选修2-2§1.5.1曲边梯形的面积
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§1.5.1 曲边梯形的面积 【学习目标】
理解求曲边图形面积的过程:分割、以直代曲、逼近,感受在其过程中渗透的思想方法. 【重点难点】
学习重点:掌握过程步骤:分割、以直代曲、求和、逼近(取极限); 学习难点:对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解.
【学法指导】
求曲边梯形的思想和步骤:分割→以直代曲→求和→逼近 (“以直代曲”的思想). 【问题探究】 一、创设情境:
问题:如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线
()y f x =的一段,我们把由直线
,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图
形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积?
探究、求图中阴影部分是由抛物线2y x =,直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S.
思考:(1)曲边梯形与“直边图形”的区别?
(2)能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题?
把区间[]0,1分成很多个小区间,进而把曲边梯形拆为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.
分割越细,面积的近似值就越精确。当分割无限变细时,这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S .
也即:用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.
(1)分割
在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点,将区间[]0,1等分成n 个小区间:
10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,12
,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
记第i 个区间为[]____,____(1,2,
,)i n =,其长度为____x ∆=
分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线,从而得到n 个小曲边梯形,他们的面积分别记作: 1S ∆,2S ∆,…,n S ∆ , 显然, 1.n
i i S S ==∆∑
(2)近似代替
记()2
f x x =,如图所示,当n 很大,即x ∆很小时,在
区间__________上,能够认为函数()2
f x x =的值变化很小,
近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点
1
i n
-处 的函数值__________,从图形上看,就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边(如图).这样,在区间__________上,用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆,即在局部范围内“以直代曲”,则有
__________________i i S S '∆≈∆== ①
(3)求和
由①,上图中阴影部分的面积n S 为
1
_____________________n
n i i S S ='∆=∆=∑
=__________________________________
=_____________________________________
=______________________________________.
从而得到S 的近似值 ______________n S S ≈=.
(4)取极限
分别将区间[]0,1等分8,16,20,…等份(如图),能够看到,当n 趋向于无穷大时,即x ∆趋向于0时,n S 趋向于S ,从而有
lim ______________n n S S →∞
== .
总结:求曲边梯形面积的四个步骤:
第一步:分割.在区间[],a b 中任意插入1n -各分点,将它们等分成n 个小区间
[]1,i i x x -()1,2,,i n =,区间[]1,i i x x -的长度1i i i x x x -∆=-;
第二步:近似代替,“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,求出每个小
曲边梯形面积的近似值;
第三步:求和;
第四步:取极限.
说明:1.归纳以上步骤,其流程图表示为:分割→以直代曲→求和→逼近;
2.最后所得曲边形的面积不是近似值,而是真实值.
【典例分析】
例.求20,0,22
≤≤=-=x y x x y 围成图形面积 解:
【目标检测】
求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x 2
所围成的曲边梯形的面积。
【总结反思】
知识
重点
水平与思想方法 . 【自我评价】你完成本学案的情况为( )
A.很好
B.较好
C.一般
D.较差