偏微分方程分类与标准型.

(2)一般式转为：
A11u 2A12u A22u B1u B2u Cu F 0
所以方程的通解为
y ex C1 cos 2x C2 sin 2x C1,C2为任意常数
例:求 y 4 y 5 y 0 满足初始条件
y(0) 1 y(0) 2 的特解.
解 特征方程为 2 4 5 0
即
( 1)( 5) 0
特征方程有两个不相等的实数根 1 1, 2 5
所以方程的通解为
y C1e3x C2e x C1 ,C2为任意常数
(2)特征方程为 r 2 2 2r 2 0
解得 r1 r2 2 所以方程的通解为
y C1 C2 xe 2x C1 ,C2为任意常数
(3)特征方程为 r2 2r 3 0 解得 r1,2 1 2i
n个自变量：
n
i 1
n
aij
j 1
2u xix j

n
bi
i 1
u xi
cu
f
0
其中 aij , bi , c, f 是自变量 x1, x2 , , xn 的函数
2. 变量替换与方程转型
变量替换是研究偏微分方 程的有效手段，适当的变 换，可简化方程、易求解。
(1)变量代换： (x, y) (x, y)
y( x) C1 y1( x) C2 y2( x) 是方程的通解，其中 C1, C2 为任意常数.
二. 二阶常系数线性齐次微分方程的解
齐次方程： y py qy 0
特征方程： r 2 pr q 0
特征根：
r1,2 p
p2 4q ,
2
(1)有两个不相等的实根 ( p2 4q 0) r1 , r2
所以所求方程的通解为
y C1e x C2e5x
对上式求导,得
y C1e x 5C2e5x
将 y(0) 1 y(0)、 2 代入以上二式,得

1 C1 2 C1

C2 5C2
解此方程组，得
C1

1 2
,C2

1 2
所以所求特解为
y 1 ex 1 e5x 22
齐次方程： y py qy 0
特征方程： r 2 pr q 0
特征根：
p p2 4q
r1,2 Biblioteka Baidu
, 2
特征根的情况
通解的表达式
实根 r1 r2 实根 r1 r2
复根 r1,2 i
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)er2 x
(3)有一对共轭复根时 ( p2 4q 0)
特征根为： r1 i , r2 i ,
特解为： y1 ex cosx, y2 ex sin x,
齐次方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
小结：二阶常系数线性齐次微分方程解
y ex (C1 cos x C2 sin x)
利用了欧拉公式
例: 求下列方程的通解
(1) y 4 y 3 y 0 (2) y 2 2 y 2 y 0 (3) y 2 y 3 y 0
解 (1)特征方程为 r2 4r 3 0 解得 r1 3, r2 1

a2
u t

xu
1






u




1
2
2u
2

0
§3. 方程简化
1.线性二阶偏微分方程的一般形式(2个自变量)
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f
其中，a11, a12 , a22 ,b1,b2 , c, f 都是区域 上的实函数， 并假定它们是连续可微的。
y( x) Y ( x) y*( x),
§2. 二阶线性偏微分方程分类
1.一般形式及分类判别
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f
其中，a11, a12 , a22 ,b1,b2 , c, f 都是区域 上的实函数，
并假定它们是连续可微的。
三. 二阶常系数非齐次线性方程
(1)非齐次线性方程通式：y py qy f ( x)
(2)对应齐次方程为： y py qy 0,
(3)通解结构: 如果 y*( x) 是方程 y py qy f ( x) 的一个特解， Y ( x) 是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解 为
第2章 二阶线性偏微分方程的分类与标准型
§2.1 常微分方程的解(复习) §2.2 二阶线性偏微分方程分类 §2.3 二阶线性偏微分方程简化 §2.4 三类方程的简化形式
§2.1 常微分方程的解(复习)
一. 二阶常系数线性方程的标准形式
y py qy f ( x)
定义：设 y1( x), y2( x) 为定义在 (a,b)内的两个函数， 如果存在非零常数 k,使得 y1( x) ky2( x),则称y1( x), y2( x) 线性相关，否则称 y1( x), y2( x) 线性无关. 定理 设 y1( x), y2( x)是方程 y py qy 0 的两个 线性无关的解，则
两个线性无关的特解 y1 e r1x , y2 er2x ,
得齐次方程的通解为
y

C e r1x 1

C2e r2x ;
(2)有两个相等的实根时 ( p2 4q 0)
特解为： y1 e r1x , y2 xer1x
齐次方程的通解为： y (C1 C2 x)er1x ;
2.二阶主部为： a11uxx 2a12uxy a22uyy
3.判别式及分类：
0
a122 a11a22 = 0
0
双曲型 抛物型 椭圆型
思考：判断下列方程的类型
2u t 2

a2
2u x2

x
2u x 2

a2
2u t 2

u
2u x 2