函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法

1.判断具体函数单调性的方法

对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：

1.1 定义法

首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有

(1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数；

(2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。

给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：

（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <；

（2）作差)()(21x f x f -；

（3）变形（普遍是因式分解和配方）；

（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；

（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。

例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。

证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则

).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=-

由于04

3)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()

+∞∞-,上是减函数。

例2.用定义证明函数x

k x x f +=)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则

)()()()(2

21121x k x x k x x f x f +-+=-)()(2121x k x k x x -+-= )()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2

12121x x k x x x x --=， 又210x x << 所以021<-x x ，021>x x ，

当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f +

=)( )0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。

此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。

1.2 函数性质法

函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：

函数函数表达式单调区间特殊函数图像

一

次

函数

)0

(≠

+

=k

b

kx

y

当0

>

k时，y在R上是增函数；

当0

<

k时，y在R上是减函数。

二次函数

c

bx

ax

y+

+

=2

)

,

,

,0

(R

c

b

a

a∈

≠

当0

>

a时，

a

b

x

2

-

<时y单调减,

a

b

x

2

-

>时y单调增；

当0

<

a时，

a

b

x

2

-

<时y单调增，

a

b

x

2

-

>时y单调减。

反

比

例函

数

x

k

y=

R

k∈

(且0

≠

k)

当0

>

k时,y在0

<

x时单调减，在0

>

x

时单调减；

当0

<

k时,y在0

<

x时单调增，在0

>

x

时单调增。

指数函数

x

a

y=

)1

,0

(≠

>a

a

当1

>

a时，y在R上是增函数；

当1

0<