误差理论与数据处理第六版答案

第1章绪论
1-1 研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答：
研究误差的意义
（1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。

（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。

（3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下，得到理想的结果。

误差理论的主要内容：
（1）讨论形成误差的原因；
（2）各类误差的特征及处理方法；
（3）对测量结果进行评定。

1-2 试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？
答1：
测量误差的定义：误差＝测得值－真值。

测量误差的分类：随机误差、系统误差和粗大误差。

各类误差的特点：
（1）随机误差：服从统计规律，具有对称性、单峰性、有界性和抵偿性；
（2）系统误差：不服从统计规律，表现为固定大小和符号，或者按一定规律变化；
（3）粗大误差：误差值较大，明显地歪曲测量结果。

答2：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。

1-3 试述误差的绝对值与绝对误差有何异同，并举例说明。

答1：
相同点：都是测量值与真值之差。

不同点：误差的绝对值都是正值，而绝对误差有正、有负，反映了测得值与真值的差异。

例：某长度的绝对误差为－0.05mm，而该误差的绝对值为|－0.05|mm＝0.05mm。

答2：
(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。

+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。

(2)就测量而言，前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定。

1-4 什么叫测量误差？什么叫修正值？含有误差的测定值经修正后，能否获得被测量的真值？ 答：
（1）测量误差：测得值与被测量真值之差。

（2）修正值：为消除固定系统误差用代数法加到测量结果上的值，是误差的相反数。

（3）经修正后仍然不能得到被测量的真值，理由是修正值本身也含有误差。

1-5 测得某三角块的三个角度之和为180°00＇02＇＇，试求测量的绝对误差和相对误差。

解：真值为180°
绝对误差：21802000180''=︒-'''︒
相对误差：
%.000310066018021802='
'⨯⨯'
'=︒'' 1-6 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm ，已知其最大绝对误差为1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？
解：因为L ＝50mm ，δ＝0.001mm
所以()0010000500..L L ±=±=δmm
1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力的100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差是多少？
解：以100.5Pa 未约定真值，则二等标准活塞压力计测量值的绝对误差和相对误差为
绝对误差：100.2Pa －100.5Pa ＝－0.3Pa 相对误差：
% (305)
1003
0= 1-8 在测量某一长度时，读数为2.31m ，其最大绝对误差为20μm ，试求其最大相对误差。

解：最大相对误差为
%.m
.m
m .m 0008703121020312206=⨯=-μ
1-9 使用凯特摆时，g 由公式()2
2124h h g +=π给定。

今测出长度（h 1＋h 2）为（1.04230±0.00005）
m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。

试求g 及其最大相对误差。

如果（h 1＋h 2）测出为（1.04220±0.00005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2，T 的测量必须精确到多少？
解：设l ＝（h 1＋h 2），则2
24T
l
g π= （1）810490480
204230
1141593442222....T l g =⨯⨯==πm/s 2
（2）根据相对误差的概念：()l f l l +=10，()T f T T +=10 其中：f l 、f T 分别为l 和T 的相对误差，如此有：
()()
()T l T l f f T l f T f l T l g 21411442
00
22200222++≈++==πππ 所以g 的相对误差为：
%.....f f f T l g 05100480
20005
020423010000502=⨯+=
+=
（3）要求0010.g ≤∆m/s 2，且（h 1＋h 2）＝（1.04220±0.00005）m 根据T l g f f f 2+=以及g
g
f g ∆=
可得
0000480104220
9001
0...g
g
f g ==
=
∆
因此()000026021
.f f f l g T =-=
又T
T
f T ∆=，故000050.Tf T T ==∆s 。

所以，T 的测量必须精确到0.00005s 。

1-10 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？
解：因为最大误差为2V ，故该表的引用误差为
%.%522100
2
<= 所以该电压表示合格的。

1-11 为什么在使用微安表等各种电表时，总是希望指针在全量程的2/3范围内使用？ 答：对于一个确定的电表，其等级是一定的，此时
最大绝对误差：%s x x m m ⨯±=∆ 最大相对误差：%s x
x x
x r m
m
x ⨯±
==
∆ 由此可见，随着x （测量读数）增大，相对误差减小，超过2/3之后，最大相对误差在可接受范围内。

所以总是希望指针在全量程的2/3范围内使用。

1-12 用两种方法分别测量L 1＝50mm ，L 2＝80mm 。

测得值各为50.004mm 、80.006mm 。

试评定两种方法测量精度的高低。

解：由于使用两种不同的方法，测量的是两个不同的长度，故只能用相对误差进行比较。

L 1：004050004501..=-=δmm ，
51
1
10850
004
0-⨯==
.L δ L 2：006050006802..=-=δmm ，
52
2
105780
006
0-⨯==
..L δ 即：
2
2
1
1
L L δδ>
，所以对L 2的测量精度较高。

1-13 多级弹道火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.1km ；在射击场中，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心。

