中考数学易错题复习专题:函数及其图象
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函数及其图象
易错点1:求函数自变量取值范围时注意:①二次根式中被开方数为非负数;②分式中分母不等于零;零指数幂中底数不等于零.
易错题:使函数y=
1
(1)(2)
x x
-+
有意义的自变量x的取值范围是
_____________.
错解:x>﹣2
正解:x>﹣2且x≠1
赏析:本题错误的原因是对分式中分母不为零的条件没有考虑全面,分式中分母不为零的条件应是x≠﹣2且x≠1.本题中的函数应满足被开方数为非负数且分母不为零这两个条件,同时要与不等式的解集综合求解.
易错点2:在函数解析式中混淆各个待定系数表示的意义,如一次函数y=kx+b(k≠0)中的k、b;二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的a、b、c.
易错题:在一次函数y=(2-k)x+1中,y随x的增大而减小,则k的取值范围是_________.
错解:k>0
正解:k>2
赏析:错误的原因是以为﹣k是一次项的系数,由﹣k<0得到错解.本题中一次项系数应是2-k,由2-k<0得到正解.
易错点3:用待定系数法求函数解析式时由条件建立错误从而使求解不正确.
易错题:将直线y=﹣3x-4向左平移2个单位长度后,其解析式为___________________.
错解:y=﹣3x-6
正解:y=﹣3x-10
赏析:本题可设平移后函数解析式为y=kx+b,由平移中平行的关系可得k=﹣3,错误的原因是由向左平移2个单位长度得到错误条件直线过点(﹣2,0),代入解析式从而求得错解.正确的解法是:先由平行得k=﹣3,再由直线y=﹣3x-4过点(0,﹣4),将此点向左平移2个单位长度得到点(﹣2,﹣4),再把点(﹣2,﹣4)及k=﹣3代入所设解析式从而求得正解.
易错点4:利用图象求不等式(组)的解集与方程(组)的解时,混淆函数图象的增减性与解(解集)的关系.
易错题:已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=m
x
(m≠0)的图象相交于A、B两
点,其横坐标分别是﹣1和3,当y1>y2时,自变量x的取值范围是……………………()
A.x<﹣1或0<x<3
B.﹣1<x<0或0<x<3
C.﹣1<x<0或x>3
D.0<x<3
错解:D
正解:A
赏析:错解的原因是对函数图象及其增减性的分析理解不够透彻,没有完全弄清楚图象增减性与不等式解集的关系,从而漏掉x的一部分取值范围.正确的解法是:由题目条件,
画出两个函数的大致图象,如图:
y 2
y 2
y 2
y 2
y 1
y 1y 1
y 13-1B A
O y x
以交点A 、B 及原点O 为界,把两个函数图象各分成四个部分,从左到右每部分图象所对应的自变量取值范围依次是:①A 点左侧:x <﹣1;②点A 与原点O 之间:﹣1<x <0;③原点O 与B 点之间:0<x <3;④B 点右侧:x >3.每部分中位于上方的图象所对应的函数值较大,因此,由y 1>y 2可得,自变量x 的取值范围是x <﹣1或0<x <3.
易错点5:二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的位置与a ,b ,c 的关系.
易错题:已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图,则下列说法:①c =0;②该抛物线的对称轴是直线x =﹣1;③当x =1时,y =2a ;④am 2+bm +a >0(m ≠﹣1).其中正确的个数是……………………………………………………………………………………( )
A .1
B .2
C .3
D .4
-2O
y
x
错解:B 正解:C
赏析:本题错解的主要原因是不能很好地利用对称轴进行化简变形,没有理解最值的意义,从而对③、④判断错误.正确的解法是:由图象得抛物线与y 轴交点为原点O ,把(0,0)代入得c =0,∴①正确;由抛物线与x 轴交点为(﹣2,0)和(0,0)可得对称轴是直线x
=
20
2
-+=﹣1,∴②正确;当x =1时,代入解析式得y =a +b +c ,又由对称轴是直线x =﹣1,得2b
a
-=﹣1,∴b =2a ,又c =0,∴代入得y =3a ,∴③错误;当x =m 时,代入得
y =am 2+bm +c ,当x =﹣1时,代入得y =a -b +c ,又x =﹣1时,函数有最小值,∴a -b +c <am 2+bm +c ,∴a -b <am 2+bm ,又b =2a ,∴a -2a <am 2+bm ,∴am 2+bm +a >0,∴④正确.故选项C 正确.
易错点6:利用函数图表求解问题时易从中获取出错错误信息;利用函数模型求解问题是注意结果要符合实际.
易错题:科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温 温度t /℃ ﹣4 ﹣2 0 1 4 植物高度增
41
49
49
46
25
.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为______________℃.
错解:﹣2~0
正解:﹣1
赏析:错误的原因可能是由表格中的数据信息直接得出错解,而没有认真审题,没有仔细观察分析图表信息.正确的解法是:先设l=at2+bt+c,再任选三点代入求得解析式l=﹣t2-2t+49,可化为顶点式l=﹣(t+1)2+50,当t=﹣1时,l最大值=50,故填﹣1.
易错点7:实际问题中函数自变量取值范围与最值问题.
易错题:经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时.研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;
(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?
(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量=车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.
错解:(1)设v=kx+b,把点(220,0)和(20,80)代入得
2200 2080
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
,
解得
2
5
88
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
,∴v=﹣
2
5
x+88.
当x=100时,v=﹣2
5
×100+88=48.
答:大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度为48千米/小时.
(2)由(1)得,当20≤x≤220时,v=﹣2
5
x+88,
由题意,得
2
8840
5
2
8860
5
x
x
⎧
-+
⎪⎪
⎨
⎪-+
⎪⎩
>
<
,
解得70<x<120.
答:应控制大桥上的车流密度范围是大于70辆/千米且小于120辆/千米.(3)由题意,得当0≤x≤20时,y=vx=80x,
∵k=80>0,∴y随x的增大而增大,
∴当x=20时,车流量y最大为80×20=1600.
答:车流量y的最大值为1600辆/小时.