而规模经济效应是右边第二项，企业规模每增加1%，平均成本则下降0.173%．
21.2这项研究对于你研究中国工业行业中的学习曲线效应与规模报酬效应有什么启发？若你想做这样的研究，应该首先确定哪些供给指标？对统计数据先做什么样的处理？
我支持绘图员．如果AC与所有SATC线最低点相切，那么它将有多个斜率为零的点，根据微分中值定理，这意味AC上存在多个二阶导数为零的点．又AC是U型，即至多有一个二阶导数等于零的点．这两者是矛盾的．
5施教授与纪教授将出版一本新的初级教科书．作为真正的科学家，他们提供了写作该书的生产函数如下
，
其中 完成该书的页码数， 施教授将要支出的工作时间（小时）数， 纪教授花费的工作小时数．施教授认为其每小时工作价值为3美元，他花费了900小时准备初稿．纪教授的每小时工作价值为12美元，并将修改施教授的初稿以完成此书．
答：因为没有学过计量，不敢妄下结论．
平新乔《微观经济学十八讲》答案
EatingNoodles
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第
1已知生产函数为 ，求利润函数 ，并用两种方法求供给函数
解：由厂家利润最大化的一阶条件 ， ，求得要素需求函数
， ．
此时厂商的利润函数为
．
厂商的供给函数为 ，该供给函数也可以通过利润函数对 求偏导得到．
解： ， ．由此可得当生产数量分别为50、100和200时，短期平均成本分别为2.5，2和2.5，短期边际成本分别为1，2和4．
8.3 画出厂商的短期成本曲线和短期边际成本曲线．标出2中所求的点．
8.4短期边际成本曲线与短期平均成本曲线在何处相交？解释为什么短期边际成本曲线将通常交于短期平均曲线的最低点．
18.2当 元时，厂商的短期生产者剩余是多少？
解：其生产者剩余等于利润加固定成本，由上题结果知其利润为75元，固定成本25元，因此生产者剩余为100元．
18.3写出这个厂商的生产者剩余作为非法光碟价格的一般表达式．
解：由边际成本等于价格 ，得 ，那么利润为 ，加上固定成本得到生产者剩余 ．
19给出下列论断不成立的反例．
．
10.2给定 ， 与 ，资本投入应如何加以选择以使成本最小？
解：令 ，得到 ．
10.3用你在2中求得的结果去计算曲棍球棒生产的长期总成本．
解：令 中 ，就可以得到曲棍球棒生产的长期总成本为 ．
10.4对于 美元， 美元，试画出曲棍球棒生产的长期总成本曲线．运用 ， 与 证明它是由1所算出的短期成本曲线的包络线．