试评述哪一个射击精度高？ 解：多级弹道火箭：
%..001010000
1
0=
射手：
%..02050
01
0= 比较结果表明，多级弹道火箭的射击精度较高。

1-14 若用两种测量方法测量某零件的长度L 1＝110mm ，其测量误差分别为±11μm 和±9μm ；而用第三种测量方法测量另一种零件的长度L 2＝150mm ，其测量误差为±12μm ，是比较三种测量方法精度的高低。

解：第一、二种方法测量的是同一个零件的长度，因此，可以直接用其绝对误差进行比较。

根据题意，第二种测量方法精度高于第一种。

第三中采用了其它方法，测量的是另一零件的长度，因此，用相对误差进行比较 因为
0000801501200008201109.mm
m
.mm m =>=μμ。

所以，第三种方法的测量精度最高，第二种次之，
第一种最低。

1-15 某量值y 由被测量x 表示为x x y 24-=，若x 的相对误差为1%时，求y 的相对误差是多少。

解：设x 的相对误差为f x ，则x ＝x 0（1+f x ）
()()
x x f x f x y +-+=12
1400
()()x x f x f x +-
+=12
140
()x f x x 212400+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=
所以，y 的相对误差为2f x ＝2%。

1-16 如何根据测量误差的特点来减小或消除测量误差？
答：（1）随机误差：由于具有抵偿性，可通过多次测量的算术平均值减小或消除测量误差。

（2）系统误差：A.找出系统误差产生的原因，从根源上消除；B 。

找出系统误差的变化规律，在最后结果中加以修正。

（3）粗大误差：直接从测量数据中剔除掉。

1-17 什么是有效数字及数字舍入有哪些规则？
答：（1）有效数字：含有误差的任何近似数，若其绝对误差界是最末位数的半个单位，则从这个近似数左方起的第一个非零数字称为第一位有效数字。

且从第一位有效数字起到最末一位数止的所有数字，无论是零还是非零的数字，都叫有效数字。

（2）数字舍入规则：
A.若舍去部分的数值大于保留部分的末尾的半个单位，则末尾加1。

B.若舍去部分的数值小于保留部分的末尾的半个单位，则末尾不变。

C.若舍去部分的数值等于保留部分的末尾的半个单位，则末尾凑成偶数，即末尾为偶数时不变，末位为奇数时加1。

1-18 根据数据运算规则，分别计算下是结果：
（1）3151.0＋65.8＋7.326＋0.416＋152.28＝？ （2）28.13×0.037×1.473＝？ 解：
（1）以65.8为基准，其余各数多取一位，则有
原式＝3151.0＋65.8＋7.33＋0.42＋152.28＝3376.83≈3376.8 （2）以28.13为基准，其余各数多取一位，则有 原式＝28.13×0.037×1.473＝1.041×1.473=1.5334≈1.53
1-19 在测量实践中有效数字的作用以及它与测量精度的关系如何？试举例说明之。

第2章 误差的基本性质与处理
2.1试述标准差σ、平均误差θ和或然误差ρ的几何意义？
答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 N 维空间的一个点到一条直线的距离的函数； 从几何学的角度出发，平均误差可以理解为 N 条线段的平均长度；
2.2试述单次测量的标准差σ和算术平均值的标准差x σ，两者的物理意义及实际用途有何不同? 答：单次测量标准差指测量列的标准差，描述的是测量列各测量点偏离测量列平均值的程度，计算可以通过贝塞尔公式得到；算术平均值标准差指不考虑系统误差的情况下测量列的平均值偏离真实值的程度；它们之间的关系可以用公式获得。

2.3 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在[σσ2,2+-]中的概率？
2.4 测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g ）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。

【解】】①选参考值00.2360=x ，计算差值00.2360-=-=∆i i i x x x x 、0x ∆和残差i v 等列于表中。

43.26343.000.26300=+=∆+=x x x
43.08
1
8
10=∆=∆∑=i i
x
x
或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得：)(43.236/1
g n l
x n
i i
==
∑=
②计算标准差：用贝塞尔公式计算:)(0599.01
80251.01
1
2
g n v n
i i ==
∑=
--=σ
2.5 用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-4的标准差，并比较之。

【解】（1）用别捷尔斯法计算
)(0687.0253.1253
.17
841.0)
1(1
g n n v n
i i
=⨯
=∑=⨯-=σ
（2）用极差法计算
8个测量数据的极差为：17.034.23651.23643m in m ax =-=-=-=x x x x n ω
查教材P20表2-4，n=8时85.2=n d
0596.085.217
.0===n
n d ωσ(g)
（3） 最大误差法计算
8个测量数据的最大残差为：09.04m ax
==v v i
查教材P20表2-5，n=8时，'
/1n k ＝0.61
0549
.061.009.0'max
=⨯==
n
i
k v σ
2.6 测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA ）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50，试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

