线性系统理论报告

随机系统与分布参数系统的对比报告

摘要：所谓随机系统即系统的输入输出及干扰有随机因素，或系统本身带有某种不确定性的系统。所谓分布参数系统即状态变化不能只用有限个参数而必须用场（一维或多维空间变量的函数）来描述的系统。本文将从定义和实例分析来区分随机系统和分布系统的不同，并对其控制方法进行比较。

关键字：随机系统分布参数系统控制方法

Abstract:The random system is the input of the system output and the interference of random factors, or the system itself with some sort of system uncertainty. The distributed parameter system is not only the change of state and must use limited parameters (function of one-dimensional or multi-dimensional space variables to describe the system). This paper from the definition and case analysis to distinguish between random system and distribution system and compares the control method Keywords: Random System Distributed Parameter System Control Method

一、随机系统与分布参数系统的定义

从系统本身的特性结构、以及输入变量包括扰动变量两方面区分确定系统与随机系统，随机系统不能确定其状态和输出变量的直接时间过程，只能确定其统计的规律性。

随机系统(stochastic system)：所谓随机系统即系统的输入输出及干扰有随机因素，或系统本身带有某种不确定性的系统。

而根据系统特性的角度对系统进行划分时，动态系统可分为：线性系统和非线性系统、集中参数系统和分布参数系统。

分布参数系统（distributed parameter system）：状态变化不能只用有限个参数而必须用场（一维或多维空间变量的函数）来描述的系统。用数学定义来说：系统变量与参数是空间位置的函数，系统方程常为偏微分方程的系统称之为分布参数系统。

二、随机系统实例分析

随机系统实例：乘性噪声随机系统，所谓乘性噪声随机系统是一类含有乘性噪声因子的随机系统。

一般情况下系统在运行的过程中状态和输出都会受到随机干扰，为了对系统进行较好的控制和分析，必须获得描述系统行为的状态变量。因此，输入输出信息及估计状态变量显得尤为重要。当随机干扰以加性的方式影响系统时Kalman 滤波无疑是状态估计的一个有力工具。然而，许多问题中随机干扰除了以加性方式影响系统，还以乘性形式作用于系统。最常见的就是在随机线性模型：

(k)v(k))x(k)A (A 1)x(k 10η++=+

其中，)x(k 是描述系统行为的状态变量，)v(k 和)(k η是统计特性已知的随机变量。显然，尽管随机变量)v(k 以加行形式干扰系统参数A ，但由于它以乘性形式影响系统状态变量)x(k ，这类问题极为普遍，实际中许多模型的参数呈现出随机时变特性，且噪声均以乘性形式干扰模型系统的状态和输出。

由上述分析可知，由于系统中存在随机不确定的变量)v(k 和)(k η，导致即使式中)x(k 已知，系统同状态变量)1x(k +由于不确定变量的存在，使得其的状态也随之变化而呈现随机性。因此，从此可以得出随机系统的特性是由于系统的输入输出及干扰具有不确定因素（随机因素），使得系统自身或系统的状态也处于随机因素，这就是随机系统的一种特性。

在实际系统中，模型参数呈现时变、随机特性的系统有很多如：轧机的动力学模型参数因轧制不同材质、规格的型材而呈现一定的不确定性，太空中柔性臂的动力学模型参数也呈现随机时变性和不确定性，大型控制系统网络中执行机构的随机时延导致控制模型参数呈现随机性。

这些随机时变或不确定参数的系统可以表述为：k k x A A )(x 1∆+=+，其中A ∆为

随机扰动参数。

三、 分布参数系统实例分析

分布参数控制系统实例：原油开采获得最大累积净现值的问题、蒸汽驱最优注入问题。

随着计算机技术的发展，最优化方法已在油田开发决策方面得到了广泛的应用，其中在三次采油的过程控制方面，Ramirez 等最早利用最优控制方法研究了表面活性剂的注入问题，随后该方法也被应用到蒸汽驱等其他提高原油采收率技术中。这类最优控制问题的性能指标通常选为一段时内原油开采所获得的累积净现值或产油量，约束方程为描述油藏开发动态过程的渗流力学偏微分方程组，是一类分布参数系统的最优控制问题。

在研究蒸汽驱的最优注入问题时，直接通过对性能指标泛函的变分获得了连续形式的伴随方程及相应的边界条件。而对于二维和三维问题，往往先将最优控制问题离散化，再利用离散极大值原理获得伴随方程和性能指标的梯度，这种方法需要针对不同的离散化形式推导伴随问题的表达式。对于三次采油中的化学驱

过程，其渗流模型通常包括油相方程、水相方程和化学试剂的对流扩散吸附方程，这是一组非线性偏微分方程，而且对于不同的化学试剂模型中还存在不同的代数关系式。在给出化学驱最优控制问题一般形式的基础上，利用分布参数系统的极大值原理，按照非线性的处理方式获得其连续形式的伴随问题。

从上述实例，及实例模型的解决方法上可以看出，解决分布参数系统的方法一般是解一个有一个或多个约束方程来获得最优解的问题，在系统模型的建立和解决时，系统需要用一维或多维函数进行描述而不能仅仅只用有限个参数对系统进行描述。另外，从上述实例可以看出，由于系统是由场（一维或多维空间变量的函数）来进行描述的，这使得每个变量都会或大或小的影响系统的结果，这也就使得由于变量的变化从而使系统的解不唯一，也就是说系统存在多种解。因此在分布参数系统中一般是利用最优控制算法得到系统的最优解来作为我们系统的理想结果。

四、控制方法的对比

随机系统与分布参数系统具有相似性：即随机系统和分布参数系统的控制输出不唯一，都只能得到最优控制结果。

不同点是分布参数系统通常利用偏微分方程作为系统方程，利用一个或多个约束方程来获得最优解而随机系统根据随机变量随机变化的随机性和近似性来得出最优解。

例如利用输出随机分布函数的平方根样条逼近方法和非线性权动态模型使得闭环系统控制输出的概率密度函数渐进的跟踪一个给定的概率密度函数；使闭环系统的稳定性和状态学术问题可以得到保证；干扰输入可以得到抑制。总之随机分布系统的主要控制方法有：鲁棒控制，跟踪控制，随机分布控制等控制方法；而分布参数系统的控制方法主要有：最优控制，模糊控制等。

参考文献：

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