整数规划和动态规划-数学建模

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王秋萍
x13 + x23 ≤ 9 x14 + x24 ≤ 6 x15 + x25 ≤ 6 x16 + x26 ≤ 4 x17 + x27 ≤ 8
重量约束
(1.4) (1.5) (1.6) (1.7) (1.8)
2xi1 + 3 xi 2 + xi3 + 0.5 xi4 + 4 xi5 + 2 xi6 + xi7 ≤ 40 i = 1,2
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1) 非线性规划（Nonlinear Programming） 目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数. 2) 线性规划（Linear Programming） 目标函数和所有的约束条件都是决策变量(设计变量)的线性函数.
min u = ∑ c j x j
j =1
n
∑ aij x j = bi , i = 1,2,..., m. s.t. j=1 x ≥ 0, j = 1,2,..., n. j
厚度约束
(1.9), (1.10)
0.487xi1 + 0.520 xi2 + 0.613 xi3 + 0.720 xi4 + 0.487 xi5 + 0.520 xi6 + 0.640 xi 7 ≤ 10.2
对于 C5 ,C6 , C7 的特殊约束
i = 1,2
(1.11), (1.12)
0.487xi5 + 0.520 xi6 + 0.640 xi7 ≤ 3.027 i = 1,2
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例 1.1 AMCM—88B 题 两辆铁路平板车的装货问题1 要把七种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去， 包装箱的宽和高都是相同的， 但厚度（t，以厘米计）及重量（w, 以千克计）却不同，表 1.1 给出了它们的厚度， 重量及数量 表 1.1 t(厘米) W(千克) 箱数 C1 48.7 2000 8 C2 52.0 3000 7 C3 61.3 1000 9 C4 72.0 500 6 C5 48.7 4000 6 C6 52.0 2000 4 C7 64.0 1000 8
4) 根据决策变量(设计变量)的允许值分为整数规划 （Integer Programming） 和实 数规划(Real Number Programming). 5) 根据变量具有确定值还是随机值分为确定规划和随机规划. 1.1.3 建立优化模型的一般步骤 Step1. 确定决策变量(设计变量)和目标变量； Step2. 确定目标函数的表达式； Step3. 寻找约束条件.
0 ≤ xij ∈ Z
(1.1)
x11 + x21 ≤ 8
(1.2) (1.3)
x12 + x22 ≤ 7
1
美 国 大 学 生 数 学 建 模 竞 赛 （ MCM/ICM ） ， 是 一 项 国 际 级 的 竞 赛 项 目 ， 为现今各类数学建模竞赛之鼻祖。 MCM/ ICM 是 Mathematical Contest in Modeling 和 Interdisciplinary Contest in Modeling 的缩写，即“数学建模竞赛 ” 和“交叉学科建模竞赛” 。 MCM 始于 1985 年，ICM 始 于 2000 年， 由 COMAP （the Consortium for Mathematics and Its Application，美国数学及其应 用联合会） 主办，得到了 SIAM，NSA ，INFORMS 等多个组织的赞助。MCM/ICM 着重强调研究问题、 解决方案的原创性 、 团队合作 、交流以及结果的合理性。 CUMCM 中国大学生数学建模竞赛的英文缩写。 全称为 Contemporary Undergraduate Mathematical Contest in Modeling。 由教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会(CSIAM) 共同主办的一项数学赛事， 在 高校和大学生中有很大影响。 1992 年开始。
王秋萍
7 20.40000 Reduced Cost -0.4870000 -0.5200000 -0.6130000 -0.7200000 -0.4870000 -0.5200000 -0.6400000 -0.4870000 -0.5200000 -0.6130000 -0.7200000 -0.4870000 -0.5200000 -0.6400000 Dual Price 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
n
3) 二次规划问题(Quadratic Programming) 目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
1 n min u = f ( x) = ∑ ci xi + ∑ bij xi x j 2 i, j =1 i =1 n ∑ aij x j ≤ bi , i = 1,2,..., n. s.t. j =1 x ≥ 0.i = 1,2,..., n. i
1.1 优化模型简介
1.1.1 优化模型的数学描述 将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u = f ( x) , x = ( x1 , x2 , x3 ,..., xn )
在约束条件
g i ( x) ≤ 0 ( g i ( x) ≥ 0), i = 1, 2,..., p.