【解】①选参考值x 0=168.5，计算差值5.168-=∆i i x x 、0x ∆和残差i v 等列于表中。

或依算术平均值计算公式，n=5，直接求得：488.1685
1==
∑i
x
x （mA ）
②计算标准差：用贝塞尔公式计算：0823.04
02708.01
5
1
2
==
∑=
-=n v i i σ ( mA)
［若用别捷尔斯法计算：0930.0253.1253
.14
5332
.0)
1(5
1
==∑=⨯-=n n v i i
σ］ ［用极差法计算：n=5时dn=2.33，0815.033
.240.16859.168===
-n
n
d ωσ (mA) ］ 下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误差数据：
或然误差：0549.00823.032
32=⨯=≈σρ ( mA )； 平均误差：06584.00823.054
5
4=⨯=≈σθ ( mA) 算术平均值的标准差x σ：037.05
0823
.0==
=
n
x σ
σ
算术平均值或然误差R ：0247.0037.03232=⨯=≈x R σ ( mA) 算术平均值平均误差T ：0296.0037.05
454=⨯=≈x T σ ( mA) 2.7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位为mm ）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。

若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。

【解】】
①求算术平均值x ：0015.20/50075
.1001
===∑=n x x
n
i i (mm) ②求残余误差：各次测量的残余误差依次为0，0.0001，0.0003，0，-0.0004。

③求测量列单次测量的标准差
用贝塞尔公式计算：000255.01
510261
8
1
2
==
∑=
-⨯--=n v n
i i σ（mm ）
用别捷尔斯公式计算：000244.0253.1253
.14
50008.0)
1('
1
==∑=⨯-=n n v n i i
σ（mm ）
④求算术平均值的标准差
000144.05
000255
.0==
=
n
x σσ；0001.05
000244
.0''==
=
n
x σσ
⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差
因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录表1正态分布积分表，得置信系数t=2.6。

故：
单次测量的极限误差：
00066.0000255.06.2lim =⨯=±=σδt x
算术平均值的极限误差：0003.0000144.06.2lim =⨯=±=x t x σδ
⑥求得测量结果为：0003.00015.20lim ±=±=±=x t
x x x x σδ（mm ）
2.8 对某工件进行5次测量，在排除系统误差的条件下，求得标准差σ=0.005mm ，若要求测量结果的置信概率为95%，试求其置信限。

【解】因测量次数n=5，次数比较少，按t 分布求置信限（极限误差）。

已知：P=95%，故显著度α=1－P ＝0.05；而自由度ν＝n －1＝5－1＝4。

根据显著度α=0.05和自由度ν查附录表3的t 分度表，得置信系数ta=2.78。

所以算术平均值的置信限为：00622.078.25
005.0lim ±=⨯±=±=x t x
σδα（mm ）
2.9 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差σ=0.004mm ，若要求测量结果的置信限为±0.005mm ，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。

【解】① 若测量误差符合正态分布规律
已知置信概率：P=99%， 查正态分布表有：t=2.6， 则置信限为：005.06.2004.0lim ±=⨯±=±=±=n
n x t
t x
σ
σδ（给定值）
求得：n=4.32，取n=5.
② 若测量误差符合t 分布
已知置信概率：P=99%，则显著度α=0.01， 由置信限：005.0lim ±≤±=±=n
x t t x
σ
α
ασδ 有关系： 125.125.1+=≤v n t α
当显著度α=0.01时，ν=7，查t 分度表，有ta=3.50，满足上述等式。

即求得：n=ν+1=8为必要的测量次数。

2.10 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ=0.001mm ，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm ，而置信概率P 为0.95时，应测量多少次。

【解】本题与2-9相似。

① 若测量误差符合正态分布规律
已知置信概率：P=0.95，查正态分布表有：t=1.96， 则极限误差为：0015.09.1001.0lim ±=⨯±=±=±=n
n x t
t x σ
σδ（给定值）
求得：n=1.7，取n=2. ② 若测量误差符合t 分布
已知置信概率：P=0.95，则显著度α=0.05， 由极限误差：0015.0lim ±≤±=±=n
x t t x
σ
α
ασδ 有关系：15.15.1+=≤v n t α
当显著度α=0.05时， ν=3，查t 分度表，315.118.3=+>=v t α（不合要求）
ν=4，查t 分度表，354.315.178.2=+<=v t α（满足要求）
即求得：n=ν+1=4+1=5 为必要的测量次数。

2-11 已知某仪器测量的标准差为0.5m μ。

①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为26.2025mm ，试写出测量结果。

②若重复测量10次，测得值（单位为mm ）为
26.2025，26.2028，26.2028，26.2025，26.2026，26.2022，26.2023，26.2025，26.2026，26.2022， 试写出测量结果。

③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。

【解】
①若按正态分布，σδt x ±=lim ，x x x lim δ±=，取t=3
mm x x x )0015.02025.26(lim ±=±=δ
②若按正态分布，σδt x ±=lim ，x x x lim δ±=; 单次测量的标准差0005.0=σ
mm
算术平均值的标准差n
x
σ
σ=
=0.000158mm
算术平均值的极限误差x t x σδ±=lim =0.000474mm
因此，取t=3，测量结果：mm x x x )0005.02025.26(lim ±=±=δ。

