北京交通大学数值分析第一章绪论

§1 学习数值分析的意义



数值分析，又名计算方法，是研究利用 计算机求解各种数学问题的近似方法. 求解方法 1、解析方法； 2、近似方法（数值方法） 求解问题步骤： 实际问题 建模 数值方法 程序设计 上机
发展：纵向: 串行算法 (1970s)
并行算法
横向:生成许多的交叉学科（如计 算力学、计算物理、计算生物、计算化学、 计算经济、计算金融· · · ） 特点：1°面向计算机


称其为计算机数系。进一步分析有： 1°它是有限的，离散的数集。 2°对四则运算不封闭。 3°记s、t分别为机器数系中最小、最大的数，设x
为机器运算过程中的一个过程数。 ①x＞t，称为上溢，此时机器停止处理； ②x＜s，称为下溢，此时机器视x=0，继 续处理； ③x∈ F ( , t , L,U ) ，继续处理； ④s＜x＜t, x∉ F ( , t , L,U ) ，此时 x=+βc×0.a1a2a3· · · atat+1· · · 机器在 F ( , t , L,U ) 中找与x最靠近的数记 为fl(x)代替x，继续处理。 “四舍五入”
§3 误差的基本理论
一、误差的分类
模型误差 观察误差 方法误差 舍入误差
二、基本概念 Def1. 设x*是准确值x的近似值，称 e x* x 为x*的绝对误差， 简称误差。称满足 | e || x * x | 中的正 数 为 x*的绝对误差限，简称误差限。 x* x Def2. 称er= x 为x*的相对误差； 称满足 x * x
| er ||
中的正数
r为x*的相对误差限。
x
| r
Def 3. （有效数字） 若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该 位到x*的第一位非零数字共有n位，就说x*有n位 有效数字。 在数的表示当中，以小数点为准： • 位：各个数字的物理位置。 • 单位：位的量化。一个位对应的基本大小。 形如 10p，p为整数（对十进制数来讲）。 • 位 单位，相互唯一确定。 • 数的结构：单位的线性组合，组合系数为对应位 的数字。
2°有可靠的理论分析，如误差分析、 稳定性分析· ·) 3°有好的计算复杂性（时间、空间） 4°有数值实验
应用问题举例
1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾 一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四 分斗之三。-------《九章算术》
数值分析
（Numerical Analysis）

北京交通大学 理学院 数学系 张作泉
教材
数值分析 李庆扬等 编著 (第五版) （清华大学出版社） 参考书
数值分析基础 关治等 编著
（清华大学出版社）
第一章 数值分析与科学计算引论
§1 学习数值分析的意义 §2 计算机数系 §3 误差的基本理论
Axb
本课程第五、六章的内容： 线性方程组的数值方法！
2、天体力学中的Kepler方程
x sin x t 0,0 1
x是行星运动的轨道，它是时间t 的函数
本课程第七章的内容： 非线性方程的数值解法
3、全球定位系统（Global Positioning System, GPS)
1 （可用） x 1 x
④减少运算步骤、次数 例如，已知
一般地， 进制的浮点数X有：
x 0.a1a2 a3
c
ai 0,1,2,3,4 , 1
同一个x，但在计算机世界中有两个变化：
1、存在两个数L，U，使得L≤c≤U； 2、存在正整数t使0. a1a2a3···变为0.a1a2a3···at 令
F ( , t, L,U ) c 0.a1a2 a3 at ai 0,1, 1 , L c U
(二) 运算原则 ①避免除数的绝对值远远小于被除数绝对值
的除法（可能增加舍入误差）
一般C p 10认为是病态.
②避免两个相近的数相减（可能损失有效数 字，导致精度降低）
e.g. x 0, x 1 x (不可用)
又，x=25655.21,y=25655.11 x-y=0.10 (只剩两位有效数字) ③防止大数吃小数 例：用3位计算机计算456+0.1。 3 3 456+0.1= 10 ×0.456+ 10 ×0.0001 =103×0.4561=103×0.456 =456
“The $25,000,000,000 Eigenvector”
本课程第八章的内容： 矩阵特征值问题的数值方法
§2 计算机数系

人的数系：R x R
c x 1 0 0 . aaa 123
其中，c 为整 数， ai 0,1,2,3,4 ,9 。 x称为十进制浮点数 小数点的位是随c的变化而变化 e.g. 5=10×0.5=10×0.05· · · 这种数的表示称为浮点表示。称C为阶码， 称0.a1a2a3···为尾数。
6 4 2
பைடு நூலகம்
N-S positions
0
0 图 7.8

