第4章贪心算法

值得拥有的资料
是来自平时学习积累总结的
有问题的地方肯定有的
还请大家批评指正！
谈谈贪心算法
安师大附中 金孝岱
贪心算法是一种符合人们日常思维习惯的简单有效的程序设计算法
贪心算法可用于求解最优问题
在信息学竞赛中常有它的用武之地
略举几个近年来竞赛中的题目就能见到运用贪心算法的踪影：
2006冬令营《风之韵》
2007 noip《纪念品分发》
2007 ioi 中国队选拔赛《挂坠》
2008noip《排序椅》
2008ioi 《传送器》
什么是贪心算法？顾名思义
贪心算法总是作出在当前看来是最好的选择
虽然贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解
但对范围相当广的许多问题都能产生整体最优解或是问题的次优解
因此有很好研究它的必要

我们先来看看贪心算法在数据结构中的应用
求最小生成树的prim算法中
挑选的顶点是候选边中权值最小的边的一个端点
而加边法的kruskal算法中
更是首先将边的权值从小到大进行排序依次选取

再看看求单源最短路径的算法
其基本算法思想是：设置顶点集合s并不断作贪心选择
来扩充这个集合
以最终求得最短路径
还有哈夫曼编码也用到贪心算法

贪心算法和分治法及动态规划三者都具有子结构
都是将原问题归纳为更小规模的相似的子问题
并通过求解子问题
最后获得整体解
三者有何不同呢？只有搞清三者的区别
才能很好地运用它们来解决问题

首先是它们的子问题（或称子结构）是不同的
分治法中各子结构是独立的
动态规划一般具有重叠最优子结构
除了必须满足具有最优子结构外
还要满足无后效性
贪心算法要求问题具有最优子结构

其次
在算法实现上看
分治法一旦递归地求出各子结构的解后
便可自下而上地将这些子结构解合并成问题的解
动态规划是所有子问题只计算一次并记录下来
以备后面的子问题使用
用空间换取时间, 所以求当前的解要依赖前面子结构的解
一般采用自底向上的递推方式求解
贪心法则是从上而下
从问题的初始阶段开始每个阶段作一个贪心的选择
不断将问题转换为规模更小的子问题
并期望通过每一次的局部最优选择达到全局最优

贪心算法具有两个重要性质：①最优子结构性质②贪心选择性质
用好贪心算法关健是对一个问题能否运用贪心算法的判断和贪心标准的设计
对于一个问题能否用贪心算法要给出严格的证明是件比较困难的事
借助一个称为"拟阵"的工具
可以建立一个关于贪心算法的较

一般的理论
这个
理论在确定何时使用贪心算法可以得到问题的整体最优解十分有用
但是比较深奥难以理解
我们主要还是根据贪心算法的两个性质
以及运用反证法来证明
更重要的是要通过编程实践多摸素、总结
从而掌握贪心算法

另外运用贪心算法的思想与其它算法相配合
如"枚举+贪心"
"启发+随机化"多次贪心以及用于分支定界上等都有很好的效果


下面通过一些例题来看看如何运用贪心算法

例1.背包问题
【题目描述】
这是一大家很熟悉的背包问题
给定n种货物和一个载重量为m的背包
已知第i种货物的重量为wi ,其总价值为pi
编程确定一个装货方案
使得装入背包中货物的总价值最大
输出此总价值和装货方案

【算法分析】
0
1背包问题对每种物品只有两种选择：选和不选
可用动态规划解决
而背包问题
可以选择物品的一部分装载
这样就可以把背包装满
用贪心算法可求得最优解
采用贪心标准是：选择单位重量价值高的货物优先装入
这样才能保证背包中所装货物总价值最大
而0
1背包用贪心算法却不能得到整体最优
为什么呢？我们来看一个例子：
有一背包容量为50千克
有三种货物：
物品1重10千克；价值60元；
物品2重20千克
价值100元；
物品3重30千克；价值120元
















20 20 10 总价值：（用贪心算法）
80+100+60=240
对于0
1背包问题
贪心选择之所以不能得到最优解是因为它无法保证最终将背包装满
部分背包的 闲置使单位重量背包空间的价值降低


例2．排队问题
【题目描述】
在一个医院B 超室
有n个人要做不同身体部位的B超
已知每个人需要处理的时间为ti
（0<i<=n）,请求出一种排列次序
使每个人排队等候时间总和最小