③根据贝塞尔公式1
10
1
2
-∑==n v i i σ，可以求得
单次测量的标准差1
10
1
2
-∑=
=n v i i σ
=0.000216025mm=0.000216mm 算术平均值的标准差n
x
σ
σ=
=0.000683mm
单次测量的极限误差σδt x ±=lim 算术平均值的极限误差x t x σδ±=lim
因此，取t=3，对①，测量结果：mm x x x )0006.02025.26(lim ±=±=δ 对②，测量结果：mm x x x )0002.02025.26(lim ±=±=δ 。

2.12 某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为10252
3.85，102391.30，102257.97，10212
4.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。

【解】
由计算加权算术平均值及其标准差的公式直接计算。

加权算术平均值为：
)(34.1020283425.10202836
33
.36730202
468753136
.101591269.101724401.101858633.101991865.102124797.10257530.102391385.10252311
1a p x p p x m
i i
m
i i
i ≈===∑∑=
+++++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==
加权算术平均值的标准差的计算，先求各测量结果的残余误差（见上表中）： 算术平均值的标准差为：
∵
147
.1905077)98.436(2)65.303(4)33.170(6)01.37(831.96763.229596.362351.49512222
222221
=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=i
m
i i v p
∴
)(95.8636)18(147.1905077)
1(1
2
a p m v p x p i
m
i
i
m
i i i ==
∑∑=
⨯--=σ
2-13测量某角度共两次，测得值为6331241'''= α，''24'13242
=α，其标准差分别为
8.13,1.321''=''=σσ，试求加权算术平均值及其标准差。

【解】：961:190441
:
1
:2
2
2
1
21==σσp p
''35'1324961
19044'
'4961''1619044''20'1324
=+⨯+⨯+
=x
''0.3961
1904419044
''1.32
1
≈+⨯
==∑=i i
i
x
x p
p i
σσ
2-14甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角α各重复测量5次，测得值如下：
;5127,0227,5327,037,0227:''''''''''''''' 甲α
;5427,0527,0227,5227,5227:''''''''''''''' 乙α
试求其测量结果。

【解】甲：20"60"35"20"15"
72'72'30"5
x ++++=+
=甲
σ甲
18.4"=
x "
8.23"σσ=
=
=甲 乙：25"25"20"50"45"
72'72'33"5
x ++++=+
=乙
σ=
=
乙13.5"=
x 6.04"σ=
=
=乙 22
22
x x
1
1
11
::
:3648:67738.23 6.04p p σσ=
=
=乙
乙甲甲
364830"677333"
72'36486773
p x p x x p p +⨯+⨯=
=+++甲乙乙甲乙甲72'32"=
78.46773
36483648
32.8''=+⨯
''=+=乙
甲甲甲
p p p x x σσ
''15''32'273±=±= x x X σ
2.15试证明n 个相等精度测得值的平均值的权乘以任一个测量值的权。

2.16 重力加速度的20次测量具有平均值为9.811m/s 2、标准差为0.014m/s 2。

另外30次测量具有平均值9.802m/s 2、标准差为0.022m/s 2。

假设这两组测量属于同一正态总体。

试求此50次测量的平均值和标准差。

【解】已知20次测量的标准差σ1=0.014(m/s 2)，30次测量的标准差σ2=0.022(m/s 2)，由此可确定其权的大小。

22221
2
1111120.0140.022:::121:49p p σσ==
=
然后再按不精度测量有关公式直接计算。

50次测量的加权算术平均值：
2
2
11
2
1
1219.811499.802
12149
9.8084i i i
i p v p x ==⨯+⨯+∑=
==∑ (m/s 2) 50次测量的加权算术平均值的标准差：
1
0.0140.012x x σσ===
或：0.0220.012x
x σσ===
2.17 对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。

【解】先计算算术平均值：14.96x =。

各测量数据的残余误差分别为：
从表中可以看出：
10.26v =- 20.04v = 30.24v = 40.16v =-
50.54v = 60.36v =- 70.06v =- 80.16v =- 90.14v = 100.04v =
① 根据残余误差观察法：计算出的残余误差符号正负个数相同，且无显著变化规律，因此可判断该测量列无变化的系统误差存在。

② 采用不同公式计算标准差比较法。

按贝塞尔公式：
10.263σ=
=
=
用别捷尔斯法计算：
2 1.25
3 1.2530.264n
i
v σ∑===
令：2
1
0.2640.263 1.0041u σσ===+
0.6670.004u =
==，故无根据怀疑测量列存在系统误差。

③ 按残余误差校核法：前5个残余误差和与后5个残余误差的差值△为
510
1
6
0.4(0.4)0.8i j i j v v ==∆=-=-=∑∑
两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有系统误差。

