(二)向量方法证明空间线面垂直关系

学习目标 1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.
知识点一 向量法判断线线垂直
思考 若直线l 1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？
答案 l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l 1与l 2垂直.
判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A 、B 与C 、D ，计算向量AB →与CD →的坐标，若AB →·CD →
＝0，则两直线垂直，否则不垂直.
(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直. 梳理 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直
思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，3
2，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？
答案 垂直，因为μ1＝2
3μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直
线l 与平面α垂直.
判断直线与平面的位置关系的方法：
(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.
(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内. (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.
梳理 设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R ).
知识点三 向量法判断面面垂直
思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.
梳理 若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.
类型一 证明线线垂直
例1 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝1
4
CC 1.求证：AB 1⊥MN .
证明 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0，N ⎝⎛⎭⎫0，32，1
4，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 中点， ∴M ⎝⎛⎭
⎫14，3
4，0.
∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1→
＝(1，0，1)，
∴MN →·AB 1→
＝－14＋0＋14
＝0.
∴MN →⊥AB 1→， ∴AB 1⊥MN .
反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.
证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直.
如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.
则C (0，0，0)，A (3，0，0)，C 1(0，0，4)，B (0，4，0)， ∵AC →＝(－3，0，0)，BC 1→
＝(0，－4，4)， ∴AC →·BC 1→＝0.∴AC ⊥BC 1. 类型二 证明线面垂直
例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.
求证：AB 1⊥平面A 1BD .
证明 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .
因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .
因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.
取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →
分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0). 所以AB 1→＝(1，2，－3)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →
＝(－2，1，0). 因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0. AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.
所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →
，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD . 反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量.
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点.求证：直线PB 1⊥平面P AC .
证明 如图建系，C (1，0，0)，A (0，1，0)，P (0，0，1)，B 1(1，1，2)，PC →
＝(1，0，－1)，P A →＝(0，1，－1)，PB 1→＝(1，1，1)，B 1C →＝(0，－1，－2)，B 1A →
＝(－1，0，－2).
PB 1→·PC →＝(1，1，1)·(1，0，－1)＝0， 所以PB 1→⊥PC →
，即PB 1⊥PC .
又PB 1→·P A →＝(1，1，1)·(0，1，－1)＝0， 所以PB 1→⊥P A →
，即PB 1⊥P A .
又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC . 类型三 证明面面垂直
例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .
证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E (0，0，1
2
)，
故AA 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，AC 1→＝(－2，2，1)，AE →
＝(－2，0，12).
设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·AA 1→＝0，n 1·
AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
z ＝0，
－2x ＋2y ＝0.
令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1，1，0). 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪
⎧
－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋1
2c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1，4). 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， 所以n 1⊥n 2.
所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.
跟踪训练3 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC .
证明 以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A (0，0，a )，则易得B (0，0，0)，C ⎝⎛
⎭⎫32a ，32a ，0，D (0，3a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫34
a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)，
故AB →＝(0，0，－a )，BC →
＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.
设平面ABC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·AB →＝0，n 1·
BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－az 1＝0，
x 1＋y 1＝0，取x 1＝1，
∴n 1＝(1，－1，0)为平面ABC 的一个法向量. 设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面BEF 的一个法向量， 同理可得n 2＝(1，1，－3).
∵n 1·n 2＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0，
∴平面BEF⊥平面ABC.
1.下列命题中，正确命题的个数为()
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
解析①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确.
2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为()
A.a＝(1，0，0)，b＝(－3，0，0)
B.a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)
C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
答案 B
解析因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.
3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则()
A.l∥α
B.l⊥α
C.l⊂α
D.l与α斜交
答案 B
解析∵a∥μ，∴l⊥α.
4.平面α的一个法向量为m＝(1，2，0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是()
A.平行
B.相交但不垂直
C.垂直
D.不能确定
答案 C
解析∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直.
5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1，0，5)，ν＝(t，5，1)，则t的值为________.
答案 5
解析∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，
∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.
空间垂直关系的解决策略
40分钟课时作业
一、选择题
1.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2，2，1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于()
A.－2
B.2
C.6
D.10
答案 D
解析因为a⊥b，故a·b＝0，
即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.