输入数据：第1行一个正整数n（你<=10000》
第2行有n
个不超过 1000的正整数ti.
输出要求：n个人排队时间最小总和

输入输出样例
输入：4
5 10 8 7
输出：
67
【算法分析】
本题贪心算法：n个人时间从小到大排序
就是这n个人最佳排队方案
求部分和的和即为所求

反证法证明：假设有最优解序列：s1,s2...sn,如s1不是最小的Tmin
不妨设sk=Tmin,将s1与sk对调
显然
对sk之后的人无影响
对sk之前的人等待都减少了
(s1-sk)>0,从而新的序列比原最优序列好
这与假设矛盾
故s1为最小时间
同理可证s2...sn依次最小



例3．:数列

极差问题
【题目描述】
在黑板上写了N个正整数做成的一个数列
进行如下操
作：每一次擦去其中的两个数a和b
然后在数列中加入一个数a×b+1
如此下去直至黑板上剩下一个数
在所有按这种操作方式最后得到的数中
最大的max
最小的为min
则该数列的极差定义为M=max-min

编程任务：对于给定的数列
编程计算出极差M

输入输出样例：
输入：
4
2 1 4 3

输出：
13
【算法分析】
当看到此题时
我们会发现求max与求min是两个相似的过程
若我们把求解max与min的过程分开
着重探讨求max的问题

下面我们以求max为例来讨论此题用贪心策略求解的合理性

讨论：假设经（Ｎ－3）次变换后得到３个数：a ,b , max＇（max＇≥ａ≥ｂ）
其中max＇是（Ｎ－２）个数经（Ｎ－３）次ｆ变换后所得的最大值
此时有两种求值方式
设其所求值分别为 z1
z2
则有：z1＝(ａ×ｂ＋１）×max＇＋１
z2＝(ａ×max＇＋１）×ｂ+１所以z1－z2＝max＇－ｂ≥０若经（Ｎ－２）次变换后所得的３个数为：ｍ
ａ
ｂ（ｍ≥ａ≥ｂ）且ｍ不为（Ｎ－２）次变换后的最大值
即ｍ＜max＇则此时所求得的最大值为：
z3＝（ａ×ｂ+１）×ｍ+１此时z1－z3＝(１+ａｂ）（max＇－ｍ）＞０　所以此时不为最优解

所以若使第ｋ（１≤ｋ≤Ｎ－１）次变换后所得值最大
必使（ｋ－１）次变换后所得值最大（符合贪心策略的特点2）
在进行第ｋ次变换时
只需取在进行（ｋ－１）次变换后所得数列中的两最小数ｐ
ｑ施加ｆ操作：ｐ←ｐ×ｑ+1
ｑ←∞即可（符合贪心策略特点1）
因此此题可用贪心策略求解
在求ｍin时
我们只需在每次变换的数列中找到两个最大数ｐ
ｑ施加作用 ｆ：ｐ←ｐ×ｑ+１
ｑ←-∞即可．原理同上

这是一道两次运用贪心策略解决的一道问题
它要求选手有较高的数学推理能力


例4．整数区间range.cpp
【题目描述】
我们定义一个整数区间[a,b],a,b是一个从a开始至b 结束的连续整数的集合
编一个程序
对给定的 n个区间
找出满足下述条件的所含元素个数最少的集合中元素的个数：对于所给定的每一个区间
都至少有两个不同的整数属于该集合
(1<=n<=10000, 0<=a<=b<=1000)
输入输出格式：
输入：第一行一个正整数n
接下来有n行
每行给定一个区间的a,b值
输出：一个正整数
即满足条件的集合所包含的最少元素个数
输入输出样例
输入： 输出：
4 4
3 6
2 4
0 2
4 7

【算法分析】
本题数据规模较大
用搜索做会超时
而动态规划无从下手
考虑贪心算法
题目意思是要找一个集合
该集合中
的数的个数既要少又要和所给定的所有区间有交集
（每个区间至少有两个该集合中的数）
我们可以从所给的区间中选数
为了选尽量少的数
应该使所选的数和更多的区间有交集这就是贪心的标准
一开始将所有区间按照右端点从小到大排序
从第一个区间开始逐个向后检查
看所选出的数与所查看的区间有无交集
有两个则跳过
只有一个数相交
就从当前区间中选出最大的一个数（即右端点）
若无交集
则从当前区间选出两个数
就（右端点
右端点-1）
直至最后一个区间