（为什么会得出互为矛盾的结论？问题出在本题给出的数据存在粗大误差----这就提醒我们在判断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。

）
2.18 对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）：50.82，50.83，50.87，50.89，50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，
50.81。

试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。

【解法一】
用t 检验法进行检验
前4次测量的算术平均值： 14
50.8525x x ==∑
后6次测量的算术平均值： 16
50.7983y y =
=∑
2
2
14()0.00082
x i x x σ=-=∑ 2216()0.00105y i y y σ=-=∑
((50.8525 2.44t x y =-=-=
由ν=4+6-2=8及取α=0.05，查t 分布表，得ta=2.31。

因 2.44 2.31t t α=>=，可判断两组数据可能存在系统误差。

【解法二】用秩和检验法进行检验。

将两组数据按从小到大混合排列成下表：
已知：n 1=4，n 2=6；计算秩和T ：Tx=5.5+7+9+10=31.5，Ty=1+2+3+4+5.5+8=23.5(取测量次数较少一组的秩)
查表：T -=14，T +=30；
因：T=31.5> T +=30，可判断两组数据可能存在系统误差。

【解法三】用计算数据比较法检验。

两组数据的算术平均值和标准差分别为：
第一组数据：14
50.8525x x =
=∑； 0
0.033
x σ==
=
第二组数据：1
6
50.7983y y =
=∑； 10
0.035
y
σ
=
=
= [注：若以极差法计算标准差，计算结果也相近：
50.8950.82
1 2.060.034n
n
d ωσ-==
=； ''
50.8550.75
2 2.53
0.04n n
d ωσ-=
==] 两组数据算术平均值之差为：50.852550.79830.0542x y ∆=-=-=
其标准差为：0.0481σ=
==
因：0.05420.0962∆=<=，故两组数据间无系统误差。

（以上计算，本人经过多次推导，应该无误！解法三得出了与前两种方法互为矛盾的结论，原因何在？请同学们仔细分析。

）
（本人分析原因如下：①所给两组数据包含的误差并不是服从正态分布，因此不能用t 检验法检验；②解法三在计算标准差时，因测量次数少，用贝塞尔公式计算标准差误差大；极差法计算标准差也是要求测量误差服从正态分布；③解法二适合非正态分布的误差，得出的结论正确；④以上几种系统误差的判别法具有一定的适应范围，有局限性。

）
2.19 等精度测得某一电压10次，测得结果（单位为V ）为25.94，25.97，25.98，26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。

测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10次等精度测量，测得结果（单位为V ）为25.93，25.94，25.98，26.02，26.01，25.90，25.93，26.04，25.94，26.02。

试用t 检验法（取α=0.05）判断两组测量值之间是否有系统误差。

【解】计算两组测量结果的算术平均值：
26.001x = 25.971
y = 2
2
1
()
0.00155x
x
i
n x x σ=-=∑ 2
21()0.00215y y i n y y σ=-=∑
()
(26.001 1.48t x y =-=-=
由ν=10+10-2=18及取α=0.05，查t 分布表，得t a =2.1。

因 1.48 2.1a t t =<=，故无根据怀疑两组数据间存在线性系统误差。

2.20 对某量进行了12次测量，测得数据为20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。

【解】先计算算术平均值：20.125x =。

各测量数据的残余误差分别为：
① 根据残余误差观察法：计算出的残余误差有规律地递增，在测量开始与结束时误差符号相反，故可判断该测量列存在线性系统误差。

② 按残余误差校核法：前6个残余误差和与后6个残余误差的差值△为
612
1
7
0.260.260.52i j i j v v ==∆=-=--=-∑∑
两部分之差显著不为0，则有理由认为测量列中含有线性系统误差。

③ 采用不同公式计算标准差比较法。

按贝塞尔公式：10.054σ=
=
=
用别捷尔斯法计算：12
2 1.25
3 1.2530.06i
v σ∑===
令：2
1
0.060.054
1.1110.111u σ
σ=
==+=+
0.6030.11u ==>=，故无根据怀疑测量列存在系统误差。

（又出现互为矛盾的结论，如何解释呢？） 2.21对某量进行两组测量，测得数据如下： 试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。

【解】将两组数据按从小到大混合排列成下表：
已知n 1=n 2=15，因i x 组数据的秩和较小，故以其数据的次序计算秩和：
Tx=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174（取秩较小的一组的秩） Ty=3+4+10.5+13+16+17+19+21.5+23+24+26+27+28+29+30=291 因n 1=n 2=15>10，秩和T 近似服从正态分布。

112(1)
2
(,)(n n n N a N σ++=
其中数学期望a 和标准差σ分别为：
112(1)
15(15151)
22
232.5n n n a ++++=
==，24.11σ==
=
则置信系数t 为： 174232.524.11
2.43T t α
σ
--=
==- 选取置信概率99%（p p -=-=1,1αα，显著度0.01），即取Φ(t ) =0. 495，由附录表1查得：t a =2.60 因 2.43 2.60t t α=<=，故无根据怀疑两组数据间有系统误差。

