选修2-2§1.5.1曲边梯形的面积

§1.5.1 曲边梯形的面积 【学习目标】

理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法. 【重点难点】

学习重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）; 学习难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解.

【学法指导】

求曲边梯形的思想和步骤：分割→以直代曲→求和→逼近 （“以直代曲”的思想）. 【问题探究】 一、创设情境：

问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线

()y f x =的一段，我们把由直线

,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图

形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？

探究、求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S.

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？

（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？

把区间[]0,1分成很多个小区间，进而把曲边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．

分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S ．

也即：用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．

（1）分割

在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：

10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12

,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦

记第i 个区间为[]____,____(1,2,

,)i n =，其长度为____x ∆=

分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆ , 显然， 1.n

i i S S ==∆∑

（2）近似代替

记()2

f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在

区间__________上，能够认为函数()2

f x x =的值变化很小，

近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点

1

i n

-处 的函数值__________，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间__________上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代曲”，则有

__________________i i S S '∆≈∆== ①

（3）求和

由①，上图中阴影部分的面积n S 为

1

_____________________n

n i i S S ='∆=∆=∑

=__________________________________

=_____________________________________

=______________________________________.

从而得到S 的近似值 ______________n S S ≈=.

（4）取极限

分别将区间[]0,1等分8，16，20，…等份（如图），能够看到，当n 趋向于无穷大时，即x ∆趋向于0时，n S 趋向于S ，从而有

lim ______________n n S S →∞

== .

总结：求曲边梯形面积的四个步骤：

第一步：分割．在区间[],a b 中任意插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间

[]1,i i x x -()1,2,,i n =，区间[]1,i i x x -的长度1i i i x x x -∆=-;

第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小

曲边梯形面积的近似值;

第三步：求和;

第四步：取极限.

说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割→以直代曲→求和→逼近;

2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值.

【典例分析】

例.求20,0,22

≤≤=-=x y x x y 围成图形面积 解：

【目标检测】

求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x 2

所围成的曲边梯形的面积。

【总结反思】

知识

重点

水平与思想方法 . 【自我评价】你完成本学案的情况为( )

A.很好

B.较好

C.一般

D.较差