#include <iostream>//整数区间问题
using namespace std;
struct prince{
int left,right;//区间左右端点
}a[10000];
int n;
int result;//存放结果中的数
int cmp(const void *a,const void *b){
return (*(prince *)a).right-(*(prince *)b).right;
}
int work(){
qsort(a+1,n,sizeof(a[0]),cmp);//按区间右端点由小到大排序
int i,j,k;
int a1,a2;
　a1=a[1].right-1;a2=a[1].right;result=2;
　for(i=2;i<=n;i++)
{ if(a[i].left<=a1&& a[i].right>=a2)continue;//完全包含
if (a[i].left>a2 )//完全不包含
{a1=a[i].right-1;a2=a[i].right;result=result+2;}
if (a[i].left>a1 && a[i].right>a2 && a[i].left<=a2)
{a1=a2;a2=a[i].right;result++;}//只包含一个
}
return result;
}
int main(){
freopen("range6.in","r",stdin);
freopen("range6.out","w",stdout);
cin>>n;
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i].left>>a[i].right;
cout<<work()<<endl;
return 0;
}

例5．骆驼商队Camel Trading
【题目描述】
在一片古老的大地上
虽然商业已经非常繁荣
但是那里的人们仍然延续着古老的交易方式
他们牵着骆驼在城市之间往来奔波
贩运成批的商品
换来一袋袋的金币

这片大陆上有N个城市
编号为1......N
在一些城市之间有路可通
有路就有商队
但是在不同的城市之间经商所得的收益不同
在下面的这个N=4的例子中
在城市1和城市2之间进行一次交易可以获得40枚金币
在城市2和3之间交易一次可以获得50枚金币
等等

在任意两个城市之间
这样的交易只能进行一次
因为你第二次贩运你的商品时
人们对它们就不会感兴趣了

现在你只身来到这个大陆上
用有限的资金在每个城市中购买了一支商队
你需要想办法让你的这N

支商队给你带来最大的经济收益

任务说明
给出这个大陆的地图和每两个城市之间的贸易值（如果这两个城市之间有路可通的话）
你需要指挥你的N支商队进行一次经商
使得这N支商队在这次经商中获得的总收益最大
注意：你的每支商队只能进行一次
交易
即它们只能从它们所在的城市到达一个相邻的城市
当然
它们也可以不进行任何交易

输入数据
输入文件的第一行有两个整数N（1 ? N ? 100）、M（M ? 0）
分别表示这个大陆上的城市数和道路数

接下来有M行
每行包括三个整数i、j（1 ? i,j ? N且i ? j）、v(1 ? V ? 10000)
表示一条道路的信息
其中i和j表示这条路在城市i和城市j之间
v表示沿着这条路进行一次交易所得的收益
i和j的顺序是无关的
并且任意两个城市之间最多存在一条路


输出数据
你的输出文件应该2行
第1行包含N个整数
其中第k个整数表示你在城市k中的商队将要前往哪个城市进行交易（如果这支商队进行交易的话）或者为0（如果这支商队不进行任何交易）
第2行输出最大收益值


输入输出样例
input.in output.out 样例图示 4 5
1 2 40
1 3 30
2 3 50
2 4 30
3 4 20 2 3 1 2
150




最大收益=40+50+30+30 【算法分析】
本题转化成模型就是：在一个无向图中
对于每个点
取一条和它相关联的边（如果这样的边存在的话）
使得取出来的所有边的权和最大

首先
如果这个图是不连通的
那么它的各个连通分量之间是没有任何联系的
对这些连通分量中的问题可以分别独立地解决
合并起来就是整个问题的解
所以我们在下面的讨论中假定图是连通的

直观地考虑
如果图中存在度为1的点
那么就把这一点上的唯一的一条边分配给这个点（将某条边"分配"给某个点的含义是：将这条边作为和这一点相关联的边取出来
同时这一点就失效了
因为和它相关联的其他边都不能再取了）
如果不存在这样的点
那么此时有两种情况：一种是边数等于点数
那么这个图就是一个环
这时可以取出图中所有的边；一种是边数大于点数
那么就可以把这个图中权最小的一条边直接删去
因为这条边"显然"不会被取到的

依据这样一个直观思想
本题可以用贪心法来解决

贪心算法（用于连通图）：
1、如果图中只有一个点
直接结束算法

2、如果图中存在度为1的点
执行3；否则转4

3、任意找一个度为1的点v
将v上的唯一一条边分配给它
转2

4、如果图中

的边数等于点数
执行5；否则转6

5、设图中的点数（也就是边数）为n
任取一条边e1
将它分配给它的两个端点中的任意一个v1；然后将v1上的另一条边e2分配给e2的另一个端点v2；将v2上的另一条边e3分配给e3的另一个端点v3；......如此重复直到将en分配给vn
即图中所有的边都已分配
结束算法