2.22 对某量进行15次测量，测得数据为28.53，28.52，28.50，29.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值已消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值。

【解】将有关计算数据：平均值、残差νi 等列于表中：
直接求得15个数据的算术平均值和标准差
57.2815
1
15
1==
∑=i i
x
x ； 265.01
159803.01
15
1
2
==
∑=
--=n v i i σ
① 用莱以特准则判别粗大误差 因
795.0395.04=>=σv ，故第4个测量数据含测量粗大误差，应当剔除。

再对剩余的14个测得值重新计算，得：
50.2814
1
'
141
'==∑=i i x x ； 0337.01
140148
.01
'14
1
2
'==
∑=
--=n v i i
σ
由表知第14个测得值的残余误差：1011.0317.014'
=>=σv ，故也含粗大误差，应剔除。

再重复验算，剩下的13个测得值已不包含粗大误差。

② 用格罗布斯准则判别
已经计算出15个测量数据的统计特征量：57.28=x ，265.0=σ。

将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：
,40.28)1(=x 17.040.2857.28)1(=-=-x x ,52.29)15(=x 95.057.2852.29)15(=-=-x x
首先判别x (15)是否含有粗大误差：
585.3265.095.0)15()15(===
-σ
x
x g
查表2-13得： 41.2)05.0,15(0=g 则：41.2)05.0,15(585.30)
15(=>=g g
故第4个测得数据包含粗大误差，应当剔除。

再对剩下的14个测得值计算，判断x (1)是否含有粗大误差。

已知：50.28'
=x
，0337.0'=σ
94.20337
.040
.2850.28)1()
1('==
=
--σ
x x g
查表2-13得：37.2)05.0,14(0=g 则：37.2)05.0,14(94.20)
1(=>=g g
故第14个测得数据也包含粗大误差，应当剔除。

再重复检验，其它各测得值已不再包含粗大误差。

③ 用狄克松准则判别
将测得的数据按从小到大的顺序排列，有：
x (1)=28.40， x (2)=x (3)=28.49，-- -x (13)=x (14)=28.53，x (15) =29.52
判断最小值x (1)与最大值x (15)是否包含粗大误差。

因n=15，以统计量22r 和22'r 计算
04.149
.2852.2953.2852.2922)
3()15()13()15(==
=
----x x x x r ， 692.053.2840.2849.2840.2822'
)
13()1()3()1(==
=
----x x x x r
查表2-14得， 因：525.0)05.0,15(0=r ，
525.0)05.0,15(692.0022'=>=r r 和
525
.0)05.0,15(04.1022=>=r r
故：x(1)和x(15)（即所测的第4和第14个测量值）包含粗大误差，应予剔除。

再重复检验剩余的13个测得值，已不再包含粗大误差。

2-23 对某一个电阻进行200 次测量，测得结果列表如下：
（1）绘出测量结果的统计直方图，由次可得到什么结论？ （2）求测量结果并写出表达式。

（3）写出测量误差概率分布密度函数式。

【解】列表如下
⑴ 由上图可以看出是正态分布。

⑵求测量结果并写出表达式： 求加权平均值
Ω=+=++++++++++-+-+-+-+-+++++++
=06.121520012
12151191940544321831)
1*)5(1*)4(9*)3(19*)2(40*)1(54*043*121*28*33*41*51215x
求残差并校核，残差和为0，计算正确 求加权算术平均值的标准差：
)512()1(1
1
2
--=
∑∑==m
i i
m
i x i x p m p i
υ
σ根据
)(50.0200
*)111(28
.509Ω≈-=
x σ根据
结果表达：如果取置信系数t=2，则置信概率P 为0.95 测量结果=
Ω±=Ω±)00.106.1215()50.0*206.1215(
概率密度分布：正态公式
2
2
2
2
225.0*2280.02*5.0121
)(δδσδπ
π
σδ--
-
==
=
e
e
e
f
2
280.0)(δδ-=e
f
补充：
1．某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100，求测量值分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。

解：A x A x A x A x s m μμμμ20,80,100,100;0.1321=====
A s x x m m μ1%0.1100%±=⨯±=±=∆
%0.1%100%1001001
112±=⨯±=⨯=∆x x x m r %25.1%100%10080122±=⨯±=⨯=∆x x x m r %0.5%100%10020133
±=⨯±=⨯=
∆x x x m r
第3章 误差的合成与分解
3-1 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为：
140l mm =，140l mm =，212l mm =，3 1.25l mm =，4 1.005l mm =。

经测量，它们的尺寸偏差
及其测量极限误差分10.7l m μ∆=-，20.5l m μ∆=+，30.3l m μ∆=-，40.1l m μ∆=+；
lim 10.35l m δμ=±，lim 20.25l m δμ=±，lim 30.20l m δμ=±，lim 40.20l m δμ=±。