和
h j ( x) = 0, j = 1, 2,..., m.
n
1.2 整数规划（ Integer Programming)
引出整数线性规划模型的实际问题很普遍，例如，计件产品的生产计划，设施 配置决策，合理下料等. 整数规划中如果所有的变量都限制为（非负）整数，就称为纯整数规划（Pure Integer Programming）或称为全整数规划(All Integer Programming)；如果仅一部分变 量限制为整数，则称为混合整数规划(Mixed Integer Programming). 整数规划的一种 特殊情形是 0-1 规划，它的变量取值仅限于 0 或 1. 1.2.1 整数规划问题举例
每辆平板车有 10.2 米长的地方可以用来装箱（像面包片那样） ，载重为 40 吨， 由于当地货运的限制，对 C5 ,C6, C7 三类包装箱的总数有如下特殊约束：它们所占的 空间（厚度）不得超过 302.7 厘米，试把这些包装箱装到平板车上去，而浪费的空 间最小. （1） 问题分析 题中所有包装箱共重 89 吨， 而两辆平板车只能载 2 × 40 = 80 吨， 因此不能全装 下，究竟在两辆车上装哪些种，各多少个箱子才合适，必须有评价的标准，这标准 是遵守题中说明的重量、厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装. 由题意，只考虑像面包片重叠那样的装法，把问题简化为：两辆车上装箱总厚 度之和尽可能大，这是一个典型的整数线型规划问题. （2） 模型 设 xij = 在第 i 辆平板车装 C j 箱的个数， i = 1,2; j = 1,2,3,4,5,6,7 于是可以表出各种约束： 自然条件: 箱数约束：
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2*x21+3*x22+x23+0.5*x24+4*x25+2*x26+x27<=40;
0.487*x11+0.520*x12+0.613*x13+0.720*x14+0.487*x15+0.520*x16+0.640*x17<=10.2; 0.487*x21+0.520*x22+0.613*x23+0.720*x24+0.487*x25+0.520*x26+0.640*x27<=10.2;
Global optimal solution found at iteration: Objective value: Variable X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X21 X22 X23 X24 X25 X26 X27 Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Value 6.000000 2.000000 6.000000 0.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 5.000000 2.000000 5.000000 2.000000 1.000000 2.000000 Slack or Surplus 20.40000 2.000000 0.000000 1.000000 1.000000 4.000000 3.000000 2.000000 12.00000 8.500000
下的最大值或最小值，其中 x 称为决策变量（设计变量）, f ( x ) 为目标函数，D 为 ( x ∈ D )可行域. 最优化问题的数学模型一般形式为
min( or max) u = f ( x) x ∈ D
s.t. g i ( x) ≤ 0 ( g i ( x) ≥ 0), i = 1, 2,..., p.
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பைடு நூலகம்
11 12 13 14
0.000000 0.000000 0.4670000 0.2530000
第1章
整数规划和动态规划
数学规划（Mathematical Programming）是应用数学学科的一个重要分支，该术 语出现于 20 世纪 40 年代末，是由美国哈弗大学的 Robert Dorfman 最先使用的，其 初始含义具有相当的包容性. 数学规划学科的内容十分丰富，包括许多研究分支，如：线性规划、非线性规 划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化和整数规划、随机规划、模糊规 划、非光滑优化、多层规划、全局优化、变分不等式和互补问题等. 本章介绍整数规划和动态规划.
0.487*x15+0.520*x16+0.640*x17<=3.027; 0.487*x25+0.520*x26+0.640*x27<=3.027;
@gin(x11); @gin(x12); @gin(x13); @gin(x14); @gin(x15); @gin(x16); @gin(x17);@gin(x21); @gin(x22); @gin(x23); @gin(x24); @gin(x25); @gin(x26); @gin(x27);
在遵守这些约束的前提下使两辆车装箱总厚度之和尽可能大，即
(1.13), (1.14)
max z = ∑ (0.487xi1 + 0.520 xi2 + 0.613 xi3 + 0.720 xi 4 + 0.487 xi 5 + 0.520 xi 6 + 0.640 xi 7 )
i =1
2
于是成为一个有 13 个不等式约束 14 个自然条件的整数线性规划模型，目标是函数 的最大化. （3）问题求解 1) 此模型可用分枝定界法，割平面法求最优解，但用部分枚举法比较便当. 部分枚举法————隐枚举法（Implicit Enumeration） 2) 用 Lingo 软件求解 max=0.487*x11+0.520*x12+0.613*x13+0.720*x14+0.487*x15+0.520*x16+0.640*x17+ 0.487*x21+0.520*x22+0.613*x23+0.720*x24+0.487*x25+0.520*x26+0.640*x27; x11+x21<=8; x12+x22<=7; x13+x23<=9; x14+x24<=6; x15+x25<=6; x16+x26<=4; x17+x27<=8; 2*x11+3*x12+x13+0.5*x14+4*x15+2*x16+x17<=40;
h j ( x) = 0, j = 1, 2,..., m.
min, max 和 s.t.非别是英语单词 minimize( 极小化)，maximize(极大化)和 subject to （“ 受约束于” 之意）的缩写. 1.1.2 优化模型的分类 (1) 根据是否存在约束条件分为有约束问题和无约束问题. (2) 根据决策变量（设计变量）的性质分为静态问题和动态问题. (3) 根据目标函数和约束条件表达式的性质分为线性规划， 非线性规划， 二次规 划，多目标规划等.