6、将图中权最小的边不分
配而直接删去
如果此时图仍然连通
则转2；否则对这个图的两个连通分量分别执行本算法



例6．数字游戏
【题目描述】
小W发明了一个游戏
他在黑板上写出一行数字a1
a2
...an,然后给你m个回合的机会
每个回合你可以从中选一个数擦除它
接着剩下来的每个数字ai都要递减一个值bi
如此重复m个回合
所有你擦除的数字之和就是你得到的分数

编程帮小W算算
对于每个给出的an和bn序列
可以得到的最大得分是多少？
数据输入：
由文件game. in提供输入数据
文件的第1 行一个整数n（1≤n≤200）
表示数字的个数；第二行一个整数m（1≤m≤n）
表示回合数；接下来一行有n个不超过10000的正整数
a1
a2
...an
表示原始数字；最后一行有n个不超过500的正整数
b1
b2
...bn
表示每回合每个数字递减的值

结果输出:
程序运行结束时
将计算结果输出到文件game. out 中
一个整数
表示最大可能的得分

输入文件示例
输入：
3
3
10 20 30
4 5 6
输出：
47
【算法分析】
本题上面一排数是作为被减数的
若对被减数采用贪心算法不一定能得到全局最优解
因为被减数小减数大
其差小会导致最大得分少
先运用贪心的思想对第二排减数进行从大到小排序
再运用动态规划思想递推求解

#include<iostream>//数字游戏
using namespace std;
struct XX
{int a,b;
}a[201];
int n,m,f[2][201],i,j;
int comp(const void *a,const void *b)
{
return(*(XX*)b).b-(*(XX*)a).b;
}
int main()
{ freopen ("game10.in","r",stdin);
freopen ("game.out","w",stdout);
memset(f,0,sizeof(f));
cin>>n>>m;
for (i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].a>>a[i].b;
qsort(a+1,n,sizeof(a[0]),comp);
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=min(i,m);j++)
f[i%2][j]=max(f[(i-1)%2][j],f[(i-1)%2][j-1]+a[i].a-\
a[i].b*(j-1));
cout<<f[n%2][m]<<endl;
return 0;
}

例7．开会问题
某公司的会议日益增多
以至于全公司唯一的会议室都不够用了
现在给出这段时期的会议时间表
要求你失单适当删除一些会议
使得剩余的会议在时间上互不冲突
要求删除的会议最少

输入格式：第1行n,表示有n 个会议

接下来有n行
每行两个数
si
fi表示会议i的起止时间

输出格式：仅1行
删除的最少会议数d.
N<=500,si,fi为整型数
注意：会议（1
3）和会议（3
5）是不冲突的
但和会议（2
5）是冲突的

【算法分析】
题目要求删除最少的会议
使得剩余的会议在时间上不互相冲突
这实际上是要求安排最多的在时间上不冲突的会议
由于我们的目标是尽可能多地安排会议
而不
管安排了那些会议
所以可采用以下贪心方法：首先将所有会议按结束时间从小到大排序
每次总是安排结束时间早的会议
这样不仅安排了一个会议
同时又为剩余的会议留下尽可能的时间


例8．智力大冲浪
【题目描述】
小伟报名参加电视台的智力大冲浪节目
本次挑战赛吸引了众多参赛者
主持人为了表彰大家的勇气
先奖励每个参赛者m元
接下来主持人宣布比赛规则：首先
比赛时间分为n个时段（n<=500）,它又给出了很多小游戏
每个小游戏都必须在规定期限ti前完成（i<=ti<=n）
如果一个游戏不能在规定期限完成
则要从奖励费m元中扣去一部分钱wi
wi 为自然数
不同的游戏扣去的钱数不同
当然每个游戏本身都很简单
保证每个参赛者都能在一个时段内完成
而且都必须从整数段开始
主持人只是想考考每个参赛者如何安排组织自己做游戏的顺序
问小伟最多能得到多少钱？
输入：第1行为m
表示一开始奖励给每个参赛者的钱数
第2行为n表示有n个小游戏