试求量块组按基
本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。

【解】量块组的关系为：1234L l l l l =+++，显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差的计算问题。

已知各组成块的尺寸偏差（属系统误差），则可计算量块组的系统误差。

12340.70.50.30.10.4L l l l l m μ∆=∆+∆+∆+∆=-+-+=-
所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值E 为：(0.4)0.4E L m μ=-∆=--= 量块组按基本尺寸使用时的测量误差（系统极限误差）为：
lim 0.515L m δμ===±
3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为：161.6a mm =，44.5b mm =，11.2c mm =，已知测量的系统误差为 1.2a mm ∆=，0.8b mm ∆=-，0.5c mm ∆=，测量的极限误差为0.8a mm δ=±，
0.5b mm δ=±，0.5c mm δ=±，试求立方体的体积及其体积的极限误差。

【解】立方体体积： V=abc ，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：
0161.644.511.280541.44V abc mm ==⨯⨯=
体积V 的系统误差为：
3
1.2
0.80.5161.6
44.5
11.2
[]80541.44()2745.744()
V
V V a b c
a b c a b c V a b c abc mm ∂∂∂∆∆∆∂∂∂-∆=
∆+∆+∆=++=+
+
=
考虑测量系统误差后的立方体体积： 3
077795.69677795.70(
)
V V V m m =-∆=
≈ 又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：
l i m 3)
)
644.
]95.63729.1(
)
V mm δ=====±
故测量结果为：3lim 77795.703729.1()V V mm δ±=±
3-3 长方体的边长分别为1a 、2a 、3a ，测量时：①标准差均为σ；②标准差各为1σ、2σ、3σ。

试求体积的标准差。

【解】长方体体积计算式：123V abc a a a ==，则体积的标准差为：
12V a a a σ==
=①标准差均为σ时，则体积的标准差为：
12V a a a V V σ===②标准差各为时1σ、2σ、3σ，则体积的标准差为：
V V σ=
3-4 测量某电路的电流22.5I mA =，电压12.6U V =，测量的标准差分别为
0.5,0.1I U mA V σσ==，求所耗功率P UI =及其标准差P σ。

【解】若不考虑测得值的误差，则计算所耗功率为：3
12.622.5100.2835()P UI W -==⨯⨯=
所耗功率标准差P σ
①若U 、I 完全不相关，则0=ρ
3310 6.6910()
P W σ--==
==⨯
②若U 、I 完全相关，则1=ρ，所以
所以，该电路所消耗功率为0.2385W ，其标准差为8.55*10-3W 。

3-5 已知 2.00.1x x σ±=±， 3.00.2y y σ±=±相关系数0xy ρ=
，试求：ϕ=差。

【解】①以ϕ=
若不考虑测得值的误差，计算其值： 2.0 2.885ϕ=== 已知0.1,0.2x y σσ==，则ϕ的标准差：
22
)21
0.0770.313
ϕσ==
===
②以y x
3
=ϕ为例
若不考虑测得值的误差，计算其值：85.130.3)0.2(33
===y x ϕ
已知0.1,0.2x y σσ==，则ϕ的标准差：
1292
.2)2.0()1.00.3)0.2(3()()3()()(20
.312
)0.2(222
12222
23
3
=⨯+⨯⨯=+=
+=∂∂∂∂y y
x x y y x x y x σσσσσϕϕϕ
3-6 已知x 与y 的相关系数1xy ρ=-，试求2u x ay =+的方差2
u σ。

【解】属于函数随机误差合成问题。

1;;2===∂∂∂∂xy y u
x
u
a x ρ
由教材式（3-13）有：
2
2
22
2222)2()1(22)2(2)()(y x y x y x y
x xy y
x
y y x x u a x a x a x σσσσσσσσρσσσϕ
ϕϕϕ-=⨯⨯⨯++=++=∂∂∂∂∂∂∂
∂
3.7 通过电流表的电流I 与指针偏转角ϕ服务从下列关系：ϕtan C I =。

