中考数学易错题复习专题：函数及其图象

函数及其图象

易错点1：求函数自变量取值范围时注意：①二次根式中被开方数为非负数；②分式中分母不等于零；零指数幂中底数不等于零.

易错题：使函数y＝

1

(1)(2)

x x

-+

有意义的自变量x的取值范围是

_____________.

错解：x＞﹣2

正解：x＞﹣2且x≠1

赏析：本题错误的原因是对分式中分母不为零的条件没有考虑全面，分式中分母不为零的条件应是x≠﹣2且x≠1.本题中的函数应满足被开方数为非负数且分母不为零这两个条件，同时要与不等式的解集综合求解.

易错点2：在函数解析式中混淆各个待定系数表示的意义，如一次函数y＝kx+b（k≠0）中的k、b；二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的a、b、c.

易错题：在一次函数y＝（2－k）x＋1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_________.

错解：k＞0

正解：k＞2

赏析：错误的原因是以为﹣k是一次项的系数，由﹣k＜0得到错解.本题中一次项系数应是2－k，由2－k＜0得到正解.

易错点3：用待定系数法求函数解析式时由条件建立错误从而使求解不正确.

易错题：将直线y＝﹣3x－4向左平移2个单位长度后，其解析式为___________________.

错解：y＝﹣3x－6

正解：y＝﹣3x－10

赏析：本题可设平移后函数解析式为y＝kx+b，由平移中平行的关系可得k＝﹣3,错误的原因是由向左平移2个单位长度得到错误条件直线过点（﹣2,0），代入解析式从而求得错解.正确的解法是：先由平行得k＝﹣3，再由直线y＝﹣3x－4过点（0，﹣4），将此点向左平移2个单位长度得到点（﹣2，﹣4），再把点（﹣2，﹣4）及k＝﹣3代入所设解析式从而求得正解.

易错点4：利用图象求不等式（组）的解集与方程（组）的解时，混淆函数图象的增减性与解（解集）的关系.

易错题：已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝m

x

（m≠0）的图象相交于A、B两

点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是……………………（）

A.x＜﹣1或0＜x＜3

B.﹣1＜x＜0或0＜x＜3

C.﹣1＜x＜0或x＞3

D.0＜x＜3

错解：D

正解：A

赏析：错解的原因是对函数图象及其增减性的分析理解不够透彻，没有完全弄清楚图象增减性与不等式解集的关系，从而漏掉x的一部分取值范围.正确的解法是：由题目条件，

画出两个函数的大致图象，如图：

y 2

y 2

y 2

y 2

y 1

y 1y 1

y 13-1B A

O y x

以交点A 、B 及原点O 为界，把两个函数图象各分成四个部分，从左到右每部分图象所对应的自变量取值范围依次是：①A 点左侧：x ＜﹣1；②点A 与原点O 之间：﹣1＜x ＜0；③原点O 与B 点之间：0＜x ＜3；④B 点右侧：x ＞3.每部分中位于上方的图象所对应的函数值较大，因此，由y 1＞y 2可得，自变量x 的取值范围是x ＜﹣1或0＜x ＜3.

易错点5：二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的位置与a ，b ，c 的关系.

易错题：已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图，则下列说法：①c ＝0；②该抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1；③当x ＝1时，y ＝2a ；④am 2＋bm ＋a ＞0（m ≠﹣1）.其中正确的个数是……………………………………………………………………………………（ ）

A .1

B .2

C .3

D .4

-2O

y

x

错解：B 正解：C

赏析：本题错解的主要原因是不能很好地利用对称轴进行化简变形，没有理解最值的意义，从而对③、④判断错误.正确的解法是：由图象得抛物线与y 轴交点为原点O ，把（0,0）代入得c ＝0，∴①正确；由抛物线与x 轴交点为（﹣2,0）和（0,0）可得对称轴是直线x

＝

20

2

-+＝﹣1，∴②正确；当x ＝1时，代入解析式得y ＝a +b +c ，又由对称轴是直线x ＝﹣1，得2b

a

-＝﹣1，∴b ＝2a ，又c ＝0，∴代入得y ＝3a ，∴③错误；当x ＝m 时，代入得

y ＝am 2+bm +c ,当x ＝﹣1时，代入得y ＝a －b +c ,又x ＝﹣1时，函数有最小值，∴a －b +c ＜am 2+bm +c ,∴a －b ＜am 2+bm ，又b ＝2a ，∴a －2a ＜am 2+bm ，∴am 2＋bm ＋a ＞0，∴④正确.故选项C 正确.

易错点6：利用函数图表求解问题时易从中获取出错错误信息；利用函数模型求解问题是注意结果要符合实际.

易错题：科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温 温度t /℃ ﹣4 ﹣2 0 1 4 植物高度增

41

49

49

46

25

.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为______________℃.

错解：﹣2～0

正解：﹣1

赏析：错误的原因可能是由表格中的数据信息直接得出错解，而没有认真审题，没有仔细观察分析图表信息.正确的解法是：先设l＝at2+bt+c，再任选三点代入求得解析式l＝﹣t2－2t+49,可化为顶点式l＝﹣(t＋1)2＋50，当t＝﹣1时，l最大值＝50，故填﹣1.

易错点7：实际问题中函数自变量取值范围与最值问题.

易错题：经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x(辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时.研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数.

（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；

（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？

（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.

错解：（1）设v＝kx＋b，把点（220，0）和（20，80）代入得

2200 2080

k b

k b

+=

⎧

⎨

+=

⎩

，

解得

2

5

88

k

b

⎧

=-

⎪

⎨

⎪=

⎩

，∴v＝﹣

2

5

x＋88.

当x＝100时，v＝﹣2

5

×100＋88＝48.

答：大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度为48千米/小时.

（2）由（1）得，当20≤x≤220时，v＝﹣2

5

x＋88，

由题意，得

2

8840

5

2

8860

5

x

x

⎧

-+

⎪⎪

⎨

⎪-+

⎪⎩

＞

＜

，

解得70＜x＜120.

答：应控制大桥上的车流密度范围是大于70辆/千米且小于120辆/千米.（3）由题意，得当0≤x≤20时，y＝vx＝80x，

∵k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，

∴当x＝20时，车流量y最大为80×20＝1600.

答：车流量y的最大值为1600辆/小时.