第3行有n个数
分别表示n个游戏规定完成的期限
第4行有n个数
分别表示n个游戏不能在规定期限完成的扣款数
输出：仅一个数
表示小伟能赢得最多的钱数

样例：
输入：
10000
7
4 2 4 3 1 4 6
70 60 50 40 30 20 10
输出：
9950
【算法分析】
因为不同的小游戏不能准时完成时具有不同的扣款权数
而且是最优解问题
所以本题很容易就想到了贪心法
贪心的主要思想是要让扣款数值大的尽量准时完成
这样我们就先把这些任务按照扣款的数目进行排序
把大的排在前面
先进行放置
假如罚款最多的一个任务的完成期限是k
我们应该把它安排在哪个时段完成呢？应该放在第k个时段
因为放在1～k任意一个位置
效果都是一样的
一旦出现一个不可能在规定时限前完成的任务
则把其扔到最大的一个空时间段
这样必然是最优的
因为不能完成的任务
在任意一个时间段中罚款数目都是一样的.
本题也可以有另外一种贪心算法
即先把所有的数据按照结束时间的先后排序
然后从前向后扫描
当

扫描到第n个时段
发现里面所分配任务的结束时间等于n-1
那么就说明在前面这些任务中必须舍弃一个
于是再扫描第1～n这n个时段
挑出一个最小的去掉并累加扣款值
然后再去调整排列顺序
让后面的元素填补前面的空缺



例9．合并果子（fruit.pas）

【题目描述】
在一个果园里
多多已经将所有的果子打了下来
而且按果子的不同种类分成了不同的堆
多多决定把所有的果子合成一堆
每一次合并
多多可以
把两堆果子合并到一起
消耗的体力等于两堆果子的重量之和
可以看出
所有的果子经过n-1次合并之后
就只剩下一堆了
多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和

因为还要花大力气把这些果子搬回家
所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力
假定每个果子重量都为1
并且已知果子的种类数和每种果子的数目
你的任务是设计出合并的次序方案
使多多耗费的体力最少
并输出这个最小的体力耗费值

例如
有3种果子
数目依次为1、2、9
可以先将1、2堆合并
新堆数目为3
耗费体力为3
接着
将新堆与原先的第三堆合并
又得到新的堆
数目为12
耗费体力为12
所以多多总共耗费体力15=3+12
可以证明15为最小的体力耗费值

【输入】
输入文件fruit.in包括两行
第一行是一个整数n(1≤n≤10000)
表示果子的种类数
第二行包含n个整数
用空格分隔
第i个整数ai(1≤ai≤20000)是第i种果子的数目

【输出】
输出文件fruit.out包括一行
这一行只包含一个整数
也就是最小的体力耗费值
输入数据保证这个值小于231

【样例输入】
3
1 2 9
【样例输出】
15
【数据规模】
对于30%的数据
保证有n≤1000；
对于50%的数据
保证有n≤5000；
对于全部的数据
保证有n≤10000

【算法分析】
此题用贪心法
先将果子数排序
取其中最小的两堆合并
得到一个新堆；再排序
再取其中最小的两堆合并......直到只剩一堆
为尽快出解
排序的速度显得格外重要
可用堆排序算法



例10． 建筑抢修（repair.pas）

【题目描述】
小刚在玩JSOI提供的一个称之为"建筑抢修"的电脑游戏
经过了一场激烈的战斗
T部落消灭了所有Z部落的入侵者
但是T部落的基地里已经有N个建筑设施受到了严重的损伤
如果不尽快修复的话
这些建筑设施将会完全毁坏

现在的情况是：T部落基地里只有一个修理工人
虽然他能瞬间到达任何一个建筑
但是修复每个建筑都需要一定的时间
同时
修理工人修理完一个建筑才能修理下一个建筑
不能同时修理多个建筑
如果某个建

筑在一段时间之内没有完全修理完毕
这个建筑就报废了

你的任务是帮小刚合理制定一个修理顺序
以抢修尽可能多的建筑

【输入】
输入文件第一行是一个整数N
N行每行两个整数T1、T2描述一个建筑：修理这个建筑需要T1秒
如果在T2秒之内还没有修理完成
这个建筑就报废了

【输出】
输出文件只有一行
是一个整数S
表示最多可以抢修S个建筑

N＜150000; T1＜T2＜maxlongint
【样例输入】
4
100 200
200 1300
1000 1250
2000 3200
【样例输出】
3
【算法分析】
贪心 O
(N Log N) + 高级数据结构
很容易想到动态规划
按截止时间排序
维护队列q
如果能插入就插入
如不能插入
就把一个花费时间最大的替换下来
贪心算法和贪心思想看似简单
真正完全掌握要下一番功夫
和任何优秀算法一样
贪心算法也有它的局限性
用不对会丢很多解
用得好
在编程中能起到事半功倍的效果


有不对之处请指正
谢谢大家！
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