式中C 为决定于仪表结构的
常数，A C 710031.5-⨯=，两次测得'1'17601±=ϕ，'1'32430
2±=ϕ。

试求两种情况下的21,I I 及
极限误差，并分析最佳方案。

【解】：因C I C I /tan tan =→=ϕϕ，由三角函数随机误差（极限误差）计算公式（3-21），有，
ϕδϕϕδϕσϕσδσϕ22lim 22lim 2222cos )(cos ,cos )(cos lim
C
I I f C I I f I I
====∂∂∂∂ ϕϕδ
δ2
lim cos
lim C
I = （1）
当1ϕϕ=时，把'1760
1=ϕ代入关系式，有：
)(1054.5'176tan 10031.5tan 80711A C I --⨯=⨯==ϕ
相应的极限误差为：
)(10481.110'
176cos )]
60/180/(1[10031.5cos 1lim 0271
21lim A I C -⨯±⨯⨯⨯±==
=
-πϕϕδδ
当2ϕϕ=时，把'32430
2=ϕ代入关系式，有：
)(1078.4'3243tan 10031.5tan 70722A C I --⨯=⨯==ϕ
相应的极限误差为：
)(10784.210'
3243cos )]
60/180/(1[10031.5cos 2lim 0272
22lim A I C -⨯±⨯⨯⨯±==
=
-πϕϕδδ
根据求得测量电流的误差传递式（1），欲使极限误差I lim δ变小，必须满足02cos =ϕ
C
或为最小，
因C 为常数，这意味着只能是ϕ2
cos 最大，又因电流表指针偏转角在πϕ<≤0范围内变化，当
2/0πϕ<≤时，ϕ2cos 单调下降，为使ϕ2cos /C 趋小，ϕ应该愈小愈好，即测小电流误差小。

上述计算结果验证了该方案的正确性。

3-8 如图3-6所示，用双球法测量孔的直径D ，其钢球直径分别为d 1，d 2，测出距离分别为H 1、H 2，试求被测孔径D 与各直接测量量的函数关系D=f(d 1，d 2，H 1、H 2)，及其误差传递系数。

【解】 如图所示，利用勾股定理得
即
然后，分别求偏导数，即得出误差传递系数。

3.9 按公式求圆柱体积h r V 2π=，若已知r 约为2cm ，h 约为20cm ，要使体积的相对误差等于1%，试问和测量时相对误差应为多少？
【解】：已知圆柱体的半径和高度分别为：r =2cm ，h =20cm ，则可计算出圆柱体的体积：
)(328.2512146.322020cm h r V =⨯==⨯π
而体积的绝对误差为：)(51.2%120cm V V =⨯=δ
测量项目有2项，n=2，且按等只要原则分配误差，则可得测量半径r 和高度h 的极限误差：
)(071.02021416.31
2
51.2212/1
mm rh r V n
r V V
=⨯=⨯=
=⨯⨯∂∂πδδδ )(41.12
221416.31251.212/1mm r h
V n
h V
V
=⨯=⨯=
=⨯∂∂πδδδ 即，允许r 的测量误差为mm 071.0±，高度h 的测量误差为mm 41.1±
3.10 题3-7中，若测得"40"30'4119,)03.018.124(0±=+±=+ϕσϕσA C c ，试求电流I 的标准差。

【解】：测量电流I 的误差由C 、ϕ两个因数带来，因此按照函数误差的合成
i
x I
i q
i i i I a a ∂∂==±
=∑,)(1
2
σσ
因为传递系数为：ϕ
ϕϕ2cos ,tan C I c
I
=
=∂∂∂∂
2222)()(tan )()(2
ϕϕ
ϕϕσσϕσσσ⨯+⨯±=⨯+⨯±=∂∂∂∂COS C
C I C C I I
2"
30'4119cos 08.1242022))"40(())03.0("30'4119(tan )()(tan 0
2
2
±⨯+±⨯±=⨯+⨯±=ϕϕσσϕσCOS C C I 3.11 测量某电路电阻R 两端的电压降U ，可由公式I=U/R 计算出电路电流I 。

若电压降为16V ，电
阻为4Ω。

欲使电流的极限误差为0.04A ，试决定电阻R 和电压降U 的测量误差为多少？
【解】：已知电压降为16V ，电阻为4Ω
测量项目有2项，n=2，且按等分配原则分配误差，则可得测量电压降U 和电阻R 的极限误差：
)(0283.01
12
04
.012
/12
Ω=⨯=
⨯=
=
-∂∂R
U I
I
R
I n R δδδ )(1131.042
04.01
2/1
1V R
I
I
v I n
v =⨯=⨯=
=
∂∂δδδ 3—12 按公式V=πr 2h 求圆柱体体积，若已知r 约为2cm ，h 约为20cm ，要使体积的相对误差等于1％，试问r 和h 测量时误差应为多少?
【解】 若不考虑测量误差，圆柱体积为
3222.25120214.3cm h r V =⨯⨯=⋅⋅=π
根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：
%
1=V
σ
即51.2%12.251%1=⨯=⋅=V σ
现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r 的误差应为：
cm
hr r V r 007.021
41.151.2/12==∂∂=
πσ
σ
测定h 的误差应为：
cm r
h V h 142.01
41.151.2/122
=⋅=∂∂=
πσ
σ 3-13 假定从支点到重心的长度为L 的单摆振动周期为T ，重力加速度可由公式g /L πT 2=中给出，若要求测量g 的相对标准差%.g /σg 10≤，试问按等作用原则分配误差时，测量L 和T 的相对标准差应是多少？
【解】：可直接测量单摆长度L 和单摆振动周期T ，然后按下式计算重力加速度，
g L T /2π=
影响重力加速度的因数有2个（n=2），按等作用原则分配误差，则测量L 和T 的标准差分别为：。