8
( x x1 )2 ( y y1 )2 ( z z1 )2 (t1 -t) c 0 ( x x2 )2 ( y y2 )2 ( z z2 )2 (t 2 -t) c 0 ( x x3 )2 ( y y3 )2 ( z z3 )2 (t 3 -t) c 0 ( x x4 )2 ( y y4 )2 ( z z4 )2 (t 4 -t) c 0 ( x x5 )2 ( y y5 )2 ( z z5 )2 (t 5 -t) c 0 ( x x6 )2 ( y y6 )2 ( z z6 )2 (t 6 -t) c 0
3 x 2 y z 39 2 x 3 y z 34 x 2 y 3 z 26
a11 a21 a n1
x1 b1 a12 a1n a22 a2 n x2 b2 b an 2 ann x n n
一元函数f ( x)，x为准确值, x * 为近似值,由Taylor公式 f ( x) f ( x*) f ( x*)( x x*)
f ( ) 2 ( x x *) , 2
在x, x * 之间,
得f ( x*)的误差限 ( f ( x*)) | f ( x*) | ( x*).
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机 器将一块平整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从 中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸 为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的 长度L.
这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的 曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为: 48 48 ' 2 L 1 ( f ( x)) dx 1 (cosx) 2 dx
f1 ( x1 , x2 , xn ) 0 f ( x , x , x ) 0 2 1 2 n f n ( x1 , x2 , xn ) 0
记为 其中
F ( x) 0
F:D R R ,
n n
x ( x1 , x2 ,, xn )
T
本课程第七章的内容： 非线性方程组的数值方法
全球定位系统： 在地球的任何一 个位置，至少可 以同时收到4颗 以上卫星发射的
信号
8 S6 6
Height
S5
( x, y, z, t )
4
S3
2
S4 S1
0 10 S2 5
R
表示地球上 一个接收点R的当前位 置，卫星Si的位置为 ( xi , yi , zi , ti ) ，则得 到下列非线性方程组
考虑计算函数值问题 ,
f ( x*) f ( x ) f ( x) x x

xf ( x ) f ( x)
Cp,
C p 称为计算函数值问题的 条件数.
例如f ( x) x10 , C p 10, f (1) 1, f (1.02) 1.24,自变量相对 误差为2%,函数值相对误差为24%.
0 0
上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普 通方法来计算.
本课程第四章的内容：数值积分
6、Google搜索引擎
G xx
T
xTe 1
G: Google Matrix,
“the world’s largest matrix computation”. 4,300,000,000
x: PageRank vector
* * 多元函数f ( x1 ,, xn )，x1 , , xn 为准确值x1 ,, xn的近似值, * * 同理得f ( x1 , , xn )的误差限
f * ( f *) ( x k ). x k 1 k
n
*
例4 场地面积：s ld s s ( s*) (l*) (d *). l d
x 10 a1.a2a3 an （a ≠0)
* m
1
三、数值运算的误差估计
* * 四则运算，设x1, x2为准确值, x1 , x2为近似值，则误差限：
* * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ), * * * * * * ( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ), * * * * | x | ( x ) | x | ( x ) * * 1 2 2 1 ( x1 / x2 ) . * 2 | x2 |
4、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米， 600米，1000米…）处的水温
本课程第二章的内容：插值法
5、铝制波纹瓦的长度问题
* *
四、误差 的定性分析与运算原则(舍入误差) (一) 定性分析 1 、稳定性分析 输入数据与输出数据满足事先给定 的关系式即称数值问题.在一个数值问题中, 若输入数据有微小的扰动，导致输出数据 （即问题的解）的绝对误差很大，则称该 数值问题是不稳定的，否则称为稳定的。
2、病态性分析 “绝对误差” “相对误差” “不稳定” “病态” “稳定” “良态” 例 ①函数值的计算 病态问题 ②线性方程组的求解
例：π=3.1415926··· , x1*=3.14, x2*=3.141 ；
| x1 * | 0.0015926
*
1 102 可见有3位有效数字； 2
1 * | x 2 | 0.0005926 102 , x2 仍是3位有效数字 2 Notes:①约定：所写数字均有效； ②经过四舍五入处理过的数字均有效； ③若x*有n位有效数字，一般可写为如 下的规范形式：
+βc×0.a1a2a3· · · at fl(x)=
at+1＜
+βc×[0.a1a2a3· · · at+β-t] , at+1≥
特别注意④是常态，这也是计算机舍入误差 出现的原因。
4°运算规则： 加减：先对阶，后运算，再舍入 乘除：先运算，后舍入
e.g. 256+0.1=103×0.256+0.1 =103×0.256+103×0.0001 =103×0.2561