等腰梯形 典型题【重点】

等腰梯形典型题

一、常见的梯形辅助线做法

常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化，变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下:

二、“K”字型在梯形中的应用（全等、相似、比例中项）

三、例题与中考真题

1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．【例1】已知：如图2,在梯形ABCD中,.求证：.

【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若 .AD = 7 ,BC = 15 ,求EF ．

2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．

【例3】.如图,在梯形中, , ,梯形的面积与梯形的面积相等．求证： .

3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．

【例4】.如图,在梯形中,.求证：.

4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．

【例5】.如图,等腰梯形中, , ,且 ,是高,是中位线,求证：．

【例6】.已知：如图,在梯形中, .求证：梯形是等腰梯形.

5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题．

【例7】.已知：如图4,在梯形中,是的中点,且 .求证：

.

【例8】.已知：梯形 ABCD中AD BC,E为AB中点,且AD＋BC=DC , 求

证：DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD．

证法1：取DC中点F,连结EF,E为AD中点,则EF为梯形的中位线

证法2：延长CE与DA延长线交于一点F,过程略．

证法3：在DC上截取DF=AD,连结AF、BF、EF解决.

6.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.

【例9】.已知：如图5,在梯形ABCD 中, M、N分别是BD 、AC 的中点.求证：

.

【例10】.如图,梯形中, ,、分别平分

和 ,为中点,求证：．

【例11】.已知：如图,在梯形中,是CD的中点.求证：.

【例12】.如图,梯形中, ,为腰的中点,求

证： .

分析：与梯形ABCD的面积关系不明显,如果利用梯形助特点把它

补成如图7的平行四边形,它们之间的关系就清晰了．梯形补成平行四边形,

各种关系明显、直观,解题思路清晰．证明：延长 ,使 ,延长

,使；则 ,则四边形是平行四边形．为

的中点,连结 ,与交于点 .连结、 ,则

.

∵ ,是中点,

∴为中点且是中点．

∴四边形是平行四边形,

∴ ,∴