2.若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为
( )
A.10
B.－10
C.12
D.－1
2
答案 B
解析 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直， 所以a ·b ＝(－1，2，4)·(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10.
3.已知点A (0，1，0)，B (－1，0，－1)，C (2，1，1)，P (x ，0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )
A.(1，0，－2)
B.(1，0，2)
C.(－1，0，2)
D.(2，0，－1) 答案 C
解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2，0，1)，AP →
＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0， ① AC →·AP →＝(2，0，1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，
②
联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1，0，2).
4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A.AC B.BD C.A 1D D.A 1A 答案 B
解析 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (1，0，0)，D (0，0，0)，A 1(0，1，1)，C 1(1，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，
∴CE →＝⎝⎛⎭
⎫－12，12，1，AC →
＝(1，－1，0)， BD →＝(－1，－1，0)，A 1D →＝(0，－1，－1)，A 1A →
＝(0，0，－1)， ∵CE →·BD →
＝(－1)×(－12)＋(－1)×12＋0×1＝0，
∴CE ⊥BD .
5.若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( ) A.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(－3，1，1) B.n 1＝(1，1，2)，n 2＝(－2，1，1)
C.n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－1，2，1)
D.n 1＝(1，2，1)，n 2＝(0，－2，－2) 答案 A
解析 ∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0， ∴n 1·n 2＝0，故选A.
6.两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )
A.－3
B.6
C.－6
D.－12 答案 B
解析 α⊥β⇒μ·v ＝0⇒－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6. 二、填空题
7.在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则异面直线SC 与BC 是否垂直________.(填“是”或“否”) 答案 是
解析 如图，以A 为原点，AB ，AS 分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则由AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29， 得B (0，17，0)，S (0，0，23)，C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫21317，417，0， SC →＝⎝
⎛⎭⎪⎫2
1317，417，－23，CB →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－21317，1317，0. 因为SC →·CB →
＝0，所以SC ⊥BC .
8.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →
＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →
是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →
.其中正确的是________.(填序号) 答案 ①②③
解析 ∵AP →·AB →
＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP ⊥AB ，即①正确；
∵AP →·AD →＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP ⊥AD ，即②正确； 又∵AB ∩AD ＝A ，
∴AP ⊥平面ABCD ，
即AP →是平面ABCD 的一个法向量，即③正确；
∵AP →是平面ABCD 的法向量，
∴AP →⊥BD →，即④不正确.
9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos 2x ＋2，0)和点Q (cos x ，－1，3)，其中x ∈[0，π].若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________.
答案 π2或π3
解析 由题意得OP →⊥OQ →，
∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0.
∴2cos 2x －cos x ＝0，
∴cos x ＝0或cos x ＝12
. 又x ∈[0，π]，
∴x ＝π2或x ＝π3
. 10.在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3，1)，C (2，－2，1).若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________.
答案 (－2，4，1)或(2，－4，－1)
解析 据题意，得AB →＝(－1，－1，2)，AC →＝(1，0，2).
设n ＝(x ，y ，z )，
∵n 与平面ABC 垂直，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝4z ，y ＝－2x . ∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得y ＝4或y ＝－4.
当y ＝4时，x ＝－2，z ＝1；当y ＝－4时，x ＝2，z ＝－1.
三、解答题
11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点.证明：CD ⊥平面P AE .
证明 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.
设P A ＝h ，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B (4，0，0)，C (4，3，0)，D (0，5，0)，E (2，4，0)，P (0，0，h ).
易知CD →＝(－4，2，0)，AE →＝(2，4，0)，AP →＝(0，0，h ).
因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，
所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP ，
而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，
所以CD ⊥平面P AE .
12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .
证明 建立如图所示空间直角坐标系，则P (0，0，1)，B (0，1，0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，
设BE ＝x (0≤x ≤3)，
则E (x ，1，0)，
PE →·AF →＝(x ，1，－1)·⎝⎛⎭
⎫0，12，12＝0， 所以x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .
13.已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点.
(1)求证：A 1E ⊥BD ；
(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置.
(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直
角坐标系.设正方体棱长为a ，则 A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a ).
设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a )，
A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，
BD →＝(－a ，－a ，0)，
A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，
∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .
(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2). ∵DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧
ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，
得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，a e
)， 由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2，
∴2－a e
＝0，即e ＝a 2
.
∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。